5691

3.1.Определение предела последовательности…..…………………....34

3.2.Бесконечно большие последовательности…..…………………….38

3.3.Бесконечно малые последовательности и их свойства……..…….41

3.4.Основные свойства сходящихся последовательностей……..…....46

3.5.Предел суммы, произведения, частного и

степенно-показательного выражения…………………………….48

3.6. Особые случаи и неопределённые выражения…..………………..50 3.7. Предельный переход в равенстве и неравенствах…..........……….54

3.8.Пределы монотонных последовательностей………..…………….56

3.9.Принцип стягивающихся отрезков…………..…………………….59

3.10. Число Эйлера е ………………………..…………………………...60

3.11.Некоторые приложения понятия предела……..…………………65 3.12. Определение и основные свойства

подпоследовательностей………………………………………....66

3.13. Критерий Коши………………………………………………….....69 Упражнения………………………………………………………71

Глава 4. Арифметическое n-мерное пространство…………………………....79

4.1.Определение арифметического n-мерного пространства..……….79

4.2.Последовательности точек пространства Rn и их пределы…..….83

4.3.Некоторые геометрические вопросы пространства Rn ………...…88

4.4.Ограниченные, открытые, замкнутые, связные и

выпуклые множества в пространстве Rn………………………..92

Упражнения………………..……………………………………….100

4

Введение

Учебное пособие соответствует государственному стандарту дисциплины «Математический анализ» для студентов специальности «Математические методы в экономике». Оно может быть использовано для экономических специальностей с углубленным изучением общего курса математики (экономическая теория, антикризисное управление, экономика труда, статистика).

Впособии подробно изложена теория пределов последовательностей

водномерном и n-мерном арифметических пространствах. Имеются некоторые приложения, в том числе экономического содержания. Теоретические положения и выводы иллюстрируются n примерами. Имеется значительный набор упражнений для закрепления изучаемого материала на практических занятиях и при самостоятельной работе.

Фактически пособие является введением в математический анализ, и будет применяться в теории пределов функций одной и многих переменных, в теории рядов, дифференциальном и интегральном исчислениях.

5

Глава 1. Множества

В математике при формулировке определений и теорем используют-

ся слова «существует», «существует единственный», «для любого» и др.;

для краткости записи вместо этих слов будем использовать логические символы (знаки):

–существует, найдётся;

!– существует единственный;

–любой, всякий, каждый;

–следует, влечёт за собой;

–равносильно, тогда и только тогда, необходимо и достаточно;

–принадлежит;

Одним из исходных и неопределяемых понятий в математике является понятие множества. Создатель теории множеств Георг Кантор дал следующее определение: «Множество (совокупность, семейство) – это собрание определённых и различных объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое в качестве целого. Объекты, составляющее множество, называются его элементами».

Запись x X означает, что элемент x принадлежит множеству X ( x входит в множество X ). Определённое (конкретное) множество будет считаться заданным, если относительно любого элемента (объекта, предмета) верно одно и только одно их двух утверждений: либо этот элемент входит в данное множество, либо не входит (элемент не принадлежит этому множеству).

Множества задаются двумя способами: либо с помощью перечисления элементов данного множества, либо с помощью указания характеристического свойства элементов этого множества. Множество X , состоящее из элементов x , обладающих свойством P , обозначается

Множество называется конечным, если можно говорить о числе его элементов, т.е. если количество элементов можно выразить каким-то целым положительным числом. В противном случае оно называется бесконечным множеством. У пустого множества число элементов равно нулю.

Определение 1. Множество X называется подмножеством множе-

6

ства Y ( X содержится в Y или X является частью Y ), если

жеств X и Y называется новое множество X Y , состоящее их всех элементов обоих множеств (при этом одинаковые элементы учитываются один раз).

С помощью логических символов объединение двух множеств мож-

множеств, т.е. элементов, принадлежащих как X , так и Y .

С помощью логических символов пересечение двух множеств запишется так:

X Y x : x X и x Y .

В математическом анализе основным рассматриваемым множеством является множество действительных (вещественных) чисел R, которое ещё будем обозначать ( , ). Строгое построение теории вещественных чисел достаточно сложно.

