Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5691

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

3.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

чением – множество X Y 3, 4, 5, 6 . Все эти множества конечны,

ограничены, имеют точные нижние и точные верхние границы (укажите их).

Пусть X	1, 6 , Y 3, 8 . Объединением этих множеств является
отрезок X Y	1, 8 , а пересечением – отрезок X Y 3,6 . Все эти

множества бесконечны, ограничены, имеют точные границы. Например, inf X Y 3, sup X Y 6 . Читателю рекомендуем сделать изображение этих множеств на координатной прямой.

Обратимся к рассмотренным выше множествам N и Z. Оба множества бесконечны. Множество натуральных чисел ограничено снизу, а сверху не ограничено. Любые числа m 1 будут его нижними границами, при

этом inf	1; sup	. Множество целых чисел не ограничено ни
снизу, ни сверху; inf		, sup	.
Все промежутки a,b		являются ограниченными множествами. Точ-

ной нижней границей любого такого промежутка является число a , а точной верхней границей – число b .

Все числовые лучи являются неограниченными множествами. Дополнительные вопросы по этим множествам будут поставлены в упражнениях.

Метод математической индукции

Метод математической индукции является одной из форм математического рассуждения и позволяет доказывать тождества и неравенства, одна или обе части которых зависят от натурального числа n .

В основу метода математической индукции положены аксиомы Д. Пеано:

1) для каждого натурального числа n существует одно и только одно следующее за ним натуральное число n 1;

2)единица является натуральным числом, причём она не следует ни за каким натуральным числом;

3)ни одно натуральное число не следует за двумя различными натуральными числами;

4)если множество A содержит единицу и вместе с каждым числом

k содержит следующее за ним число k	1, то множество A содержит все
натуральные числа.
Пример 1. Докажем методом математической индукции, что для всех
n 1 верно равенство
1 2 n		n(n 1)	.
1 2 n	2		.
	2

Первым этапом проверим утверждение для n

Действительно,

1(1 1)

.Вторым этапом предположим, что равенство справедливо при

n k . Для упрощения выкладок введём обозначение

S(k) 1

2 k , тогда выполняется

S(k)

k(k

Третьим этапом докажем, что исходное равенство верно и для

n k

т.е.

S(k

1)(k

Действительно,

S(k 1) 1 2 k (k 1) S(k) (k 1)

k(k 1)

(k 1)

1)(k

что и требовалось доказать.

Пример 2. Доказать, что

для любых n

положительных

чисел

y1,

y2 ,...,

yn , удовлетворяющих условию

y1y2 ...yn

(1.3)

имеет место соотношение

... yn

(1.4)

Решение. При

n 1 из условия (1.3) следует, что

1. Поэтому

соотношение (1.4) выполнено.

Пусть при n

k из условия (1.3) следует соотношение (1.4) и пусть

1 положительных чисел

y1,

y2 ,...,

yk ,

1 удовлетворяют усло-

вию (1.3). Докажем, что для них выполнено соотношение (1.4). Если все эти числа равны 1, то их сумма равна k 1и соотношение (1.4) имеет место. Если же среди указанных чисел есть хотя бы одно, отличное от 1, то обязательно найдётся ещё одно число, не равное 1. При этом если одно число больше 1, то другое меньше 1. Не умаляя общности, предположим, что yk 1, yk 1 1. Произведение k чисел y1, y2 ,..., yk 1, yk , yk 1

в силу условия (1.3) равно 1. Поэтому по индуктивному предположению

y1	y2 ...			yk	1	yk yk	1	k.
Отсюда получаем
y1 y2	...	yk	1	yk yk		1 k		yk yk	1,
или
y1 y2 ...	yk	1	k	1	yk	yk	1	yk yk	1 1

k	1 (1 yk 1)( yk	1)	k 1,
т.е. соотношение (1.4)	выполнено при n	k	1. Таким образом, для лю-

бых n положительных чисел, удовлетворяющих условию (1.3), выполнено соотношение (1.4).

