Тема 7. Непрерывные случайные величины.

Если в ходе эксперимента все значения случайной величины ока­зываются на некотором участке числовой оси и принимают в нем любые значения, то эта случайная вели­чина является непрерывной. Непрерывная случайная величина, принимающая свои значе­ния на интервале, задается либо интегральной функцией распределения F(x)=Р(Х<х), либо функцией плотности вероятностей f(x) = F'(x).

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат интервалу (а,b), вычисляется по формуле MX = , а дисперсия - по одной из формул

DX = = .

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а,b), равна приращению функции распределения на этом интервале

P (a < X < b)= F(b) - F(a)

Или через функцию плотности вероятностей

P (a  X  b) = .

ЗАДАНИЕ 7. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения

F(x)= ,

где а – параметр, а число k – номер варианта.

Найти:

1. плотность распределения вероятностей случайной величины X;

2. значение параметра а;

3. математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;

4. построить графики функций F(x) и /(х).

Пример. Решить задание № 7 при значении к =4.

Решение. Случайная величина X при таком значении к задается ин­тегральной функцией распределения

F(x)= .

1. Плотность распределения вероятностей случайной величины X определяется функцией

f(x)=F^´(x)= .

2) Значение параметра а определим, используя основное свойство плотности вероятности =1 . Так как = = =1,96 =1, то значение параметра =1/1,96=0,51.

3) Математическое ожидание случайной величины X находим по формуле MX = = = 2 = ,

при a = 0.51 значение MX равно 0,93296. Дисперсию случайной величины X находим по формуле

DX = = -(0,93296)²=

=2 - (0,93296)²= -0,870414=0,1092.

4) Графики интегральной функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x) для сравнения построим в одной системе координат

y

1,42

1

0 1 1,4 x

y=F(x) y=f (x)

Тема 8. Нормальный закон распределения. Интеграл вероятностей.

Нормальная случайная величина (или, что тоже, случайная вели­чина, распределенная по нормальному закону) - величина X, принимающая свои значения в интервале от минус до плюс бесконечности с функцией плотности вероятностей

,

где числа а и σ называются параметрами нормального распределе­ния. Смысл параметров: а – среднее значение случайной величины (математическое ожидание), σ= - среднее квадратическое отклонение.

Функция распределения нормального закона с параметрами а и σ определяется интегралом

F(x)= .

Если значения параметров а и σ равны 0 и 1 соответственно, то получим стандартное (или нормированное) нормальное распреде­ление. Для стандартного нормального распределения составлены таблицы (см. приложение), точнее, составлены таблицы для инте­грала вероятностей (интеграла Лапласа)

Φ(x)= .

Интеграл вероятностей Ф(х) и функция распределения стандарт­ного нормального закона F(x) связаны равенством

F(x)= Ф(х)+ 0,5.

Любое нормальное распределение с произвольными параметра­ми а и σ сводится к стандартному закону заменой , где х - значения случайной величины с параметрами а и σ; z - значения стандартной (нормированной) нормальной величины.

С помощью функции (интеграла вероятностей) Ф(х) можно ре­шать задачи следующих типов.

Первая задача: найти вероятность того, что случайная величина Х с известным средним а и средним квадратическим отклонением σ принимает значение в интервале (х₁, х₂). Тогда

.

Вторая задача: найти вероятность того, что случайная величина X с известными а и σ отличается от своего среднего значения а по абсолют­ной величине не больше, чем на δ . Тогда

.

Третья задача: найти вероятность того, что частота k появления события А при п независимых испытаниях находится в интервале (a;b). Тогда

, где , .

Здесь p – вероятность появления события А в каждом испытании, q=1- p.

Отметим, что биноминальное распределение (т.е. последователь­ность п независимых испытаний) можно заменить нормальным распределением то­гда, когда величина пр, как и nq, больше 5, т.е. число n должно быть достаточно большим, а вероятность p больше 0,1, лучше всего около 0,5.

Пример 1. Упаковочный аппарат расфасовывает чай в пачки, вес которых является случайной величиной X, распределенной по нормальному закону. Средняя масса пачки равна 100 г, причем средний разброс (среднее квадратическое отклонение) составляет 2 г. Какая доля пачек будет иметь массу до 97 г?

Решение. Из условия задачи имеем, что вес пачки чая Х- нор­мальная случайная величина с параметрами a = 100 и σ= 2. Нас ин­тересуют все значения X < 97, следовательно, используя формулу первой задачи, получаем

.

Функция Ф(х) нечетная Ф(-х) = -Ф(х), кроме того, для всех х>5 она считается равной 0,5. Тогда по таблице находим

Ф(1,5) = 0,4332 и поэтому

Р(Х < 97) = 0,5 - Ф(1,5) = 0,5 - 0,4332 = 0,0668.

Ответ: доля пачек чая, имеющих массу меньше 97 г, составляет около 7 %.

Пример 2. Станок-автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение его диаметра от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,9 мм. Считая, что случайная величина распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением = 0,5 мм, найти, сколько процентов годных шариков изготовляет станок?

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания

,

где  функция Лапласа. По условию задачи поэтому

Таким образом, станок-автомат изготовляет 92,8 % годных шариков.

ЗАДАНИЕ 8. Предполагается, что отклонение контролируемого размера детали, изготовленной станком-автоматом, от проектного размера, как случайная величина, подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением (мм) и математическим ожиданием . Деталь считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного по абсолютной величине не превышает (мм). Сколько процентов годных деталей изготовляет станок?

1.	= 15,	= 7.		16.	= 50,	= 30.
2.	= 40,	= 22.		17.	= 6,	= 3.
3.	= 18,	= 10.		18.	= 35,	= 17.
4.	= 60,	= 35.		19.	= 8,	= 5.
5.	= 20,	= 11.		20.	= 45,	= 20.
6.	= 50,	= 30.		21.	= 15,	= 7.
7.	= 6,	= 3.		22.	= 40,	= 22.
8.	= 35,	= 17.		23.	= 18,	= 10.
9.	= 8,	= 5.		24.	= 60,	= 35.
10.	= 45,	= 20.		25.	= 20,	= 11.
11.	= 15,	= 7.		26.	= 50,	= 30.
12.	= 40,	= 22.		27.	= 6,	= 3.
13.	= 18,	= 10.		28.	= 35,	= 17.
14.	= 60,	= 35.		29.	= 8,	= 5.
15.	= 20,	= 11.		30.	= 45,	= 20.