5691

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

42. Выписать члены последовательности

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

3.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

	1	1	1					1	1	1
										2m
1 2		2		2m	1			2			1			1	1		1			.
1 2		2		2m	1			2			1				1		1
2	n	1	1			2	n		1			2	n		2	m		2	n
2						2						2			2			2
			2						2
			2						2

	Поскольку lim	1		0,	то для	0	N N:	n N

			2n
	n
1	, откуда	следует,			что	n N ,	m	влечёт

2n

xn m xn и по теореме Коши получаем сходимость заданной

последовательности.

Упражнения

1.На основании определения 1 докажите следующие равенства:

lim

(

1)n

lim

4) lim

lim

(

1)n

6) lim

;

lim qn

0 при

Докажите, что последовательность xn

заданная общим членом

1 n

1 предела не имеет.

Пусть

lim xn

a . Найдите следующие

пределы:

lim xn 1,

lim xn 1.

4. Выясните, для каких последовательностей число

в определении

конечного предела можно взять независящим от .

5. Докажите, что в определении 1 (см. также его символическую за-

пись)

условие существует натуральное число N (

N ( )

можно

заменить на условие существует положительное

действительное

число

N N 0, R , сократив все остальные условия определения (все остальные символы).

6.	Докажите,		что	в определении 1 можно выполнить следующие
элементы
1)	условие n		N заменить на n N ;
			a		xn a
2)	условие	xn		заменить на		;
3)	выполнить обе предыдущие замены.

7. На основании определения бесконечно большой последовательности докажите следующие равенства:

1)	lim n2	;
2)	lim	1 n 1 n2	.
Укажите		при	10 000.

8.Может ли бесконечно большая последовательность быть ограниченной?

9.Может ли иметь конечный предел неограниченная последовательность?

10.Может ли последовательность быть неограниченной, но не бесконечно большой?

11.Докажите, что последовательность

xn n( 1)n 1

является неограниченной, но не бесконечно большой. В чём различие между бесконечно большой и неограниченной последовательностями?

12. На основании свойств бесконечно малых последовательностей и упражнений предыдущего текста найти пределы последовательностей, заданных общими членами:

2) xn

( 1)n 1

1) xn

;

3) xn

1 n

;

4) xn

;

5) xn

(

1)n 1

;

6) xn

(

1)n 1

;

7) xn		1	;	8) xn	( 1)n 1	.
		n!			n!

	13. Доказать утверждение: если все члены бесконечно малой						по-
следовательности				n равны одному и тому же числу a , то a		0 .

14.Приведите пример ограниченной последовательности, не имеющей предела.

15.Укажите пределы следующих последовательностей:

;

2) x

;

4) x

2n2

16. Пусть lim xn

2, lim yn

3. Найти

lim xn

yn ;

2) lim xn

yn ;

3) lim xn yn ;

lim

;

5) lim xn yn .

17. Найти пределы последовательностей (с xn ) ,

(cxn ) ,

, где

c – постоянное число и lim xn a .

18. Найти lim( xn

xn ) , если lim xn

a .

19. Найти lim

, если lim xn

a 0 .

20. На основании теорем о пределе суммы, произведения, частного и

степенно-показательного выражения найти следующие пределы:

1) lim

sin n

;

2) lim

;

3) lim 2

;

4) lim

;

5) lim

;

6) lim

;

7) lim

;

8) lim

1 n

21. Найти пределы следующих последовательностей:

1) xn

2n ;

2) xn

;

3) xn

;

4) xn

22. Привести примеры последовательностей

xn ,

yn , чтобы пре-

дел частного

при неопределённости вида

в зависимости от зако-

нов последовательностей мог уметь различные значения

0, c

или

даже вовсе не существовать.

23. Привести примеры последовательностей

xn ,

yn , чтобы пре-

дел произведения

xn yn при неопределённости вида

мог иметь

различные значении или даже не существовать.

24. В следующих случаях указать вид неопределённости и раскрыть

её:

1) lim

;

2) lim

a1n

;

b1n b2

2n2

a n2

3) lim

;

4) lim

;

4n2

b n2

b n

5) lim

;

6) lim

a1n a2

;

b n2

b n

7) lim

;

9) lim

;

11)

lim

1)(n

;

13)

lim

;

15)

lim

;

17)

lim

;

19)

lim

... n

;

21)

lim

n2 1

;

23)

lim

2n 1 ;

25)

lim 1

;

27)

lim

;

29)

lim

;

a n2

8) lim

;

b1n b2

10) lim

;

12) lim

(2n

1)(n

;

2n2

14) lim

;

16) lim

0);

18) lim

;

2n2 n

...

