Тема 5. Дискретные случайные величины

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать в зависимости от исхода эксперимента те или иные слу­чайные числовые значения.

Случайная величина обозначается большой буквой, например, X, а числовое значение, которое она принимает - маленькой буквой, например, х. Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные. Дискретная случайная величина определяется зако­ном распределения вероятностей, который может быть задан в виде таблицы

хi	х1	х2	. . .	хn
pi	p1	p2	. . .	pn

Здесь х_i - значения случайной величины, расположенные в порядке возрастания; p_i - значение соответствующей вероятности.

Пример. В аудитории 3 лампочки. Вероятность того, что лам­почка перегорит за месяц, равна 0,7. Составить закон распределения случайной величины X - числа перегоревших лампочек за месяц.

Решение. Возможные значения случайной величины X таковы: 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений соответственно равны:

р₀ = = 0.027, р₁ = = 0.189,

р₂ = = 0.441, р₃ = = 0.343.

Закон распределения случайной величины X записывается в виде таблицы

X	0	1	2	3
р	0.027	0.189	0.441	0.343

Наибольшую вероятность имеет событие, состоящее в том, что перегорят две лампочки.

ЗАДАНИЕ 5. Решить задачи на составление закона распределения дискретной случайной величины.

1. На ферме работают независимо друг от друга 2 транспортера. Вероятности безотказной работы этих транспортеров соответственно равны 0,8 и 0,9. Составить закон распределения случайной величины X - числа безотказно работающих транспортеров.

2. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения случайной величины X - числа выстрелов, производимых охотником. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

3. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и де­вочки, составить закон распределения случайной величины X — числа мальчиков в семье, имеющей трех детей.

4. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и девочки, составить закон распределения случайной величины X - числа девочек в семье, имеющей четырех детей.

5. Вероятность рождения бычка при отеле коровы равна 0,5. Составить закон распределения случайной величины X – числа, бычков в стаде из пяти коров.

6. В пруду лещи составляют 60 %. Составить закон распределения случайной величины X - количества лещей, содержащихся сре­ди пяти выловленных рыб.

7. Всхожесть семян равна 90%. Для опыта отбираются шесть семян. Составить закон распределения случайной величины X - числа всходов.

8. Вероятность появления черного кролика в потомстве равна 0,25. Составить закон распределения случайной величины X -числа черных кроликов в помете из четырех кроликов.

9. В лотерее на 1000 билетов разыгрываются три вещи, стоимости которых 210 руб., 60 руб. и 30 руб. Составить закон распределе­ния случайной величины X - суммы выигрыша для лица, имею­щего один билет.

10.Два стрелка делают по выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в неё первым стрелком 0,6, вторым - 0,4. Составить закон распределения случайной величины X- числа попаданий в мишень.

11.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Производится пять выстрелов. Составить закон распределения случайной величины X - числа попаданий в цель.

12.Вероятность заражения мыши вирусной инфекцией равна 0,2. Составить закон распределения случайной величины X - числа зараженных мышей среди отобранных четырех мышей.

13.В водоеме караси составляют 70%. Составить закон распределе­ния случайной величины X - числа карасей из пяти выловленных рыб.

14.Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения случайной величины Х- числа библиотек, которые посетит студент, если в городе четыре библиотеки.

15.Вероятность выпуска нестандартного изделия равна 0,1. Из пар­тии контролер берет изделие и проверяет его качество. Если из­делие оказывается нестандартным, дальнейшие испытания пре­кращаются, а партия задерживается. Если же изделие окажется стандартным, контролер берет следующее и т.д. Всего он прове­ряет не более пяти изделий. Составить закон распределения случайной величины X - числа проверенных изделий.

16.В техническом устройстве пять различных блоков, из которых один вышел из строя. С целью устранения неисправности наудачу выбранный блок заменяют заведомо годным из запасного ком­плекта, после чего сразу проверяется работа устройства. Соста­вить закон распределения случайной величины Х- числа замен блоков.

17.Имеется пять ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины X - числа опробований при открывании замка, если опробованный ключ в последующих опробованиях не участвует.

18.В зерне, предназначенном для очистки, 10% сорняков. Для опыта отобраны 4 зерна. Составить закон распределения случайной ве­личины X - числа сорняков среди четырех отобранных зерен.

19. Доля поражения зерна вредителями составляет 0,1. Для опыта отобрано 5 зерен. Составить закон распределения случайной ве­личины X - числа зараженных зерен.

20. Для данной местности вероятность того, что каждый день в тече­ние недели будет солнечным, составляет 0,6. Составить закон распределения случайной величины X - числа солнечных дней на протяжении недели.

21. В клетке 4 белых и 3 черных кролика. Для лабораторного опыта из клетки наудачу по одному без возвращения извлекаются кро­лики. Опыт прекращается при появлении черного кролика. Со­ставить закон распределения случайной величины Х- числа бе­лых кроликов, извлеченных до появления черного кролика.

22. Испытания прибора ведутся до получения третьего отказа. Веро­ятность выхода из строя прибора при каждом испытании равна 0,1. Найти закон распределения случайной величины X - числа отказавших приборов.

23. В урне 5 белых, 3 черных и 1 красный шар. Опыт состоит в из­влечении шаров из урны наудачу по одному без возвращения и прекращается, как только появляется белый шар. Найти закон распределения случайной величины X - числа черных шаров, извлеченных до прекращения опытов.

24. Три техника, работающих в мастерской, должны отремонтиро­вать за смену 7 принтеров. Известно, что из этих принтеров 3 требуют серьезного ремонта, а 4 нуждаются только в чистке и регулировке. Приступая к делу техники, выбирают первые 3 принтера наудачу. Составить закон распределения случайной ве­личины X - числа принтеров, требующих серьезного ремонта.

25.Автомобиль движется по трассе, на протяжении которой имеется 5 светофоров. Предполагается, что светофоры включаются неза­висимо и каждый из них разрешает движение с вероятностью 0,6. Составить закон распределения случайной величины X -числа светофоров, пройденных автомобилем до первой останов­ки.

26.Боезапас орудия - 4 снаряда. Стрельба по цели ведется одиноч­ными выстрелами до получения второго попадания (в случае трех первых промахов стрельба прекращается). Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины X - числа выстрелов.

27.Из клетки, содержащей 4 белых и 6 серых мышей, для исследования из­влекают по одному без возвращения 4 мыши. Составить закон распределения случайной величины X - числа белых мышеи в выборке.

28.Ученик слесаря должен изготовить ключ. В его распоряжении 5 болванок. Вероятность того, что болванка будет испорчена, рав­на 0,4. Составить закон распределения случайной величины X - числа болванок, оставшихся после изготовления ключа.

29.Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Составить закон распределения случайной величины Х - числа промахов, если вероятность попа­дания в цель при одном выстреле равна 0,6.

30.Две игральные кости одновременно бросают два раза. Составить закон распределения случайной величины X - числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.