Рисковая надбавка при распределенном ущербе.
Основное и принципиальное отличие формирования страховой премии при фиксированном ущербе от премии при распределенном ущербе заключается в том, что:
при фиксированном ущербе мы имеем дело с одной случайной величиной – К, числом страховых случаев или относительной частотой событий w = k/n, отличной от вероятности p.
при распределенном ущербе у нас наряду со случайной величиной – K, появляется новая случайная переменная X – величина ущерба объекта страхователя. В этом варианте на рисковую надбавку влияет как отклонение числа страховых случаев от среднего ожидаемого, так и отклонение величины ущерба X от его математического ожидания EX. Таким образом, при распределенном ущербе меняется и вид формулы для рисковой надбавки.
Для актуарных расчетов в случае распределенного ущерба удобнее пользоваться величиной Z, которая определяет суммарные выплаты по портфелю. Если портфель качественно однороден, т.е. не содержит резко выделяющихся наблюдений (договоров), и число договоров n достаточно велико, то согласно закону больших чисел суммарный объем возмещений в портфеле подчиняется нормальному закону, тогда можно записать:
Здесь Zmax – максимальная величина возможных суммарных выплат по портфелю при заданной надежности γ. Для однородных договоров, с независимыми выплатами Yi, имеющих одинаковый закон распределения, можно написать:
Тогда формула для рисковой надбавки по отдельному договору приобретает вид:
,
где DY – дисперсия возмещения страховщика в отдельном договоре. Согласно формуле (2.1.4) она равна:
Пример 2.9.
В страховой компании N = 5000 договоров, в каждом из которых вероятность страхового случая равна p = 0,05. Страховая стоимость объекта страхования C = 300, а размер страхового ущерба распределен по следующему закону:
хi |
30 |
60 |
90 |
120 |
150 |
180 |
210 |
240 |
270 |
300 |
gi |
0,35 |
0,20 |
0,15 |
0,10 |
0,07 |
0,05 |
0,03 |
0,02 |
0,02 |
0,01 |
Учитывая, что собственный капитал компании U = 1 500, а средняя относительная надбавка на рынке θср = 10%, оценить ситуацию для надежности γ = 0,95.
Решение.
Чтобы обеспечить конкурентоспособность страховая компания устанавливает нетто-премию в размере
πн = 4,35∙1,1 = 4,785.
Поскольку рассчитанная относительная рисковая надбавка в портфеле страховщика , выше среднерыночной по данному виду риска ср., то страховщик обязан уменьшить ее за счет собственного капитала:
Таким образом, разницу 4,35∙(0,127-0,100)∙5000 = 587, страховая компания покрывает из собственного капитала.
Пример 2.10.
В страховой компании N = 5 000 договоров, в каждом из которых вероятность страхового случая равна p = 0,05. Страховая стоимость С = 600, а размер страхового ущерба распределен по показательному закону f(x) = λ∙e-λx, λ = 7∙10-3. Учитывая, что собственный капитал компании U = 2 000, а средняя относительная надбавка на рынке θср = 10 %, оценить ситуацию для надежности γ = 0,95.
Решение.
В данной задаче мы имеем случай усеченного распределения. Вычислим математическое ожидание и дисперсию ущерба страхователя, воспользовавшись ранее выведенным формулам:
Чтобы обеспечить конкурентоспособность страховая компания устанавливает нетто-премию в размере
πн = 7,035∙1,1 = 7,74.
Таким образом, разницу 7,035∙(0,141-0,10)∙5000 = 1442, страховая компания покрывает из собственного капитала.
Замечание. Для сравнения приведем результаты расчета в случае обычного показательного распределения с бесконечным пределом.