20) lim

;

...

22) lim

( 1)n 1 (n

1)2

;

24) lim

1 ;

26) lim

;

28) lim

;

30) lim

25. Доказать, что lim n ln 1	1	1(воспользоваться свойством

	n
	n

логарифмов и переставить местами знаки предела и логарифма).

26. Пусть	lim xn	a	и	для	всех n справедливо неравенство
xn b . Справедливо ли неравенство a					b ?
27. Пусть lim xn		a и для всех n справедливо неравенство xn b .
Справедливо ли	неравенство		a	b ? Если нет, то поясните примером.
Справедливо ли неравенство a				b ?
28. Пусть lim xn		a и a		b . Можно ли сказать, что выполняется
неравенство xn	b , начиная с некоторого номера? Можно ли сказать, что
неравенство xn	b выполняется для всех n ?

29.Может ли положительная последовательность иметь отрицательный предел, а отрицательная последовательность – положительный предел? Могут ли такие последовательности иметь пределом число нуль?

30.Приведите пример, когда при предельном переходе соблюдается строгое неравенство.

31.	Пусть a		n		yn для всех значений n и lim yn					a . Какой
предел имеет последовательность							n ?
32.	Пусть для всех				n выполняются неравенства 0					n yn и
lim yn	0 . Существует ли lim					n ? Если этот предел существует, то че-
му он равен?
33.	Если для всех n выполняются неравенства a								n	b и суще-
									n
ствует конечный			предел		n ,	то	будут ли справедливы			неравенства
a lim	n	b ? Может ли предел					n	не существовать, если выполне-
	n						n
ны неравенства a			lim	n	b ?
				n

			77
34.	Используя очевидные неравенства

			1 1		1	1		1	,
			1 1		n	1		n	,
					n			n

докажите, что lim 1		1	1.

		n
		n
35.	На основании неравенств 0			1			2		найдите lim	n	.
				2n			n2			2n

36.Является ли монотонность последовательности необходимым условием её сходимости?

37.Приведите пример сходящейся немонотонной последовательности.

38. Последовательность xn задана следующим рекуррентным соотношением:

2 xn ,

Доказать, что lim xn

Указание. Докажите существование предела на основании монотон-

ности и ограниченности; потом равенство

xn 1

2 xn возведите в

квадрат и перейдите в новом равенстве к пределу.

39. На основании теоремы о пределе монотонной последовательно-

сти найдите пределы:

1) xn

;

2) xn

(a 0).

Указание. Выразите xn 1

через xn ;

значение предела найдётся по-

сле предельного перехода в этом равенстве (предварительно надо доказать существование предела).

40.Приведите пример вложенной системы отрезков.

41.Является ли всякая вложенная система отрезков стягивающейся?

Выяснить, является ли эта система отрезков вложенной и стягивающейся.

43. Найдите общую точку систем отрезков, заданных следующими

последовательностями:
1) 0,		1		;	2)		n	, 1 ;	3) 1,	n 1	.
	2	n	1			n	1			n
	2

44.Составить последовательность отрезков, стягивающуюся к какойнибудь заранее выбранной точке c .

45.Имеется исходный отрезок a1,b1 . В качестве последующих

членов последовательности an , bn будут выбираться левые половины

предыдущих отрезков, разделённых пополам. Выяснить, к какой точке будет стягиваться полученная система отрезков. Решите такую же задачу при условии, что будут выбираться правые половины отрезков, каждый раз делящихся пополам.

46.Приведите примеры стягивающихся систем интервалов и полуотрезков, не имеющих общей точки.

47.Найдите системы следующих бесконечных геометрических прогрессий:

1) 1,	1	,	1	,...,		1		,...;	2) a 5, q	1	.
	2		4		2	n	1			4

48.Дайте геометрическую интерпретацию определения фундаментальной последовательности.

49.Пользуясь правилом построения отрицаний, сформулируйте определение нефундаментальной последовательности.

50.Докажите эквивалентность двух определений фундаментальных после довательностей.

