Случай распределенного ущерба.

Мы рассмотрели модели индивидуального риска для случая фиксированного ущерба. Это, естественно не охватывает все многообразие страховых договоров. В случае распределенного ущерба меняются несколько формулы расчета, но принцип остается прежним. Перечислим следующие четыре возможных варианта (в определенном смысле аналогичных ранее изложенным):

• для всех договоров требование предъявляется с вероятностью р, а величина выплаты распределена по закону с плотностью f(х);

• вероятность p постоянна, а плотности f_i(x) различны;

• вероятности p_i различаются, а плотность f(x) постоянна;

• различаются и вероятности p_i, и плотности f_i(x).

Очевидно, что каждая из перечисленных ситуаций порождает определенную индивидуальную модель риска.

Пример.

Есть n = 1000 срочных договоров с вероятностью предъявления требования p = 0,1. При наличии требования размер его Х имеет равномерное распределение на (0, 900). Компания имеет собственные активы U₀ = 1000. Задана надежность не разорения γ = 95%. Оценить ситуацию.

Решение. Очевидно, плотность равна f(x) = 1/(b – a) =0,001

1 этап (расчет отдельного договора).

2 этап (расчет портфеля).

3 этап (расчет условия неразорения).

Определим правую границу возможных выплат по искам Z_Г при заданной надежности γ.

Вывод: собранных рисковых премий, с учетом собственных активов, при заданной надежности может не хватить на выплату по искам. Требуется вводить рисковую надбавку. Если исключить из страхового фонда собственные активы компании, тогда необходимо ввести дополнительно к рисковой премии рисковую надбавку:

Все остальные типы договоров рассчитываются по общему правилу.

Делается расчет по конкретному субпортфелю. Затем результаты суммируются.

В заключении, приведем пример расчет портфеля, который содержит как фиксированные, так и распределенные ущербы.

Пример. Портфель страховщика состоит из двух субпортфелей.

1-й субпортфель. Договор страхования автомобиля от угона со следующими характеристиками: количество договоров n₁ = 3000, вероятность страхового случая p₁ = 0,01; страховая сумма S = 2500.

2-й субпортфель. Страхование автомобиля от ущерба при аварии со следующими характеристиками: количество договоров n₂ = 4000, вероятность страхового случая p₂ = 0,05, страховая стоимость объекта С = 2500. Ущерб распределен равномерно на отрезке [0,C]. Найти нетто премии в субпортфелях для надежности γ =0,95.

Решение.

1 этап (расчет отдельного договора).

2 этап (расчет портфеля).

3 этап (расчет нетто премий в субпортфелях).

Применяя принцип равенства относительных надбавок в портфеле и субпортфелях получим.

Проводя расчет рисковых надбавок, мы использовали нормальное распределение для случайной величины Z. При большом объеме портфеля данное распределение оправдано, однако при небольших портфелях процедура расчета закона распределения суммарных возмещений Z изменяется. Рассмотрим некоторые из них.