5691

31

4) x

1

;

5) x

n

;

6) x

1

;

n

2n

n

2n

n

n!

7) xn

1 ( 1)n 1;

8) xn

1

;

9) xn

( 1)n 1

;

n

n

10) x

1

;

11) x

(

1)n 1

;

12) x

( 1)n 1n2.

n

n2

n

n2

n

5)

1 2,

2 3,

3 4,

4 5, ...;

6)

3

,

5

,

7

,

9

, ...

22 32

32

42

42

52

52 62

1

1

4) 7.

1)

;

2)

;

3) 3;

3

7

рекуррентной формулой

xn

1

xn

rx1

n

1 ,

при известном числе r и первом члене x1.

6. Найдите формулу для

xn ,

если последовательность xn задана

рекуррентно:

xn

xn

1

,

x1

1.

1

n(n 1)

1) xn

n;

2) xn n2;

3) xn

1

;

4) xn

1

;

2n

n

2

5) xn

1 ( 1)n 1;

6) x

1 ( 1)n

;

7) xn ( 1)n 1n.

n

n

1) xn

1, yn

1

;

2) xn

1

, yn

n;

n

n

3) xn

n, yn

1

;

4) xn

1

, yn

n;

n2

n2

5) xn

( 1)n

1

, yn n;

6) xn

1 ( 1)n 1, yn n.

n

10. Существует ли частное

xn

, если xn n, yn 1 ( 1)n 1 ?

yn

1)

xn

n

;

2)

xn

n2

;

3)

xn

n4

n 5

n

n4 10

1

(xn

0) . Выясните, что следует из соответствующего неравенства:

1)

xn 1

1;

2)

xn 1

1;

3)

xn 1

1;

4)

xn 1

1.

xn

xn

xn

xn

19. Докажите, что последовательности с общими членами

1) xn

n;

2) xn

n

;

3) xn

n3 n;

4) xn

n2

n

n2 10

1

строго возрастают.

20. Докажите, что последовательности с общими членами

1) xn

1

;

2) xn

n 1

;

3)

xn

n2

10

;

4) xn

lg 1

n4

8

n

n

n2

1

n4

при прогнозируемом постоянном темпе роста 102%

1,02 .

последовательности числу a . Иначе, расстояние

(xn , a) от точек xn до

фиксированной

точки

a

на числовой оси

Ox стремится к нулю

(xn , a)

xn

a

0 .

Любую такую последовательность называют

(xn ) , если для любого положительного числа

существует такой номер

( ) , что при всех n

выполняется неравенство

xn

a

.

(3.1)

0

( )

N

n

:

xn a

.

Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся (точ-

нее, сходящейся к a ).

Если последовательность

xn

сходится и имеет своим пределом

число a , то символически это записывается так:

lim

xn

a или xn

n

a.

n

Иногда в этих записях указание, что n

, опускают.

Последовательность,

не

являющаяся

сходящейся,

называется

расходящейся.

Запись

( ) в определении предела последовательности озна-

чает, что номер

зависит от выбранного числа

(конечно,

и от самой

последовательности). На примерах убедимся, что чем меньше

, тем но-

Пределом этой последовательности является число a , а неравенство

(3.1)

выполняется для любого n , какое бы число

0 ни взяли (для лю-

бого

0 ) номер

можно взять равным единице). Аналогичное обстоя-

тельство имеет место для последовательности (xn ) ,

значения которой с

некоторого номера

равны одному и тому же числу a . В этом случае

точками на Ox .

Неравенство (3.1) равносильно неравенствам

xn

a

или

a

xn a

.

Следовательно, определение означает,

что члены последовательно-

сти (xn ) , имеющей пределом a , с номерами n

попадают в интервал

(см. рис. 9)

a

, a

,

(3.2)

который называется –окрестностью точки a :

xN 1, xN 2 ,...

a

, a

.

a

a

xN 2

xN 1

a

x

выбора числа

. Конечно, если

взять большим числом, то уже все чле-

ны последовательности будут принадлежать такому интервалу.

Если на плоскости в выбранной системе координат Oxy провести

окружность с центром в точке a,0

радиуса

, то она пересечёт ось Ox в

точках a

и a

. Поэтому число можно трактовать как радиус этой

окружности.

Теперь

обратимся

к изображению последовательности точками

M n (n, xn )

на плоскости в выбранной системе координат Oxy . Тогда

определение 1 будет означать, что все точки

M n 1(N

1, xN 1),

M n 2 (N

2, xN 2 ),...

горизонтальная прямая y a , а граничными прямыми будут y a

и

y a

(см. рис. 10).

xN 1

M n 1

a

xN

x2

x1

1

2

N+1

x

Рис. 10

Изображённая на этом рисунке полоса ширины 2

будет с умень-

шением

сужаться. Тогда

ясно

следующее: чтобы все точки

M n 1, M n

2 ,... попали в эту более узкую полосу, нужно увеличить но-

указать номер

( ) такой,

что при всех

n

N будет выполняться

(3.1). Раз говориться о номере, то

N (см. определение предела в логи-

ческих символах). Любое натуральное число, большее чем

, также будет

годиться в качестве нужного номера определения 1.

