5691

52

00 , , , 0 , 00 , 1 , 0 .

Это означает, что о пределе соответствующего выражения никакого общего заключения сделать нельзя. Возможны различные ответы (и это ниже

будет проиллюстрировано на примере неопределённости вида 00 ). В связи

с этим и принято говорить, что имеется неопределённость соответствующего вида. На вопрос о том, чему равен предел соответствующего выражения, можно ответить только тогда, когда известны законы изменения последовательностей. Как только на основании законов ответ будет найден (имеется конечный предел или бесконечный предел; нет ни конечного, ни бесконечного предела), то говорят, что неопределённость раскрыта.

Итак, обратимся к неопределённости вида 00 . Речь идёт о нахожде-

Сразу отметим, что это особый случай, т.к. нельзя воспользоваться теоремой 9 о пределе частного, поскольку lim yn 0 . Если бы предел числите-

ля был отличен от нуля lim xn 0 при условии lim yn 0 , то ответ

был бы найден во второй таблице. Таким образом, надо на примерах показать, что в зависимости от характеров законов последовательностей возможны различные ответы.

Так, например,

ются бесконечно малыми (см. пункт 3.3). Раскрыта неопределённость вида

53

0 при конкретно взятых законах изменения переменных (при конкретно

0

выбранных последовательностях). Как отмечено выше, наблюдаем различ-

ные ответы. Предел дроби (при неопределённости 00 ) может быть конеч-

ным числом и, в частности, нулём (см. примером 1 и 2); предел дроби может быть бесконечным (пример 3); дробь может не иметь ни конечного, ни бесконечного предела (пример 4).

ставляем провести рассуждения самостоятельно (часть вопросов и заданий будет внесена в упражнения).

Раскрытие различных указанных неопределённостей даже при конкретных законах, которыми задаются последовательности, может в некоторых случаях представлять собой определённую трудность. В каждом таком случае приходится изыскивать приёмы преобразования выражений у виду, когда о пределе можно дать конкретный ответ.

Рассмотрим на примерах некоторые приёмы раскрытия неопределённостей. Различные приёмы будут изучаться в теории пределов функций.

Пример 1. Требуется найти

lim 25nn 35.

При n числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Следовательно, применить теорему 9 о пределе частного нельзя, т.к. в условии этой теоремы предлагается существование конечных пределов.

Согласно второй таблице имеется неопределённость вида . Для её рас-

крытия сначала преобразуем последовательность, разделив числитель и

емся к теореме 3). Далее применяем теорему 9 о пределе частного и теорему 8 о пределе алгебраической суммы. В подробной записи имеем

3.7. Предельный переход в равенстве и неравенствах

Сначала приведём теорему о предельном переходе в равенстве. На самом деле этой теоремой уже воспользовались при решении примеров предыдущего пункта, т.к. по сути это есть теорема о единственности предела. В примерах проводились такие преобразования, что последовательность оставалась такой же.

Теорема 11. Если две последовательности равны xn yn и имеют

ность. Таким образом, мы находимся в условиях теоремы 6 о единственности предела.

Этой теоремой обычно пользуются в форме предельного перехода в равенстве

56

При установлении существования и величины предела часто полезна так называемая теорема о пределе промежуточной или сжатой переменной.

Теорема 14. Пусть для трёх последовательностей выполняются неравенства

Тогда последовательность n имеет тот же предел:

неравенства. Используя подчёркнутые их части, а также исходные неравенства для трёх последовательностей, данные о теореме, получим следующее:

3.8. Пределы монотонных последовательностей

Здесь будут рассмотрены основные теоремы о сходимости монотонных последовательностей. Они важны для теории, так как связаны с важным свойством непрерывности (полноты) множества действительных чисел R . Эти теоремы используются и при нахождении пределов.

57

Теорема 15. Если неубывающая последовательность xn ограниче-

на сверху, то она сходится.

Доказательство. Так как последовательность ограничена сверху, то

Действительно, напомним характерные свойства точной верхней грани-

Конечно, теорема 15 верна и для строго возрастающей ограниченной сверху последовательности.

Теорема 16. Монотонные убывающие (строго убывающие, невозрастающие) последовательности, ограниченные снизу, сходятся.

Доказательство рекомендуется провести самостоятельно, т.к. оно аналогично доказательству теоремы 15. Отметим только, что в этой ситуа-

Невозрастающие и строго убывающие (см. определение 8 из гл.2), ограниченные снизу (см. определение 4 из гл.2), также будут ограниченными.

Тогда теоремы 15 и 16 можно сформулировать так: монотонная ограниченная последовательность сходится. Немонотонные последова-

тельности этим свойством не обладают. Например, немонотонная последовательность xn 1 n 1 ограничена, но не сходится (см. пункты 3.1 и

3.4).

Таким образом, ограниченность монотонной последовательности является достаточным условием её сходимости. Это же условие является и

58

необходимым условием сходимости монотонной последовательности. Действительно, по теореме 7 всякая сходящаяся последовательность (в частности, монотонная) ограничена.

Следовательно, имеется критерий (необходимое и достаточное условие) сходимости (наличия конечного предела) монотонной последовательности.

Отметим, что сходящаяся последовательность может и не быть мо-

нотонной. Например, последовательность с общим членом xn

( 1)n 1

n

сходится ( lim xn 0 , см. пункт 3.3), однако не является монотонной, т.к.

знаки членов этой последовательности чередуются.

Критерий сходимости произвольных последовательностей будет рассмотрен в следующем пункте.

Поясним на примере, как применять теоремы этого пункта при нахождении предела. Для этого сразу отметим, что эти теоремы можно применять и для ситуаций, когда последовательность становится монотонной только начиная с некоторого члена. Это возможно потому, что ни существование, ни значение предела последовательности не зависят от любого конечного числа её первоначальных членов.

Докажем, что последовательность с общим членом

является бесконечно малой (при C 1 выражение c n представляет собой

n!

неопределённость вида ).

Сначала установим существование конечного предела. Так как

нотонно убывающей. Кроме того, она ограничена снизу (например, нулём). Следовательно, по теореме 16 она имеет конечный предел, который обозначим через a lim xn a .

Теперь, опираясь на существование предела, найдём и его значение.

59

3.9. Принцип стягивающихся отрезков

Пусть имеется последовательность an , bn отрезков, каждый последующий из которых содержится в предыдущем:

всех n . Таким образом, точка с принадлежит всем отрезам системы (3.12). Остаётся показать, что точка c является единственной. Допустим противное. Пусть существует ещё одна точка d , отличная от c , также принадлежащая всем отрезкам системы (3.12). Тогда для любого n должно

В условии теоремы существенно, что рассматриваются именно отрезки. Она становится неверной для интервалов и полуотрезков. Например, система вложенных стягивающихся интервалов

(0, 1), 0, 12 , 0, 13 ,..., 0, 1n ,...

не имеет общей точки. Если бы вместо этих интервалов взяли соответствующие отрезки

0, 1 , 0, 12 , 0, 13 ,..., 0, 1n ,...,

то точка x 0 была бы для них общей.

3.10.Число Эйлера е

Вэтом пункте используем предельный переход для определения числа, которое играет исключительную роль как в самом математическом

анализе, так и в его приложениях. Это иррациональное число по предложению Л. Эйлера принято обозначать буквой e. Часто это число и назы-

называемое неравенством Бернулли. Это неравенство справедливо для всех