Глава 3. Модели риска в страховании
Элементарной составляющей финансового риска страховой компании являются выплаты (потери, убытки) по индивидуальному договору Yi. Эта величина в общем случае будет зависеть от величины ущерба страхуемого объекта Хi, вероятности наступления страхового случая pi, страховой стоимости объекта Сi, страховой суммы Si, а также от выбора формы ответственности. Кроме того, в ряде случаев (например, при страховании жизни) в рамках договора страхования может произойти только один страховой случай. В других случаях (например, при страховании автомобилей от аварии) за время действия одного договора может произойти несколько страховых случаев. Таким образом, даже на этом этапе, перед страховщиком стоит достаточно сложная задача определения выше обозначенной величины возмещения Yi.
С другой стороны, главной составляющей финансового риска страховой компании является общая сумма выплаты:
.
Если страховщик имеет активы на сумму U, которые складываются из страхового фонда (сумм собранных нетто-премий) Пн и собственных средств U0:
U = U0 + Σπн = U0 + Пн,
то главной его задачей является определить вероятность выполнения своих обязательств, т.е. P(Z<U). Сложность решения данной задачи породило два подхода в актуарной математике страхования: индивидуальную и коллективную модели риска.
Теория страхового риска исторически начинается с построения модели для индивидуальных убытков. В рамках этой модели интересуются только величиной индивидуального возмещения Yi, измеренной в тех или иных денежных единицах. Основным является следующее положение: относительно величины потерь, связанного с отдельным конкретным договором, нельзя заранее сказать ничего определенного, кроме простой констатации факта, что он либо будет, либо нет. Однако, если страховщик сформировал большой портфель однородных договоров, то он может рассматривать величину возмещения Y как случайную величину по усредненному договору. В этом случае величина Yi является реализацией случайной величины Y в i-ом договоре. Таким образом, если страховщик имеет портфель с большой однородной группой договоров и не интересуется судьбой конкретных договоров из этой группы, то он может изучать величину Y в рамках теории вероятностей и математической статистики.
3.1. Индивидуальная модель риска.
Модель индивидуального риска – это простейшая модель функционирования страховой компании, предназначенная для расчета вероятности разорения. В основе любой модели лежит принцип упрощения реального явления, процесса. Модель фиксирует наиболее важные и существенные свойства и связи и отбрасывает малозначимые. Модель индивидуального риска базируется на следующих упрощающих предположениях:
1. анализируется фиксированный, относительно короткий промежуток времени (так что можно пренебречь инфляцией и не учитывать доход от инвестирования активов) – обычно это один год;
2. число договоров страхования n фиксировано и не случайно (система замкнута);
3. премия полностью вносится в начале анализируемого периода, никаких новых поступлений в течение этого периода нет;
4. наблюдается каждый отдельный договор страхования и известны статистические свойства связанных с ним индивидуальных потерь;
5. предъявляется только 1 иск по договору.
Обычно предполагается, что в модели индивидуального риска случайные величины Y1, Y2,…, Yn – независимы и имеют один закон распределения. Если портфель имеет неоднородность и эту неоднородность нельзя обойти, введя какую-то рандомизацию, тогда необходимо весь портфель разбить на субпортфели, внутри которых условие однородности выполнено.
В рамках индивидуальной модели риска разорение определяется суммарными выплатами по портфелю Z = Y1 + … + Yn. Если эта сумма больше, чем активы компании U, то компания не сможет выполнить все свои обязательства и разорится. Поэтому вероятность разорения компании равна
В страховании величина ущерба объекта страхования Xi может иметь фиксированный или распределенный характер. Рассмотрение индивидуальной модели риска начнем, как и раньше, со случая фиксированного ущерба.