Упражнения

1.Укажите конечные и бесконечные из перечисленных множеств:

1)множество всех студентов данного факультета;

2)множество всех пятикурсников этого факультета;

3)множество корней многочлена данной степени;

4)множество параллелограммов на плоскости;

5)множество ромбов на плоскости;

6)множество чётных чисел;

7) множество решений неравенства х2

25 0;

8)множество зёрен на початке кукурузы;

9)множество натуральных чисел, кратных числу 3. Какие из этих множеств являются числовыми?

2. Следующие множества запишите с помощью перечисления их элементов:

1) множество корней уравнения х2

1 0 ;

2)множество нечётных чисел;

3)множество точек на координатной прямой, расстояние от которых до

начала координат равно r (например, r 5 ); 4) множество решений уравнения х 5 .

3.Следующие множества запишите с помощью характеристического свойства элементов указанного множества:

1)множество действительных чисел, абсолютная величина которых менее пяти;

2)множество действительных чисел, абсолютная величина которых не более пяти;

3)множество точек координатной прямой, расстояние от которых до точки M 1 не превосходит пяти;

4)множество точек координатной прямой, расстояние от которых до точки M 1 более пяти;

5)множество точек координатой прямой, расстояние от которых до точки M 1 не менее пяти.

4.Требуется расставить знаки включения , между следующи-

			14
ми множествами или частью из них: Z, N, I, Q, ,
a,b ,	a,b , a,b , a,	,	a,	, x R : x 2n, n	.
5.	Верны ли включения N	Z	Q	R?
6.	Верно ли включение X	X ?

7.Укажите равные среди следующих множеств:

1)множество N натуральных чисел;

2) множество чисел, удовлетворяющих равенству х 2 ;

3)множество нечётных чисел;

4)множество точек координатной прямой, расстояние от которых до начала координат меньше двух;

5)x : x 0 ;

6)2, 2 ;

7)	x	R :	x	2	;

8)	x	R :	x	2	;
9)	x	R : x		2n	1, n	;

10)	x R :	x	2 ;
11)	интервал		2, 2 ;
12)	отрезок		2, 2 .

8.Является ли пустым множество 0 ?

9.Что можно сказать о множестве действительных решений уравне-

ния х2 1 0 ?

10. Найдите объединение и пересечение следующих множеств:

1)	X	2,	1,	0, 1,	2 ,Y	1, 0, 1 ;
2)	X	3, 5, 7 , Y			1, 3, 5, 7, 9 ;
3)	X	2, 4, 6 , Y			1, 3, 5 ;
4)	X	5 , Y		5, 10, 15 ;
5)	X	0, 1	, Y	0, 1 ;
6)	X	1, 3, 5,..., 2n			1, ... , Y	2, 4, 6,..., 2n, ... , n N;
7)	X	5, 15 , Y		8, 12 ;
8)	X	3, 6	, Y	1, 10 ;

9) X		2, 10 , Y		5, 15 ;
10)	X	5, 5 ,	Y	0,	; ;
11)	X	0, 3 , Y		1, 2 ;
12)	X	10, 15 ,	Y	1, 5 ;
13)	X	1, 4 , Y		3, 8	;
14)	X	,0 ,	Y	0,	.

11. Найдите объединение и пересечение множеств:


1)	отрезка	a, b и интервала a, b ;
2)	отрезка	a, b и полуотрезка					a, b ;
3)	отрезка	a, b и полуотрезка					a, b ;
4)	отрезка	a, b и луча			a,		;
5)	отрезка	a, b и луча			a,		;
6)	интервала		a, b	и луча		a,	;
7)	интервала		a, b	и луча		a,	;

8)отрезка a, b и a, b ;

9)интервала a, b и a, b .

12.Что представляет собой пересечение множества рациональных с множеством иррациональных чисел?

13.Верны ли равенства

1)	X Y		Y X ,	2) X Y	Y X ?
	14.	Верны ли следующие утверждения:
1)	X X		X ;		2) X X X ;
3) если X			Y , то X Y	Y ;	4) если X	Y , то X Y			X ?
	15.	Выясните, какие из десятичных дробей выражают рациональные
числа и			какие – иррациональные числа:			2,999...	;	3,000...	; 0,333	...;
2,71888...			; 0,12345678910111213...; 4,172737...;5,121212...				;	2,7182818284590...		;

3,14159... Рациональные из этих чисел запишите в виде обыкновенных дробей.

