5561

За базисную переменную можно взять α1; тогда α2 и α3 – свободные переменные. Полагаем α2 = С2, α3 = С3 (С2, С3 – произвольные постоянные); тогда α1 = С2 + С3. Кроме того, так как С = 0, то β1 = β2 = β3 = 0. Подставляем найденные коэффициенты в (11.12), получим частные решения, соответствующие двукратному корню k = 3.

Таким образом, общее решение исходной системы таково:

где C1 , C2 и C3 – произвольные постоянные.

Пример 7. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Характеристическое уравнение для этой системы таково:

подставляем в исходную систему дифференциальных уравнений. После преобразований, аналогичных предыдущему примеру, получим следующие девять алгебраических уравнений для нахождения девяти коэффициентов:

Первая группа уравнений (11.14) выражает коэффициенты β1, β2, β3 через α1, α2, α3. Подставляя их во вторую группу уравнений, получим выражения γ1, γ2 , γ3 через α1, α2, α3:

γ1 = 0, γ2 = α1 + α2 – α3, γ3 = α1 + α2 – α3.

Третья группа уравнений (11.14) автоматически обращается в тождество.

Ранг системы алгебраических уравнений (11.14) равен 6, а свободных переменных – три. В качестве свободных неизвестных можно взять α1, α2, α3. Пусть α1 = С1, α2 = С2, α3 = С3 (С1, С2, С3 – произвольные постоянные). Тогда базисные переменные выражаются через них следующим образом:

решений заданной системы дифференциальных уравнений и её фундаментальную систему решений (предоставляем это сделать читателю).

Контрольные задания

В соответствующем номере варианта требуется найти:

1.Общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения с разделёнными переменными, записанного в дифференциальной форме.

2.Общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, записанного в дифференциальной форме.

3.Общий интеграл однородного дифференциального уравнения первого

порядка.

4.Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах.

5.Общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли (методом подстановки) и методом Лагранжа (методом вариации произвольной постоянной).

62

предыдущего номера, удовлетворяющее данному начальному условию у(х0) = у0.

7.Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

8.Частное решение уравнения из предыдущего номера, удовлетворяющее заданным начальным условиям у(х0) = у00, y (х0) = у01.

9.Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью f(x) при каждой из трёх её указанных видов.

10.По условию задачи составить дифференциальное уравнение для описания процесса, найти его общее решение и решение задачи с начальными условиями (задачи Коши).

11.Общее решение однородной системы с постоянными коэффициентами, состоящей из двух дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными функциями x(t), y(t).

1) f(x) = x2 + 1; 2) f(x) = (x + 2)e-2x; 3) f(x) = e3xcos 2x.

10. Скорость изменения количества населения есть первая производная по времени от количества населения. Предполагается, что скорость прироста населения прямо пропорциональна количеству населения. Найти зависимость между количеством населения N и временем t , если известно, что в некоторый

63

момент, принимаемый за начальный, количество населения составляло N0 , а

через год население увеличилось на n %. Найти предполагаемое на этой основе население города S на 1 сентября 2010 года, если известно, что 1 сентября 2008 года оно составляло 5,342 миллиона человек. Годовой прирост принять равным

1,5%.

Вариант 2

1.y dy xdx .

2.ey(1 + x2)dy – 2x(1+ey)dx = 0.

1) f(x) = 2x + 5; 2) f(x) = xe5x; 3) f(x) = ex(x cos 3x + sin 3x).

10. Согласно закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. С изменением разности температур в течение процесса меняется также и скорость охлаждения тела. Принимая во внимание данный факт, установлено, что скорость охлаждения

окружающего среды, x искомое время охлаждения. Из экспериментального опыта известно, что тело в комнате с температурой 240 С в течении 10 минут охлаждается с 900 С до 400 С. Через сколько времени от момента начала охлаждения тело, нагретое до 900 С, охладится до 270 С?

Вариант 3

1.y dy – x dx = 0.

2.sin x dy = y ln y dx.

3. 3xy x2 dy 2xy y2 dx 0 .

4. (exy + 5y)dx + (ex + 5x + 1)dy = 0.

пропорциональности k доходу ( p y y доход от продажи выпуска продукции).

Согласно механическому смыслу производной скорость изменения функции

1) f(x) = 2x2 + 3x + 5; 2) f(x) = xe6x;

10. Пусть y t объём продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t . В экономической модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций I t с

коэффициентом пропорциональности 1l норма акселерации. Модель предполагает, что вся производимая отраслью продукция реализуется по

Вариант 5

1. y2 dy = x2 dx.

2. y1 x2 dy x1 y2 dx 0 .

механического смысла производной скорость выпуска продукции представляет собой производную dydt . Пусть с y издержки производства, а цена единицы продукции есть p y . Рассматривается модель, в которой скорость выпуска

продукции прямо пропорциональна прибыли предприятия с коэффициентом пропорциональности k ( p y y c y представляет собой прибыль производства). Составить дифференциальное уравнение для нахождения

67

2. dy = (y2 – 4)dx.

эксперимента известно, что скорость радиоактивного распада в каждый момент времени (единицу времени) прямо пропорциональна наличной его массе x t с

коэффициентом пропорциональности k k 0 . Предполагается, что происходит убывание массы вещества. Из механического смысла производной скорость радиоактивного распада представляет собой производную функции x t . За 100 лет распалась половина первоначального количества радиоактивного вещества (период полураспада составляет 1600 лет). Определить временной промежуток, по истечении которого останется 6% первоначального количества радиоактивного вещества.

1) f(x) = 3x2 + 2x + 10; 2) f(x) = (x + 1)e3x; 3) f(x) = xe2x sin 3x.

10. В рамках некоторого экономического процесса предполагают, что доход

Предполагают, что произведение скорости увеличения дохода на коэффициент капиталоёмкости b прироста дохода пропорционально величине инвестиций. Напомним, что под капиталоёмкостью понимают показатель, характеризующий отношение основного капитала к чистому доходу (прибыли). Найти функцию дохода y y t , если известно, что величина потребления задаётся функцией

C 3t ; коэффициент капиталоёмкости прироста дохода b 1 3 , а Y (0) 4 .

2. (1 + ex)y dy = ex dx.

69

4. (3x2y2 + 4xy + 2)dx + (2x3y + 2x2 – 3)dy = 0.

1) f(x) = 2x3 + 5; 2) f(x) = xe-5x; 3) f(x) = xe2x cos x.

10. Из эксперимента известно, что скорость радиоактивного распада некоторого вещества в каждый момент времени (единицу времени) прямо пропорциональна наличной его массе m t с коэффициентом пропорциональности k k 0 . Полагается, что происходит убывание массы вещества. Из механического смысла производной известно, что скорость радиоактивного распада представляет собой производную массы. За 300 лет распалась половина первоначального количества (период полураспада составляет 1300 лет). Определить временной промежуток, по истечении которого останется 8% первоначального количества вещества.

Вариант 9

1.y dy = – x dx.

2.(1 + x2)dy + xy dx = 0.

4.(2xy – ln y)dx + (x2 + 1 – xy )dy = 0.

5.y y e x .

70