Множество вещественных чисел R есть объединение множества Q рациональных чисел и множества I иррациональных чисел (R= Q I).

Каждое рациональное число есть либо некоторая конечная десятичная дробь (бесконечная дробь с нулём в периоде), либо бесконечная десятичная периодическая дробь.

Каждому иррациональному числу соответствует некоторая бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Будет использоваться геометрическое представление (истолкование, изображение) вещественных чисел. Для этого на некоторой прямой линии выбирается точка O в качестве начала отсчёта, положительное направление и масштабный отрезок OE , длина которого принимается за единицу. После этого выбора прямая называется координатной прямой (числовой прямой или числовой осью). Обычно числовую ось располагают горизон-

7

тально, а за положительное направление берут направление слева направо. Координатную прямую будем обозначать Ox .

Между множеством R всех вещественных чисел и множеством всех точек M координатной прямой Ox имеется взаимно-однозначное соответствие:

1)каждому вещественному числу x соответствует определённая (конкретная) точка M прямой;

2)каждой точке M прямой соответствует некоторое вещественное число x .

При этом число x называют координатой точки M и записывают как M (x) . В связи с этим вещественные числа называют точками. Дей-

ствительные числа (точки) заполняют собой сплошь всю числовую прямую.

Отметим, что точке O (началу координат) приписывается число 0 , а точке E – число 1. Различным числам соответствуют различные точки и

Рис. 1 Напомним, что модуль (абсолютная величина) вещественного числа

x определяется следующим образом:

(действия) над числами обладают определёнными свойствами. Кроме того, множество R является линейно упорядоченным. Это означает, что для

x, y R выполнено одно и только одно из соотношений x y, x y, x y.

Рассмотрим множества, которые будут часто встречаться в дальнейшем изложении и являются подмножествами R. Это, прежде всего, следующие два множества:

1)N 1,2,3,... – множество натуральных чисел,

2)Z ..., 2, 1,0,1,2,... – множество целых чисел.

8

Эти множества заданы перечислением элементов.

Будут использоваться следующие промежутки конечной длины

Общее обозначение любого такого промежутка – a,b . Каждый промежу-

ток задан указанием характеристического свойства его элементов. Кроме того, применяются промежутки бесконечной длины (полупрямые или чис-

ловые лучи)

существует такое число m, что для любого числа x из множества X вы-

Число m называется нижней границей множества X .

Очевидно, что для ограниченного сверху множества существует бесконечно много верхних границ, а для ограниченного снизу множества – бесконечно много нижних границ.

Определение 7. Множество X , одновременно ограниченное сверху

Наименьшая из верхних границ ограниченного сверху множества X называется точной верхней границей этого множества и обозначается sup X , а наибольшая из нижних границ ограниченного снизу множества

9

X называется точной нижней границей этого множества и обозначается inf X . Часто точную верхнюю границу называют верхней гранью, а точную нижнюю границу – нижней гранью.

Введём равносильные определения этих понятий.

Условие 1) означает, что M * есть верхняя граница для X (одна из верхних границ), а условие 2) – что M *есть наименьшая из верхних гра-

Рис. 3 Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) множество

имеет точную верхнюю (точную нижнюю) границу.

Проиллюстрируем понятия этой темы примерами.

Примерами множеств, объединённых по какому-то определённому признаку, являются:

1) множество всех студентов данного института;

10

2)множество всех первокурсников этого института;

3)множество многочленов степени n;

4)множество многочленов степени, не превосходящей n;

5)множество всех прямых, проходящих через фиксированную точку. Первые два множества являются конечными, а три последующих –

бесконечными. При этом второе множество является подмножеством первого, а третье – подмножеством четвёртого.

элементов. Это множество конечно, т.к. состоит из двух элементов. Оно

В этой записи множество задано перечислением его элементов. Хотя все элементы множества не выписаны, но структура его очевидна.

Это множество можно записать с помощью характеристического свойства следующим образом:

Данное множество является ограниченным. Верхними границами являются

M x, yна координатной плоскости Oxy , равноудалённых от начала ко-

выбранной декартовой прямоугольной системе координат Oxy окруж-

ность радиуса r с центром в начале координат. В приведённых записях X и Y задавались характеристическими свойствами.

Рассмотрим примеры операций над множествами.