Случай фиксированного ущерба.

Вернемся к модели индивидуального риска. Страховщика интересует общий размер страховых выплат по всему страховому портфелю. Рассмотрим ситуацию, где все договоры заключены на один год. Тогда возможны следующие варианты:

1. для всех договоров одинаковы и страховые суммы S, и вероятности требований о выплате р;

2. страховые суммы S одинаковы, а вероятности p_i различны;

3. страховые суммы S_i различны, а вероятности р одинаковы;

4. различаются и страховые суммы S_i и вероятности p_i.

Во всех случаях ущерб фиксирован, и можно предъявить только одно требование о выплате. Последнее требование является обязательным для индивидуальной модели риска. Приведем примеры для данных вариантов. Будем считать, что активы компании складываются из рисковых премий П₀ = Σπ₀ и собственных активов компании U₀.

Вариант 1. Для всех договоров одинаковы и страховые суммы S, и вероятности требований о выплате р. Случай полностью однородного портфеля.

Портфель содержит n = 400 независимых договоров страхования, заключенных на 1 год. Все страховые суммы одинаковы S = 1000. При наступлении страхового случая выплачивается возмещение, равное страховой сумме Y = S. Вероятность наступления страховых случаев одинаковы p = 0,1. Компания имеет собственные активы U₀ = 1 500. Задана надежность неразорения γ = 95%. Оценить ситуацию.

Решение.

1 этап (расчет отдельного договора).

2 этап (расчет портфеля).

3 этап (расчет условия неразорения).

Определим правую границу возможных выплат по искам Z_Г при заданной надежности γ, перейдя к нормированной случайной величине. Будем считать, что объем портфеля достаточный, чтобы предположить, что случайная величина Z распределена по нормальному закону.

Здесь Ф(х) – функция Лапласа, β – квантиль нормального распределения^.

Вывод: собранных рисковых премий, с учетом собственных активов, при заданной надежности может не хватить на выплату по искам. Требуется вводить рисковую надбавку.

Расчет других вариантов.

Общий принцип расчета для других вариантов остается прежним. Вычисляются характеристики по одному типу договора, а потом производится соответствующее суммирование для получения данных по портфелю.

Вариант 2. Страховые суммы S одинаковы, а вероятности p_i различны.

Портфель содержит n = 300 независимых договоров страхования на 1 год. Все страховые суммы одинаковы S = 1000. Вероятности требования по n₁ = 100 договорам равны p₁ = 0,1; а по другим n₂ = 200 договорам – p₂ = 0,2. Задана надежность неразорения γ = 95%. Компания имеет собственные активы U₀ = 1 500. Оценить ситуацию.

Решение.

Поскольку в портфеле представлено два вида риска, то логично разделить его на два однородных субпортфеля. Расчет ведем для них как в 1-м варианте.

1 этап (расчет отдельного договора).

2 этап (расчет портфеля).

3 этап (расчет условия неразорения).

Вывод: Не хватает 900. Требуется введения рисковой добавки.

Вариант 3. Страховые суммы S_i различны, а вероятности р одинаковы.

Портфель содержит n = 8000 договоров страхования на 1 год. Из них n₁ = 5000 договоров на страховую сумму S₁ = 10 000, и n₂ = 3000 договоров на сумму S₁ = 20 000. Вероятности предъявления требования одинаковы и равны p = 0,02. Компания имеет собственные активы U₀ = 60 000. Задана надежность неразорения γ = 95%. Оценить ситуацию.

Решение. Аналогично варианту 2 разобьем портфель на два однородных субпортфеля.

1 этап (расчет отдельного договора).

2 этап (расчет портфеля).

3 этап (расчет условия неразорения).

Вывод: Не хватает 24∙10⁴ . Требуется введения рисковой добавки.

Четвертый случай рассматривается аналогично.