А. И. Ясаков, Г. И. ЧЕРНЫШОВА

ПРАКТИКУМ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

с агроприложениями

Учебное пособие

ВОРОНЕЖ

2005

Министерство сельского хозяйства

Российской Федерации

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Воронежский государственный аграрный университет

имени К.Д. Глинки

А. И. Ясаков, Г. И. ЧЕРНЫШОВА

ПРАКТИКУМ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

с агроприложениями

Учебное пособие

ВОРОНЕЖ

2 005

Печатается по решению редакционно-издательского совета ВГАУ

УДК 517.37

Рецензенты:

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и экономико-математических методов Воронежской государственной технологической академии

Ключанцев М.И

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики ВГАУ

В.С. Воищев

Практикум по теории вероятностей с агроприложениями: Учебное пособие/ Ясаков А.И., Чернышова Г.И.. Воронеж: ВГАУ, 2005. 52с.

Учебное пособие составлено в соответствии с учебным планом профессионально-педагогического факультета по теории вероятностей.

Излагаются основы теории и примеры. Приведены варианты для самостоятельной работы.

Рекомендуется в первую очередь студентам профессионально-педагогического факультета, а также всем начинающим изучать курс по теории вероятностей.

Библ: 5 назв., 1 илл.

 Ясаков А.И., Чернышова Г.И., 2005.

 Воронежский государственный аграрный университет имени К. Д. Глинки, 2005.

Настоящее учебно-методическое пособие преследует цели:

научить самостоятельно применять теоретические выводы тео­рии вероятностей для решения задач контрольной работы;

обозначить рамки необходимых знаний и практических навыков по теории вероятностей для успешной сдачи экзамена по этой теме;

обеспечение студентов индивидуальными заданиями для само­стоятельной работы.

В методических указаниях содержатся сведения, необходимые для выполнения заданий. Каждое теоретическое утверждение иллю­стрируется одним или несколькими примерами, что должно позво­лить студенту самостоятельно решить соответствующие задачи.

При выполнении заданий рекомендуется студентам ознакомить­ся с теоретическим материалом, указанным в программе.

Программа раздела «теория вероятностей»

1. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события. Классификация случайных событий. Статистическая и классическая вероятность. Вычисление вероятностей. Комбинаторные формулы [1, с. 17-30].

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей [1, с. 31-47].

3. Следствия теорем сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса [1, с. 48-53].

4. Повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступления событий. Локальная и интегральная теорема Лапласа, формула Пуассона [1, с. 55-61].

5. Случайные величины. Задание дискретных случайных величин [1, с. 64-68].

6. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины [1, с. 75-95].

7. Функция и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины [1, с. 111-124].

8. Нормальное распределение [1, с. 124-137].

9. Закон больших чисел [1, с. 96-110].

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теория вероятностей изучает закономерности, которые имеют место в испытаниях (опытах, экспериментах), исход которых неод­нозначен, недетерминирован. Например, при одном бросании моне­ты имеем два исхода: выпадение «орла» или «решки».

Исход - какой либо результат опыта. Например, монета брошена 2 раза. Исходы этого опыта следующие: {ОО, ОР, РО, РР}, где «О» и «Р» выпадение «орла» или «решки» при первом и втором бросании.

Событие (или случайное событие) - совокупность нескольких исходов опыта.

События обозначаются заглавными буквами А, В, С, ... . Следует говорить стандартную фразу: «А - событие, состоящее в том, что ...». Так, для предыдущего примера А= {ОР, РО, РР} - событие, состоящее в том, что выпадает хотя бы один раз «решка».

Событие, состоящее из всех исходов опыта, называется досто­верным и обозначается символом U. Например, если монета бро­шена 1 раз, то U= {О, Р}, если 2 раза, то U= {ОО, ОР, РО, РР}. Событие, не содержащее ни одного исхода опыта, называется невозможным и обозначается символом V.

Два события А и В называются несовместными для данного опыта, если они не могут произойти одновременно при проведении опыта.

Элементарными событиями данного опыта называются вза­имно исключающие исходы опыта. Событие U всегда содержит все элементарные события и называется достоверным. Так при одном бросании монеты имеются два элементарных события «О» и «Р» и, следовательно, событие U= {О, Р}.

Сложение событий (операция «или»). Суммой двух событий А и В называется третье событие С =А+В, состоящее в появлении со­бытия А или события В, или А и В одновременно.

Умножение событий (операция «и»). Произведением событий А и В называется третье событие С = АּВ, состоящее в совместном по­явлении событий А и В.

Отрицание события (операция «не»). Отрицанием события А называется новое событие (читается «не А»), удовлетворяющее условию А +А = U, т.е. их сумма есть достоверное событие. События А₁, А₂, ..., А_n образуют полную группу событий, если они попарно несовместны а их сумма есть достоверное событие, т.е. A₁+ A₂+ ...+A_n=U. В частности, события А и образуют полную группу событий.

Если событию А (из некоторого опыта) поставить в соответствие число Р(А) из промежутка [0,1], то это число называется веро­ятностью события А . Веро­ятность события А интерпретируется как мера возможности появления события А.

Если все исходы опыта равновозможны (т.е. равновероятны) и их число конечно и равно n, то вероятность (классическая вероят­ность) события А равна P(A)=k/п , где k - число исходов, благоприятствующих событию А, п - число всех возможных элементар­ных исходов в данном опыте.

Из формулы вероятности следуют основные свойства:

а) вероятность достоверного события равна 1;

б) вероятность невозможного события равна 0;

в) вероятность случайного события А удовлетворяет неравенству 0 < Р(А) < 1.