5691

Обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места, т.е. не всякая неограниченная последовательность будет бесконечно большой величи-

ной. Например, неограниченная последовательность

1, 2, 1, 3, ..., 1, n,...

3.3. Бесконечно малые последовательности и их свойства

Особый интерес представляет случай, когда предел последовательности равен нулю a 0 .

Определение 5. Последовательность, имеющая своим пределом нуль,

называется бесконечно малой.

С помощью логических символов это записывается так:

Приведём ряд примеров бесконечно малых последовательностей, которые позволят выявить сущность любого конечного предела a .

Итак, рассмотрим следующие последовательности, заданные формулами их общих членов:

1) xn 0 ;

42

Вподобной записи эти последовательности таковы:

1)0, 0, ..., 0, ... (частный случай стационарной последовательности);

2)1, 2, 3, 0, 0, ..., 0, ... (частный случай финально постоянной после-

довательности);

3)0, 1, 0, 12 , 0, 13 , ...;

4)1, 32 , 13 , 34 , 15 , 63 , ...;

5)1, 12 , 13 , 14 ,...;

У первой последовательности все члены совпадают с пределом – числом нуль; у второй последовательности все члены, начиная с четвёртого, совпадают с нулём. Эти две последовательности как переменные величины не представляют особого интереса. Во всех остальных случаях ни одно в отдельности взятое значение этой переменной величины, если оно не нуль, как в третьем примере, не может считаться «сколь угодно малой величиной». Суть в том, что в последних примерах (3) – 7)) последовательности есть переменные величины, которые в процессе своего изменения (изменения аргумента n ) в конце концов могут стать по абсолютной величине меньше произвольно взятого положительного числа , сколь бы малым оно ни было.

Эти примеры интересны ещё и тем, что характеризуют многообразие тех возможностей, которые охватываются определением предела (в данном

43

случае определением бесконечно малой). Последовательность может принимать значения, равные своему пределу (в примере 1 все значения равны

вательности равны своему пределу), а может и не принимать значений, равных пределу, как в примерах 4 – 7. Несущественно, лежат ли члены последовательности с одной стороны от предела или нет (в примере 5 все члены расположены правее своего предела – нуля, в примере 6 – левее нуля, в примере 7 – располагаются поочерёдно то справа, то слева от нуля). Наконец, несущественно также, приближается ли переменная с каждым шагом (увеличением номера n на единицу) к своему пределу (в примерах 5 – 7 приближение к нулю идёт с каждым шагом; в примере 4 члены последовательности поочерёдно то приближаются к своему пределу нуль, то удаляются от него).

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых величин.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть

Следствие 1. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство приводится методом математической индукции. Теорема 2. Произведение двух бесконечно малых последовательно-

стей есть бесконечно малая последовательность.

46

3.4. Основные свойства сходящихся последовательностей

Рассмотрим сначала связь сходящихся последовательностей с бесконечно малыми.

Теорема 5. Последовательность xn сходится (имеет пределом ко-

нечное число a ) тогда и только тогда, когда её общий член можно представить в виде

величина (см. пункт 3.3); следовательно lim xn 5 .

Теорема 6 (об единственности предела). Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 7. Сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство. С помощью логических символов теорема записы-

Из геометрической интерпретации предела (см. пункт 3.1) следует: какое

ло этих значений конечно, и каждое из них характеризуется вполне определённой точкой на координатной прямой Ox , то можно указать такие но-

48

Ограниченность последовательности является необходимым условием её сходимости. Но это условие не является достаточным. Ограниченные последовательности могут как сходиться, так и расходиться. Примером ограниченной расходящейся последовательности является последователь-

ность с общим членом xn 1 n 1. Последовательность ограничена

3.5. Предел суммы, произведения, частного и степенно-показательного выражения

Следующие теоремы, как и теоремы пункта 3.3, значительно облегчают вычисление пределов в том смысле, что с их помощью во многих случаях становится ненужным обращение к определению предела.

Дальнейшие рассуждения предоставляем читателю.

Теперь при доказательстве этих свойств будем опираться на представление (3.7) и свойства бесконечно малых последовательностей.

Из условия теоремы и представления (3.7) имеем:

гда из представления (3.8) и теоремы 5 следует первое утверждение этой теоремы. Согласно следствию 3 a n и b n есть бесконечно малые,