Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5561

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

			Решение. Уравнение является однородным, так как в правой части
равенства стоит функция переменной																																							y	. С помощью замены (3.3)																														уравнение
равенства стоит функция переменной																																							x	. С помощью замены (3.3)																														уравнение
																																							x
принимает вид u																							x		du							1						. Преобразуя и разделяя переменные, получаем
принимает вид u																							x		dx				1							u		. Преобразуя и разделяя переменные, получаем
																									dx				1							u
1		u du								dx
																.
1	u			u 2								x				.
Проинтегрируем левую часть последнего равенства:
																																				u2					u 1 u2												2 u							1						1				5			u	1 2				5
																																																												1						1				5				1 2				5
	1				u du															1						u du
	1				u du															1						u du																																		2					4		4							2				4

	1			u				u2												u2						u			1																1											1
	1			u				u2												u2						u			1							z				u					1		,			u			z			1		,				dz							du
																																				z				u			2				,			u			z	2				,				dz							du
																																											2											2
				1				z					1															z			1																																											d z			2	5
																																																																													2
																																																z						1									dz								1							4
													2				dz												2						dz																	dz


																																																			5																5											5
						z2					5																z2					5													z2						5			2							z2						5				2				z2			5
						z2			4																		z2					4													z2				4												z2						4								z2			4
									4																							4																	4																		4											4

																z					5
	1			1						ln						z				2										1			ln				z		2			5							1				ln	2z						5								C				1		ln		u	2	u 1
	1			1																2										1									2			5							1					2z						5												1					2
	2 2																												2											4																															2
						5									z						5																							2 5										2z						5
						5															5																							2 5										2z						5
				2																2
				2																2
														u						1

								2																					5													1

	1																			2																																	u 1												1						2 u 1							5

						ln																												C												ln			u 2																					ln									C .
																				1																				2
2 5														u																																														2					5						2 u			1				5
2 5								2																					5																															2					5						2 u			1				5
								2												2									5
																				2
Возвращаясь к дифференциальному уравнению, получаем

								1				ln						u 2						u 1											1					ln			2 u 1												5
								1																											1								2 u 1												5		= ln							x		+ ln С1 (С1 > 0).
								2
																						y										2			5								2 u						1					5
																																2			5								2 u						1					5
Учитывая, что u																								, окончательно имеем
Учитывая, что u																						x		, окончательно имеем
																						x
																																									y

	1						y		2										y										1									2									1						5
		ln							2											1																		2			x						1						5

																																		ln																				= ln					С x						.
																																		ln																				= ln					С x						.
	2						x												x					2					5												y																			1

																																						2									1						5

																																									x

Получено решение в неявном виде.

4 Уравнения в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

P x, y dx Q x, y dy 0 ,

(4.1)

если существует такая функция u = u(x, y) двух переменных, полный дифференциал которой представим в виде

du = P(x, y)dx + Q(x, y)dy.

Тогда уравнение (4.1) принимает вид

du(x, y) = 0.

Следовательно, общим интегралом исходного уравнения является выражение

u(x, y) = С,

(4.2)

где С – произвольная постоянная.

Известно, что для того чтобы левая часть уравнения (4.1) являлась полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Эйлера

Р	Q	.	(4.3)

y	x

Если условие (4.3) выполнено, то

du = Pdx + Qdy.

С другой стороны, из определения полного дифференциала функции u имеем равенство

du	u	dx	u	dy .

	x		y

Из этих двух равенств получаем следующую систему уравнений в частных производных:

	u	P,

	x
	x
	u	Q.

	y
	y

Проинтегрируем первое равенство системы по переменной х:

u(x, y) P(x, y)dx C( y) ,

(4.4)

где С(y) – произвольная функция переменной у. Для нахождения функции С(y)

дифференцируем равенство (4.4) по у; при этом учитываем, что	u	Q :

	y
	y

P(x, y)dy C ( y) Q(x, y) .

Из последующего уравнения определится С′(y), а затем интегрированием по у найдётся С(y).

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

2x2 4 y2 dx 8xy 1 dy 0 .