Докажем по

определению

1,

что

lim

n

1

1.

Возьмём

любое

n

0 . Так как

xn 1

n 1

1

1

1

,

n

n

n

1

то для отыскания значений n , удовлетворяющих неравенству

xn

,

достаточно решить неравенство

1

. Последнее неравенство выполняет-

n

37

ся при n

1

. Следовательно,

за номер

можно взять любое натуральное

число, не меньшее числа

1

.

Например,

(

)

1

1,

где

1

есть

целая

часть

числа

1

.

В

частности,

если

0,01,

то

N

1

1

101,

если

1, то

N

1

1 2,

если

10 , то

1

0,01

N

1

1

1,

и т.д. Геометрически это означает следующее: в окрест-

10

ность точки a

1 при радиусе

0,01 попадут члены данной последова-

тельности с номерами n

101, а при радиусе

10 – с номерами n

1

(очевидно, конечно, что и x1

2 принадлежит последней окрестности). В

качестве номера

в этом примере можно выбрать

1

при

1,

n

1

при

1.

Выбранные таким образом номера

для различных значений

будут

наименьшими из возможных.

Приведём примеры расходящихся последовательностей.

Рассмотрим последовательность с общим членом x

1 n 1

: 1,

1, 1,

1,....

n

Тогда по определению 1 для любой

0 , в частности и для

1

,

2

найдётся такой номер

, что для n

будет выполняться неравенство

xn a

1

. Поскольку

xn принимает поочерёдно значения 1 и

1, то

2

для n

1

1

. Ис-

будут выполняться неравенства

1 a

и

( 1)

a

2

2

пользуя эти неравенства, получим

2

1 a a ( 1)

1 a

a ( 1)

1 a

( 1) a

1

1

1,

2

2

т.е. 2

1, чего быть не может. Полученное противоречие означает, что

39

хn

Е.

(3.3)

С помощью логических символов определение 2 записывается так:

0

N

n N :

xn

.

lim xn

или xn

(в этих записях указание n

опущено). Обозначение lim xn

в ранее определённом смысле lim xn

a называть конечным пределом.

Запись

означает, что

номер

зависит от выбранного

нуть, что число

в определении 2 можно взять сколь угодно большим.

Символ

будем называть беззначной бесконечностью. Тогда при

любом

0 множество

, E E,

x R :

x

E

называется – окрестностью беззначной бесконечности (см. рис. 11).

о

о

О

x

– Рис. 11

Теперь можно дать геометрическую трактовку бесконечного предела

lim xn

. Определение 2 означает: при

0

N такой,

что

xN 1, xN 2 ,...

, E E,

.

Пусть

x

1 n 1n :1, 2, 3,

4, .... Докажем,

что

lim x

n

.

n

Неравенство (3.3) для данной последовательности имеет вид

xn

1 n 1n

1 n 1

n

n E .

Следовательно, оно выполняется для всех n E n

E

xn

n

E .

40

Тогда при любом

E

0 за номер

можно взять

E 1

(при целых

E 0 можно даже взять

E ). Возьмём несколько кон-

кретных чисел E : 1)

E

0,1,

1; 2) E

100 ,

101 (можно взять

100 ); 3) E

1000,2 ,

1001.Заметим, что с увеличением E воз-

растает и номер .

Рассмотрим теперь бесконечные пределы со знаком какого-либо ви-

да, т.е.

lim xn

,

lim xn

или xn

.

Дадим их определения с помощью логических символов.

Определение 3.

lim xn

0

N

n

N : xn

E .

(3.4)

Определение 4.

lim xn

0

N

n

N : xn

E .

(3.5)

Символ

будем называть отрицательной бесконечностью. Тогда

при любом

0 множество

,

называется

-окрестностью отри-

цательной бесконечности. Символ

будем называть положительной

бесконечностью,

а

промежуток

E,

при

любом

0–

-

окрестностью положительной бесконечности. При выбранном

0

объединение этих окрестностей даёт

-окрестность беззначной бесконеч-

ности (см. рис. 11).

Геометрическая интерпретация бесконечных пределов со знаком та-

кова: при

0

такой, что

1) xN 1, xN 2 ,...

,

E в случае lim xn

,

2) xN 1, xN 2 ,...

E,

в случае lim xn

.

Примером последовательности, стремящейся к

, будет xn

n ,

а к

– xn

n . Очевидно, что при любом

0 соответствующие нера-

венства xn

E , xn

E будут выполняться, если положить

E

1.

Сопоставляя определения 2 и 3 с определением 1, видим, что если

lim xn

или lim xn

,

то lim xn

. Обратное утверждение не

верно. Это видно из рассмотренного примера xn

1 n 1n . Уже пока-

зано,

что lim xn

. Эта последовательность такова: 1,

2, 3,

4, ...;

она не стремится ни к

, ни к

.

Последовательности, стремящиеся к бесконечности какого-либо ви-