5561

получим частное решение

у

1

х

2

5х 2 .

3

у(х0 , С1, С2 )

у00 ,

(6.6)

у (х0 , С1, С2 ) у01.

Пусть дифференциальное уравнение (6.1) или (6.2) рассматривается на

отрезке [a, b]. Тогда условия

у(a) = d1, y(b) = d2,

(6.7)

где d1

и d2 – заданные числа, называются краевыми для дифференциального

уравнения второго порядка.

Краевая задача также может иметь единственное решение. В случае

явного

общего решения (6.3) постоянные

С1 и С2

найдутся из системы

уравнений

у(a, C1, C2 )

d1,

(6.8)

y(b, C1, C2 ) d2.

Рассмотрим для уравнения у′′ = 2х на отрезке [0,

1] краевую задачу со

имеет вид

у

1

х

3

С1х С2

, то С1

и С2 найдутся из системы уравнений

3

С2

0,

1

С1 С2

0.

3

Тогда

С1

1

, С2 = 0. Решением

этой

краевой задачи является функция

3

у

1

х

3

1

х .

3

3

y

py

qy 0,

(7.1)

где p и q – некоторые постоянные.

Многочлен вида

k 2

pk

q

k 2 pk

q =0

(7.2)

называется характеристическим уравнением уравнения (7.1).

Если в уравнении (7.2) коэффициенты

p и q – действительные числа и

y C ek1x

C ek2 x ,

(7.3)

1

2

где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения y

3y

2 y 0 .

Решение.

Характеристическое

уравнение

таково:

k 2

3k

2

0 .

Корнями характеристического уравнения являются числа

k1

2 и

k2

1.

Фундаментальную систему решений

образуют

функции

e 2 x , e x . Таким

образом, общим решением является функция

y C1e 2 x

C2 e x .

Если в уравнении (7.1) коэффициенты

p и q – действительные числа, а

уравнение (7.2)

имеет

действительный

корень k

кратности

2,

то

фундаментальная

система

решений

уравнения

(7.1) состоит

из

функций

Пример. Найти общее решение уравнения y

8y

16 y

0 .

Решение. Характеристическое уравнение таково: k 2

8k

16 0 , откуда

k 4 2

0 . Уравнение имеет действительный корень

k 4

кратности 2.

Фундаментальную систему решений образуют функции

e4 x , xe4 x . Таким

образом, общим решением будет функция y

C1e4 x

C2 x e4 x .

Если в уравнении (7.1) коэффициенты

p и q – действительные числа и

уравнение (7.2) имеет комплексно – сопряжённые корни

i

(β ≠ 0), то

следующим

образом:

e x cos

x, e x sin

x .

Общее

решение

дифференциального уравнения (7.1) имеет вид

y

e x (C cos

x

C

2

sin

x) ,

(7.5)

1

где С1

и С2 – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения y

2 y

9 y

0 .

Решение. Корни характеристического уравнения k 2

2k

9

0 таковы:

k1, 2

1

i 2

2 .

Фундаментальную

систему решений

образуют

функции

e x cos 2

2x, e x sin 2

2x .

Общим

решением

является

функция

y C e x

C e x sin 2

cos 2

2x

2x .

1

2

y py qy f x ,

(8.1)

у

~

(8.2)

у у ,

где у –

общее

решение соответствующего приведённого

однородного

уравнения,

~

какое-нибудь

частное решение самого

неоднородного

а у –

уравнения (8.1) при специальных видах правой части f(x).

Пусть правая часть уравнения (8.1) имеет вид

f(x) = eσx P (x),

(8.3)

n

правой части уравнения (8.1), а

P (x) = a

0

+ a

x + … + a xn

(8.4)

n

1

n

есть многочлен степени n ≥ 0 с действительными коэффициентами. При

n = 0

необходимо искать в виде

у = еσх Q (x);

(8.5)

n

уравнения (7.2), то частное решение находят в виде

у = хеσх Q (x);

(8.6)

n

частное решение надо искать в виде

у = х2еσх Q (x).