	Решение. Так как P x, y 2x2	4 y2 , Q x, y 8xy	1, то		P	8 y ;

					y
					y
Q	8 y . Следовательно, выполняется	условие (4.3), и	это	уравнение

x
x

действительно является уравнением в полных дифференциалах. Для искомой

функции u x, y

имеем

2x2

4 y2

8xy 1. Из первого уравнения

получаем

u x, y

2x3

4 y2 x C y . Дифференцируем последнее равенство

по y :

=8xy + С′(y). Учитывая,

что

=8xy + 1, имеем С′(y) = 1. Отсюда

С y

u x, y =

2x3

4 y 2 x

. Общий интеграл запишется в виде

2x3

4 y 2 x

C .

5 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка

называется уравнение, в которое неизвестная функция и её первая производная

входят в первой степени:
y p x y q x .	(5.1)

Существуют два метода решения уравнения (5.1): метод Бернулли (метод подстановки) и метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).

Метод Бернулли (метод подстановки)
Решение уравнения (5.1) ищется в виде
y = uv,	(5.2)

т.е. в виде произведения двух неизвестных дифференцируемых функций u =

u(x) и v = v(x). Подставляя функцию (5.2) и её производную
y′ = u′v + uv′
в уравнение (5.1), в результате получим:
u′v + u[v′ + p(x)v] = q(x).		(5.3)
Подберём какую-нибудь функцию v, чтобы выражение в квадратных
скобках последнего равенства равнялось нулю:
v′ + p(x)v = 0.		(5.4)
		p(x)dx C1 .
Разделяя в (5.4) переменные и интегрируя, получим ln	V

Так как нам нужно иметь одну из функций v, удовлетворяющих (5.4), то можно положить С1 = 0. Тогда

V	e p ( x ) dx .		(5.5)
Подставим найденную функцию v(x) в (5.3). В результате приходим к
дифференциальному уравнению
u e	p(x)dx	q(x)	(5.6)

с разделяющимися переменными относительно другой неизвестной функции u(x). Решением уравнения (5.6) является функция

u q(x)ep(x)dxdx C , (5.7)

где С – произвольная постоянная.

Подставляя найденные функции u и v (см. (5.5) и (5.7)) в равенство (5.2), получаем общее решение дифференциального уравнения (5.1) в следующем виде:

y Ce p(x)dx e p(x)dx q(x)e p(x)dxdx .

(5.8)

Однако при решении конкретных примеров не рекомендуется использовать равенство (5.8). Обычно действуют по изложенной выше схеме.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения y′ + y cos = e– sin x.

Решение. Применяем замену (5.2), дифференцируем функцию y(x), подставляем её и производную в искомое уравнение. В результате приходим к уравнению

u′v + u[v′ + v cos x] = e– sin x.

Теперь подбираем функцию v, являющуюся одним из решений уравнения v′ + v cos x = 0. Разделяем в последнем уравнении переменные:

			dV	cos x dx .

			V
			V
		sin x c . Полагая с1 = 0, находим, что			V	e sin x . За v(x) возьмём
Тогда ln	V	sin x c . Полагая с1 = 0, находим, что			V	e sin x . За v(x) возьмём
		1

функцию v = e– sin x.

Функция u(x) определится из равенства

u′e– sin x = e– sin x.

Тогда u′ = 1 или du = dx. Таким образом, u = x + C.

Перемножая функции u и v, окончательно получим, что общее решение исходного уравнения таково:

y = Сe– sin x + xe– sin x.

Уравнение (5.1) при q(x) ≠ 0 называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка, а при q(x) 0 называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Линейное однородное уравнение

y′ + p(x)y = 0 (5.9)

является уравнением с разделяющимися переменными, поэтому

	dy	p(x)dx .

	y
	y

Интегрируя последнее равенство, получаем

ln	y	p(x)dx lnC1 (С1 > 0).
		15

После потенцирования общее решение уравнения (5.9) принимает вид

y Ce p(x)dx ,

(5.10)

где С ≠ 0. Так как при делении равенства (5.9) на y потеряно решение y ≡ 0, то в равенстве (5.10) надо учитывать, что С может принимать и значение 0.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Алгоритм метода

1.Для заданного неоднородного уравнения (5.1) выписывается соответствующее ему так называемое приведённое однородное уравнение вида (5.9), т.е. правая часть f(x) уравнения (5.1) заменяется нулём, а коэффициент р(х) при неизвестной функции y(x) сохраняется.