16.Что можно сказать о парах следующих чисел:

1)0,5000... и 0,4999...;

2)4,3000... и 4,2999...;

3) 7,185000... и 7,184999...?

17.

Являются

ли

рациональными числами корни уравнения

х2

0 ?

18.

Изобразите на числовой оси точки с координатами:

;

2; ,

3; 5;

5 .

19.Заполняют ли рациональные числа точками всю числовую ось? А иррациональные?

20.Между какими двумя конечными множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие?

21.Укажите точки на координатной прямой, координаты x которых

удовлетворяют условию

5 .

22. Верны ли следующие утверждения:

если х

если

х,

х у

у,

х у

у х

ху

x a,

10)

a ?

23. Наибольшее целое число, не превосходящее действительного

числа x , называется целой частью числа x и обозначается

x . Верны ли

неравенства

24. Найдите

множества

решений

следующих

уравнений и

неравенств:

10;

x 5

10;

10)

10;

11)

x 3;

12)

2x 5;

13)

14)

15)

16)

17)

18) x2

			17
19) x2	5x 6 0;	20) x2	5x 6 0.

25.Среди множеств предыдущего упражнения укажите ограниченные снизу, ограниченные сверху, ограниченные, неограниченные.

26.Может ли ограниченное множество быть неограниченным снизу (неограниченным сверху)?

27.Может ли неограниченное множество быть ограниченным снизу (ограниченным сверху)?

28.Может ли числовое множество быть:

1)ограниченным сверху, но неограниченным снизу;

2)ограниченным снизу, но неограниченным сверху?

29.Ответы на вопросы упражнений 26 – 28 проиллюстрируйте примерами.

30.Запишите с помощью логических символов определения следующих понятий:

1)множества, неограниченного снизу;

2)множества, неограниченного сверху;

3)неограниченного множества.

31.Может ли конечное числовое множество быть неограниченным?

32.Следует ли из ограниченности множества его конечность? Ответ поясните примером.

33.Приведите примеры:

1)ограниченных бесконечных множеств;

2)неограниченных бесконечных множеств.

34.Являются ли ограниченными следующие множества:

1)множество Z целых чисел;

2)множество Q рациональных чисел;

3)множество I иррациональных чисел;

4)множество R действительных (вещественных) чисел?

35.Сформулируйте в виде предложений условия 1) и 2) из определений 8 и 9 данного параграфа.

36.Верны ли утверждения:

1) x X : x M sup X M , 2) x X : x m inf X m?

37.Какие числа являются точными границами конечных числовых множеств?

38.Укажите точные границы множеств из упражнения 24. В необхо-

димых случаях используйте записи: inf X

, sup X

39.Приведите примеры следующих множеств:

1)точные границы принадлежат множеству;

2)точные границы не принадлежат множеству;

3)одна точная граница принадлежит множеству, а другая ему не принадлежит.

40.Запишите точные границы числовых лучей. В каких случаях они принадлежат (не принадлежат) соответствующему множеству?

41.	Приведите примеры таких множеств X и Y , что sup X inf Y .
42.	Для каких числовых множеств inf X sup X ?
43.	Может ли выполняться неравенство sup X inf X ?

44. Применяя метод математической индукции докажите, что для n N справедливы следующие равенства:

1)	12	22			32		...		n2						n(n		1)(2n		1)	;
1)	12	22			32		...		n2								6			;
																	6
2)	13	23			33		...	n3					n2 (n				1)2	.
2)	13	23			33		...	n3								4		.
																4
		45. Методом математической индукции докажите справедливость
следующих неравенств:
1)	n			2n 1			n N;												2)		1		3	...	2n 1			1		;

																					2		4			2n		2n	1
																					2		4			2n		2n	1
		1			1			1												4) nn			1	(n		1)n
3)	1	1			1		...	1								n	n	2 ;									n	3 ;


		2			3					n
		2			3					n
5)	Среднее геометрическое n неотрицательных чисел не превосходит их
среднего арифметического:
			x1		x2		...	xn				n									x			0, k		1, 2,...,		n.
			x1		x2		...	xn						x		x	...	x	при
														x		x	...	x	при
						n					1					2		n				k
						n

Глава 2. Числовые последовательности

Определение 1. Если n	1,2,3,...n,... по определённому пра-
вилу или закону f ставится в соответствие единственное число		xn , то
множество занумерованных вещественных чисел x1, x2 ,..., xn ,...		называ-
ется последовательностью.