(8.7)

n

В выражениях (8.5) – (8.7) многочлен Qn(x)

есть многочлен такой же

Qn(x) = b0 + b1x + … + bnxn.

(8.8)

примеров.

Пример 1.

Найти общее решение линейного неоднородного

дифференциального

уравнения

второго

порядка

с

постоянными

коэффициентами

4y

y

x

3.

Решение. Очевидно, что правая часть

уравнения представляет собой вид

(8.4), т.е. имеем

случай,

когда

в

формуле (8.3)

0 . Корни

характеристического

уравнения

4k 2

1

0

соответствующего

приведённого

однородного дифференциального уравнения таковы: k1

0,5 и k2 0,5 . Тогда

будет:

y

C e 0,5x

C

2

e0,5x , где C

и C

2

– произвольные постоянные.

1

1

Контрольное

число

0

не

является

корнем

характеристического

многочлена, поэтому частное решение

~

неоднородного уравнения

находим в

y

виде

(8.5):

y

b0

b1x . После

подстановки

y 0

и

y

b0 b1x в

неоднородное уравнение получаем:

b1x b0

x

3. Сравнивая многочлены,

получим систему для отыскания коэффициентов b0 ,

b1 :

b1

1,

b0

3.

Тогда b0

3 , b1

1. Частным решением неоднородного уравнения является

~

x

3, а общее решение неоднородного уравнения таково:

функция y

y

C e 0,5x

C

2

e0,5x

x

3 .

1

Пример 2. Найти общее решение линейного неоднородного

дифференциального

уравнения

второго

порядка

с

постоянными

коэффициентами

y 25y

x2

3x 2 .

Решение.

Правая часть этого

уравнения

представляет собой вид (8.4),

характеристического уравнения

k 2

25

0

соответствующего

приведённого

однородного

дифференциального

уравнения

y

25y

0 таковы:

k1

5 и

k2

5 .

Тогда

общее

решение

однородного

уравнения

имеет

вид

5x C

e5x

y

C e

2

, где C

и C

2

– произвольные постоянные.

1

1

Контрольное

число

0

не

является

корнем

характеристического

многочлена, поэтому частное решение

~

неоднородного уравнения

находим в

y

виде

(8.5):

y

b b x

b x2 .

После

подстановки

y

2b

и

0

1

2

2

y

b

b x

b x2

в неоднородное уравнение получаем равенство:

0

1

2

25b x2

25b x 2b 25b

x2

3x 2 .

2

1

2

0

25b2

1,

25b1

3,

2b2

25b0 2.

Из системы находим b2

1 25,

b1

3 25,

b0

52 625.

Тогда

частное

~

52

3

1

2

решение неоднородного

уравнения

таково:

y

x

x

. В

625

25

25

уравнения y

C e 5 x

C

e5 x

52

3

x

1

x2 .

1

2

625

25

25

Пример

3.

Найти общее решение линейного неоднородного

дифференциального

уравнения

второго

порядка

с

постоянными

коэффициентами

9 y

y 5x3

7x2

9x 8

при начальных условиях y 0

2 ,

y 0

1.

Решение. Правая часть уравнения представляет собой вид (8.4) с

многочленом

третьей

степени.

Корнями

характеристического

уравнения

9k 2

1 0 соответствующего приведённого однородного дифференциального

уравнения 9y

y

0 являются числа k1

1 3 и k2

1 3. Общим решением

C e x / 3

ex / 3 ,

однородного

уравнения

будет

функция

y

C

2

где

C

и C

2

–

1

1

произвольные постоянные.

Контрольное

число

0

не

является корнем характеристического

многочлена,

~

находим в

поэтому частное решение неоднородного уравнения y

виде

(8.5):

y

b

b x

b x2

b x3 .

После

подстановки

y

2b

6b x

и

0

1

2

3

2

3

y b

b x

b x2

b x

3

в неоднородное уравнение получаем следующее:

0

1

2

3

9 2b 6b x

b b x b x

2

b x3

5x3

7x2

9x 8 .

