Тема 6. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величи­ны называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие вероятности Математическое ожидание дает среднее или ожидаемое значе­ние, которое будет принимать случайная величина X в будущих экс­периментах.

Свойства математического ожидания:

1) М(С) = С;

2) М(СХ) = СМ(Х);

3) M(XY) = M(X)M(Y);

4) М(Х + Y) = М(Х) + M(Y).

Отклонением случайной величины X называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Дисперсией дискретной случайной величины называется мате­матическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

D(X) = σ²(X) =M[X-M(X)]².

Дисперсия вычисляется по формуле

D(X) = M(X²)-[M(X)]², М(Х²) = .

Свойства дисперсии:

1) D(X) = 0,

2) D(CX) = C²D(X),

3) D(X ±Y) = D(X) + D(Y) (верно, если Х и Y независимы).

Средним квадратичным отклонением случайной величины на­зывается квадратный корень из дисперсии

σ(X)= .

Пример. Заданы законы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

X	-4	2	6	8		Y	1	3
p	0,2	0,1	0,3	0,4		p	0,2	0,8

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величи­ны Z = 3X-5Y.

Решение. Найдем математические ожидания случайных величин Х и Y:

М(Х) = -4ּ0,2+2ּ0,1 + 6ּ0,3 + 8ּ0,4 = 4,4;

M(Y) = 1ּ0,2 + 3 ּ0,8 = 2,6.

Для нахождения дисперсий случайных величин вначале напишем законы распределения случайных величин X² и Y²

X2	16	4	36	64		Y2	1	9
p	0,2	0,1	0,3	0,4		p	0,2	0,8

и найдем математические ожидания для случайных величин X² и Y² по формуле

М(Х²) = 16ּ0,2 + 4ּ0,1 + 36-0,3 + 64ּ0,4 = 40;

М(Y²) = 1ּ0,2 + 9ּ0,8=8,1

Найдем дисперсии случайных величин X и Y по формулам

D(X) = М(Х²) - [М(Х)]² = 40 - (4,4)² = 20,64;

D(Y) = M(Y²)- [M(Y)]² = 8,1 - (2,6)² = 1,34.

Пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также независимостью случайных величин Х и Y, получим:

M(Z) = M(3X-5Y) = 3M(X)-5M(Y) = 3ּ4,4-5ּ2,6 = 0,2;

D(Z) = D(ЗХ-5Y) = 9D(X) + 25 D(Y) = 9ּ20,6 + 25ּ1,34 = 218,9.

ЗАДАНИЕ 6. Две независимые случайные величины X и Y заданы своими законами распределения

X	1	2	6	7		Y	0,1k	3
p	0,01k	0,1	0,3	px		p	0,2	0,8

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = 2Х - 3Y (число к - номер варианта).

Указание. Подставить в таблицы вместо параметра к номер варианта и вычислить вероятность р_х, используя равенство . Далее использовать решение вышеприведенного примера.