Числа, составляющие последовательность, называются её членами

(элементами), а xn – общим или n -м членом последовательности.

Характерным для каждой последовательности является установление порядка следования чисел в ней: для любого натурального n число xn 1

следует в записи за числом xn . Значение же xn 1 может быть больше, меньше, равно xn . Но если в данной последовательности изменить поря-

док следования членов, то будем иметь уже другую последовательность.

Например, числовые последовательности

1, 1,1, 1,..., 1,1, 1,1,...

являются различными, хотя и состоят из одинаковых чисел: 1 и 1.

Из данного определения следует, что последовательность есть множество xn , n . В отличие от числового множества, у которого все

элементы обязательно различны, числовая последовательность может иметь среди своих членов одинаковые. Иначе говоря, множество чисел, из которых составлена последовательность, может быть как бесконечным, так и конечным. Например, числовая последовательность с общим членом

xn	1	имеет вид
xn	n	имеет вид
	n
		1,	1	,	1		,...,	1	,...
		1,	2	,		3	,...,	n	,...
			2			3		n

	1		1		1			1
и как множество запишется так:	1,	,		,...,		,	или		, n N	.Это


	2		3		n			n

множество бесконечно, а все его члены различны, как и принято при записи числовых множеств. Числовая последовательность с общим членом

xn	1 n 1 имеет вид
	1,	1, 1,	1,...
и как множество запишется так:		( 1)n	1, n N или	1, 1, 1, 1,... .
	При обычной записи этого множества получим			1, 1 , а это множе-

ство состоит из двух элементов.

Таким образом, следует иметь ввиду, что члены последовательности

с разными номерами считаются различными, если даже их числовые значения совпадают.

Из определения 1 следует, что последовательность есть функция f натурального аргумента n . Область определения этой функции всегда есть множество натуральных чисел . При каждом n число xn f n есть

значение этой конкретной функции. Множество значений этой функции есть подмножество множества действительных чисел R . Как видно из примеров, множество значений последовательности как функции может быть как конечным, так и бесконечным.

Перейдём к описанию способов задания последовательностей. Прежде всего последовательность можно задать словесным описани-

ем закона соответствия		f . Например, требуется записать последователь-
ность, каждый член которой есть приближение по недостатку к					иррацио-

нальному	числу	2 .	Эта	последовательность	такова:

1; 1,4 ;1,41; 1,414; 1,4142;...Здесь невозможно выписать формулу для об-

щего члена.

Последовательность может быть задана табличным способом:

n	1	2	3	…
xn	x1	x2	x3	…

Иногда по такой таблице может быть установлена закономерность изменения общего члена с изменением аргумента n , хотя выписана только часть членов последовательности. Например, по таблице

n	1	2		3	4		…
xn	1	1	2	1	1	4	…
			2	3		4

становится понятным, что формула члена имеет вид

хn n .

Наиболее удобным и применяемым является аналитический способ, т.е. задание последовательности при помощи явной формулы, указывающей, как по номеру n вычислить член xn с этим номером:

		xn f n .
(	1)n 1
Например, если хn		, то последовательность имеет вид
Например, если хn	n	, то последовательность имеет вид
	n

1, – 12 , 13 , 14 , 15 , …

Часто употребляется рекуррентный способ задания последовательностей. При этом способе должно быть соотношение вида

xn 1 f (xn ) ,

которое позволит при заданном первом члене x1 находить последующие

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20223.44 Mб45686.pdf
#
13.11.20223.44 Mб15687.pdf
#
13.11.20223.44 Mб45688.pdf
#
13.11.20223.49 Mб15689.pdf
#
13.11.20223.49 Mб25690.pdf
#
13.11.20223.5 Mб45691.pdf
#
13.11.20223.64 Mб75692.pdf
#
13.11.20223.64 Mб75693.pdf
#
13.11.20223.64 Mб35694.pdf
#
13.11.20223.98 Mб25695.pdf
#
13.11.20223.98 Mб25696.pdf