51. Используя критерий Коши, докажите сходимость числовых последовательностей:


1)	xn	1	1				1			1	;
			22		32					n2

2)	xn	1		1		1		1	.
			2!		3!
								n!

Глава 4. Арифметическое n -мерное пространство

4.1.Определение n -мерного координатного пространства

Вматематическом анализе любую систему из n действительных (вещественных) чисел x1,..., xi ,..., xn называют n -мерной точкой и обозна-

чают M x1,..., xi ,..., xn . Число xi i 1,..., n называется i-й координатой этой точки.

Множество всех n -мерных точек M x1,..., xn называется арифме-

тическим n -мерным координатным пространством и обычно обознача-

ется R n .

Эта терминология введена по образцу геометрической терминологии одномерного, двумерного и трёхмерного пространств. Очевидно, что координатная прямая Ox (см. главу 1) является одномерным пространством

R1. Каждая точка M этого пространства определяется одним действительным числом x – координатой этой точки. Обратимся к двумерному случаю. Пусть на плоскости введена декартова система координат Ox1x2 . Тогда каждая точка плоскости имеет две координаты, при этом для любой пары x1, x2 действительных чисел существует одна и только одна точка M , соответствующие ординаты которой равны этим числам. Таким обра-

зом, плоскость совпадает с двумерным пространством R 2 .

Из аналитической геометрии известно понятие расстояния между двумя точками. Если M x и P y – две точки координатной прямой, то

расстояние

M , P между ними вычисляется по формуле

(М , Р)

у х

( у х)2 .

Расстояние же между двумя точками

M x1, x2

P y1, y2 на

плоскости вычисляется по формуле

(М , Р)

( у х )2

( у

х )2 .

По

аналогии

вводится

расстояние

(М , Р)

между

точками

M x ,..., x ,..., x

и P y ,..., y

,..., y

из R n по формуле

(М , Р)

( у

х )2 ...

( у

x )2

... ( y

(4.1)

в краткой записи

x )2 .

(М , Р)

( y

			80
	Введённое число	имеет следующие свойства:
1)	для любых M и P	M , P	P, M (симметрия расстояния);
2)	для любых M и P	M , P	0, причём M , P	0 M P;
3)	для любых трёх точек M , P и L
	M , L	M , P	P, L	(4.2)

(неравенство треугольника).

Справедливость первых двух свойств очевидна. Перейдём к доказательству неравенства треугольника.

Из известного неравенства Коши-Буняковского для сумм

a b

i i

i 1

следует неравенство

справедливое для любых наборов вещественных чисел ai

и bi

1,..., n .

Положим

последнем неравенстве

xn ,

(тогда

xi ), где xi – координаты точки M , yi

– координаты точки

P ,

zi – координаты точки L . Тогда получим неравенство

x )2

)2 ,

( y

i 1

что в силу (4.1) и равносильно (4.2).

С введением расстояния множество n – мерных точек (координатное

пространство R n ) представляет собой так называемое метрическое пространство. Произвольно множество M , элементы M которого именуются точками, называется метрическим пространством, если имеется правило, по которому любым двум точкам M1 и M 2 из этого множества

ставится в соответствие некоторое действительное число

M1, M 2 ,

называемое расстоянием между этими точками. При этом введённое по этому правилу расстояние должно удовлетворять следующим условиям

(аксиомам метрического пространства):

1)	M1, M 2		M 2 , M1	для любых точек M1 и M 2 (аксиома
симметрии расстояния);
2)		M1, M 2	0 для любых точек M1		и M 2 , причём, если
M1, M 2		0, то точки M1 и M 2 совпадают;
3)		M1, M 3	M1, M 2	M 2 , M 3	для любых трёх точек

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20223.44 Mб45686.pdf
#
13.11.20223.44 Mб15687.pdf
#
13.11.20223.44 Mб45688.pdf
#
13.11.20223.49 Mб15689.pdf
#
13.11.20223.49 Mб25690.pdf
#
13.11.20223.5 Mб45691.pdf
#
13.11.20223.64 Mб75692.pdf
#
13.11.20223.64 Mб75693.pdf
#
13.11.20223.64 Mб35694.pdf
#
13.11.20223.98 Mб25695.pdf
#
13.11.20223.98 Mб25696.pdf