Тема 3. Формула полной вероятности. Формула байеса.

Теорема 1. (Формула полной вероятности). Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления хотя бы одного из событий Н₁ Н₂, ... ,Н_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соот­ветствующую условную вероятность события А.

= +

+ +…+

События H₁, H₂, ... , Н_п называются гипотезами.

Теорема 2. (формула Байеса) Вероятность гипотезы H_i при усло­вии, что событие А уже произошло, может быть пересчитано по формуле

=

Пример 1. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 75 % из первого и 25 % из второго. При этом материал перво­го цеха имеет 15 % брака, а второго - 20 %. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка окажется стандартной.

Решение. Пусть А - событие, состоящее в том, что взятая бол­ванка стандартная, H₁ и Н₂ - события, состоящие в том, что болванка поступила из первого и второго цеха соответственно. Вероятность события А находим по формуле полной вероятно­сти

+ .

Здесь А/H₁- событие, состоящее в том, что стандартная болванка сделана в первом цехе, А/Н₂ - событие, состоящее в том, что стан­дартная болванка сделана во втором цехе. Из условия задачи полу­чаем:

Р(А/Н₁)=0,85, Р(А/Н₂) = 0,8, Р(H₁) = 0,75, Р(Н₂) = 0,25.

Тогда Р(А)=0,75ּ0,85+0,25ּ0,8=0,6375+0,2=0,8375.

Пример 2(обратная задача). Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 75 % из первого и 25 % из второго. При этом материал первого цеха имеет 15 % брака, а второго - 20 %. Взятая наугад болванка оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она была изготовлена 1-ым цехом.

Решение. События A, H₁ и Н₂ те же, что и в предыдущей задаче. Н₁/А- событие, состоящее в том, что стандартная болванка сделана в первом цехе при условии, что произошло событие А. Применяя формулу Байеса, получим

Р(Н₁ /А) = =0,7612

ЗАДАНИЕ 3. Решить задачи, используя формулу полной веро­ятности. Составить обратную задачу и решить ее, применяя формулу Байеса.

1. На трех линиях инкубатора заложены яйца в пропорции 1:2:3. В результате случайного повышения температуры в инкубаторе на первой линии погибли 10% зародышей, на второй - 5%, на треть­ей - 20%. Какова вероятность того, что зародыш в наудачу взятом яйце не погиб?

2. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,05, на втором - 0,04, на третьем - 0,03. Изготовленные детали складываются в один ящик. Произ­водительность первого станка в три раза больше производитель­ности второго, а третьего - в два раза меньше второго. Опреде­лить вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракован­ной.

3. На фабрике, изготовляющей некоторые изделия, первая машина производит 25 %, вторая 35 %, третья 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4, и 3 %. Какова ве­роятность выбрать бракованное изделие?

4. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором 30 деталей, из них 24 стандартных. Из первого ящика перекладывают деталь во второй. Найти вероятность того, что случайным образом извлеченная деталь из второго ящика стан­дартная.

5. В магазин поступают часы, изготовленные на трех заводах. Пер­вый завод производит 40 %, второй 30 %, третий 30 %. 50 % ча­сов выпущенных первым заводом спешат. На втором заводе чис­ло часов с таким дефектом 40 %, на третьем 70 %. Какова вероят­ность, что купленные Вами часы спешат?

6. Вся продукция проверяется двумя контролерами. Вероятность то­го, что изделие попадет на проверку к первому контролеру, равна 0,55, а ко второму - 0,45. Вероятности того, что первый контролер обнаружит нестандартное изделие, равна 0,01, а второй - 0,02. Какова ве­роятность, что выбранное изделие нестандартно?

7. Калийные удобрения поступают на склад хозяйства с завода 1 и с завода 2, причем с 1-го завода в 3 раза больше, чем со 2-го. Вероятность того, что удобрение с первого завода удовлетворяет стандарту, равна 0,8; со второго завода - 0,7. Определить вероятность того, что, взятое для пробы удобрение, удовлетворяет стандарту.

8. В трех клетках находятся мыши. В первой клетке 15% мышей заболело вирусной инфекцией, во второй 10%, в третьей - 20%. Из наудачу взятой клетки берут одну мышь. Какова вероятность того, что эта мышь здорова?

9. В двух корзинках находятся грибы: в первой 12 шт., из которых 4 белых; во второй - 24 шт., из которых 6- белых. Из наудачу выбранной корзины берут один гриб. Какова вероятность того, что гриб белый?

10. Морская свинка либо здорова (с вероятностью 0,8), либо нет. Ес­ли свинка здорова, то она может выполнить некоторое задание в 85% всех попыток. Если животное больное, то оно способно вы­полнить это задание лишь в 30% всех попыток. Какова вероят­ность того, что животное выполнит задание?

11. Навоз транспортируется на поля хозяйства из пункта А и пункта В, причем из первого пункта в 2 раза меньше, чем из второго. В первом пункте 80% перегнившего навоза, во втором 90%. Опре­делить вероятность того, что взятый для пробы на поле навоз - перегнивший.

12. Для посадки заготовлены три сорта семян бобов, из них первого сорта - 60%, второго - 10%, третьего - 30%. Вероятность того, что длина стручка не превышает 17 см для первого сорта, равна 0,75; для второго - 0,1; для третьего - 0,15. Какова вероятность того, что взятый наудачу стручок имеет длину не менее 17 см.?