2

3

0

1

2

3

откуда b3

5 , b2

7 , b1 261, b0 118. Тогда

частным

решением

~

7x

2

5x

3

.

неоднородного уравнения является функция y 118 261x

дифференциального уравнения

y C e x / 3

C

ex / 3

118 261x 7x2

5x3 .

1

2

y 0 C e0

C

2

e0

C C

2

,

1

1

y 0

1

C e0

1

C

e0

261

1

C

1

C

261.

3

1

3

2

3

1

3

2

Сравнивая эти значения с данными начальными условиями примера,

получим систему для отыскания постоянных C1

и C2 :

C1

C2

2,

1

C

1

C

261

1.

3

1

3

2

В результате решения системы получаем C1

341,

C2

339.

Решение

дифференциального

уравнения

с

начальными

условиями

будет

таково:

y

341e x / 3

339ex / 3

118

261x

7x2

5x3 .

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

2y

y

y

ex

2x

1 .

Решение. Заметим, что правая часть уравнения представляет собой вид

(8.3). Контрольное число правой части

1.

Найдём общее решение соответствующего приведённого однородного

дифференциального

уравнения

2y

y

y

0.

Корнями

его

характеристического

уравнения

2k

2

k

1

0

являются

числа

k

1 и

1

k2

0,5.

Тогда общее решение

однородного

уравнения имеет

вид

C e x

e0,5x .

y

C

2

1

Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет

вид

f (x) ex

2x

1 .

Контрольное

число

1

не

является

корнем

характеристического многочлена, поэтому частное решение

~

неоднородного

y

уравнения находим в виде (8.5) с многочленом первой степени:

y

ex b

b x .

0

1

Подставляя

эту

функцию,

её

производные

y

ex b

b x

b

и

0

1

1

y

ex

b

b x

2b

в

неоднородное

уравнение,

после

преобразований

0

1

1

получим:

2b1x 5b1

2b0

2x 1.

Система для отыскания коэффициентов b0

и b1

примет следующий вид:

2b1

2,

5b1

2b0

1.

Тогда

b1 =1

и

b0

3 . Частное решение

неоднородного

уравнения есть

~

e

x

x

3 .

Общее

решение

представляет

собой

функцию

y

y

C e x

C

2

e0,5x

ex

x

3 .

1

Пример 5. Указать вид, в котором находится частное решение

дифференциального уравнения

2y

y y e x x2

3x 2 .

Решение. Правая часть уравнения представляет собой вид (8.3), при этом

контрольное

число

правой

части

1

является

однократным

корнем

характеристического многочлена. Поэтому частное решение

~

y неоднородного

уравнения находим в виде (8.6):

y

xe x b

b x

b x2 .

0

1

2

Пример 6. Указать вид, в котором находится частное решение

дифференциального уравнения

y 6 y 9 y e3x x3

x2

x 1 .

Решение. Заметим, что правая часть уравнения представляет собой вид

(8.3), причём контрольное число правой части

3.

Характеристическое

уравнение

k 2

6k

9

0 соответствующего

приведённого

однородного

дифференциального

уравнения

y

6y

9y

0

имеет единственный двукратный корень k

3.

Поскольку

контрольное число

3

является

двукратным

корнем

характеристического многочлена, то частное решение

~

исходного

y

неоднородного уравнения находим в виде (8.7):

y x

2e3x b b x b x2

b x3 .

0

1

2

3

вид:

f(x) = eαx [P (x) cos βx + R

(x) sin βx],

(8.9)

n

m

решение находят в виде

y = eαx [Q (x) cos βx + L (x) sin βx],

(8.10)

S

S

y = x eαx [Q (x) cos βx + L (x) sin βx].

(8.11)

S

S

В выражениях (8.10) и (8.11)

многочлены QS(x), LS(x)

есть многочлены

y

6 y

9 y ex x

1 cos 2x

sin 2x .

Решение. Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой вид

(8.9). Контрольное

число

правой

части

1 не является корнем