13. На склад поступает продукция трех фирм. Продукция первой фирмы составляет 25% всей продукции, второй - 45%, третьей - 30%. Средний процент бракованной продукции для первой фир­мы равен 2%, для второй 1%, для третьей 1,5%. Какова вероят­ность того, что взятая наудачу продукция окажется бракованной?

14. На фермах А и В произошла вспышка заболевания туберкулезом. Доли зараженного скота составляют соответственно 60% и 40%. Какова вероятность того, что случайным образом отобранное для обследования животное оказалось больным?

15. Имеется две клетки: в первой 4 белых и 6 черных, во второй 6 белых и 8 черных кроликов. Из первой клетки во вторую пере­кладывают, не глядя, одного кролика. После этого из второй клетки берут одного кролика. Найти вероятность того, что этот кролик будет черным.

16. В партии 40% яблок собраны на первом участке и 60% на втором. Вероятность того, что с первого участка яблоки стандартные 90%, а со второго эта вероятность равна 80%. Какова вероятность того, что взятое наудачу яблоко оказалось стандартным?

17. Для обработки садов от яблоневой плодожорки в хозяйстве при­меняют препарат одного из двух типов А или В. Вероятность применения препарата типа А равна 0,7; а вероятность примене­ния препарата типа В равна 0,3. Эффективность препарата типа А составляет 0,8, а препарата типа В - 0,9. Какова вероятность того, что по­сле обработки сада наудачу взятым препаратом вредители были уничтожены?

18. На сортоиспытательной станции при подготовке семян к посеву основную их массу подвергают различным воздействиям: 75% облучают в электромагнитном поле, а остальные семена протрав­ливают в химическом растворе. Облученные семена прорастают с вероятностью 0,9; протравленные с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что наудачу взятое семя прорастет?

19. Больного обследуют на одно из трех заболеваний: X, Y или Z. Вероятности заболевания этими болезнями соответственно рав­ны 0,5; 0,2; и 0,3. Для уточнения диагноза назначен некоторый тест. Тест не идеален и оказывается положительным (т.е. показы­вает, что человек болен) лишь с некоторой вероятностью: если это X, то он положителен с вероятностью 0,1; если Y - с вероят­ностью 0,2; если же Z - то с вероятностью 0,9. Требуется опреде­лить вероятность заболевания.

20. Установлено, что в данном русском тексте после гласной буквы стоит гласная с вероятностью 0,15; а после согласной – согласная - с вероятностью 0,3- Найти вероятность того, что в наудачу вы­бранном слове, начинающимся с гласной буквы, третья буква бу­дет гласной (в русском языке 10 гласных и 20 согласных).

21. Одноразовые шприцы поступают на сборку с трех автоматиче­ских линий: с первой линии поступает 40% , со второй - 35%, с третьей - 25%. Среди шприцов, поступивших с первой линии, брак составляет 0,2%, со второй линии - 0,3%, с третьей линии - 0,1%. Найти вероятность того, что изготовлен бракованный шприц.

22. Для посева заготовлены семена пшеницы трех сортов: А, В и С. Они смешаны в пропорции 5:2:3. Вероятность того, что из зер­на сорта А вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен, равна 0,1; для сорта В - 0,3; для сорта С - 0,4. Определить вероятность того, что наудачу выбранное из смеси зерно даст колосс не менее чем с 50 зернами.

23. В первой урне 2 белых, 3 красных и 20 черных шаров, во второй урне 5 белых, 2 красных и 3 черных шара. Какова вероятность того, что из наудачу выбранной урны извлечен черный шар?

24. В продажу поступают телевизоры с трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго - 10%, третьего - 5%. Какова вероятность приобрести телевизор без дефекта, если в магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% - со второго и 50% - с третьего?

25. Из 10 студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероят­ности и взявших билеты, двое студентов знают 20 билетов из 30; трое студентов успели повторить только 15 билетов, остальные знают все 30 билетов. Знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85; а при незнании билета - с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что вызванный случайным образом сту­дент сдаст экзамен?

26. В лаборатории имеется 6 белых кроликов и 4 серых. Вероятность выработки иммунитета при вакцинации препаратом А - 0,95; препаратом типа В —0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый кролик имеет иммунитет?

27. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием А, 30% - с заболеванием В и 20% с забо­леванием С. Вероятность полного излечения заболевания А равна 0,7, для заболеваний В и С вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Какова вероятность излечения больного?

28. Из заготовленной для посева пшеницы зерно первого сорта со­ставляет 50%, второго сорта - 30%, третьего сорта - 20%. Вероятность того, что взойдет зерно первого сорта 0,8; второго - 0,6; третьего - 0,4. Какова вероятность того, наугад взятое зерно взой­дет?

29. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25 % всех женщин - дальтоники. На обследование прибыло мужчин в пять раз больше женщин. Какова вероятность того, что выбранное лицо оказалось дальтоником?

30. Детали поступают из двух цехов: 65 % из первого и 35 % из второго. При этом материал перво­го цеха имеет 0,5 % брака, а второго – 0,2 %. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка окажется стандартной.