2.Методом разделения переменных находится общее решение этого однородного уравнения, которое имеет вид (5.10).

3.В (5.10) постоянную С заменяют на неизвестную функцию С(х), т.е. полагают С = С(х). При этом говорят, что постоянную С варьируют (изменяют). Таким образом, решение исходного неоднородного уравнения (5.1) ищут в виде

y C(x)e p(x)dx ,

(5.11)

при этом С(х) подлежит найти.

4.Функцию (5.11) дифференцируют, а затем её и её производную подставляют в уравнение (5.1).

5.После этих действий получится следующее уравнение для нахождения С(х):

C (x)ep(x)dx q(x) .

6. Из последнего дифференциального уравнения находится путём разделения переменных неизвестная функция С(х):

C(x) q(x)e p(x)dx C .

(5.12)

7. Функция (5.12) подставляется в равенство (5.11). Получится общее решение неоднородного уравнения (5.1) в виде (5.8).

Ещё раз отметим, что в конкретных примерах нецелесообразно применять громоздкую и трудно запоминающуюся формулу (5.8). Обычно каждый раз повторяют все действия приведённого алгоритма.

Заметим также, что метод Бернулли и метод Лагранжа приводят к одному и тому же результату (5.8).

Метод вариации позволяет выявить структуру общего решения неоднородного уравнения (5.1). Из формулы (5.8) видно, что общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка (5.1) равно сумме общего решения соответствующего приведённого однородного

уравнения,

которое

имеет

вид

(5.10),

частного

решения

p(x)dx q(x)e p(x)dxdx

самого

неоднородного

уравнения

(5.1),

получающегося из его общего решения (5.8) при С = 0.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

y сtg x

sin 2 x .

Решение. Соответствующее приведённое однородное дифференциальное

уравнение имеет следующий вид:

y сtg x 0 . Разделяя переменные,

имеем

cos x

dx .

Интегрируем

это

равенство:

cos x

dx ,

sin x

ln | y | ln

sin x

ln C1 (С1 > 0). Потенцируя и учитывая потерянное решение у ≡

0, получаем y

C sin x . Полагая C

C x , находим y′ = C′ x sin x

С x

cos x .

Подставим выражение для y и y

в исходное уравнение:

С′(х) ∙ sin x + C(x) ∙ cos x – C(х) ∙ sin x ∙ ctg x = – sin2 x,

С (х) sin x sin 2 x ,

С (х) sin x , C(x) = cos x + C,

где С – произвольная постоянная. Следовательно, общее решение таково:

y = C ∙ sin x + sin x ∙ cos x.

Пример. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения предыдущего примера с начальным условием

у 2 1.

Решение. Так как общее решение этого дифференциального уравнения у = (cos x + C) ∙ sin x,

то		у		cos		C sin		C . С другой стороны, по условию примера,
			2		2		2
у		1.		Следовательно, С				= 1. Таким образом, частное решение
	2

дифференциального уравнения таково: у = (1 + cos x) ∙ sin x.

6 Дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка

представляет собой
F(x, y, y′, y′′) = 0,	(6.1)

где F – известная функция четырёх переменных, т.е. соотношение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию y = y(x), её первую и вторую производные. Уравнение второго порядка обязательно должно содержать вторую производную неизвестной функции.

Более простым для изучения является частный случай уравнения (6.1), т.е.

уравнение вида
y′′ = f(x, y, y′).	(6.2)
Уравнение (6.2) называется уравнением,	разрешённым относительно

производной высшего порядка у′′, где f – конкретная функция трёх переменных.

Дифференциальное уравнение второго порядка так же, как и уравнение первого порядка, имеет бесконечное множество решений. Поясним это на примере дифференциального уравнения второго порядка

y′′ = f(x),

где f(x) – известная непрерывная функция на некотором промежутке. Для нахождения неизвестной функции у(x) надо последовательно два раза взять неопределённые интегралы:

yf (x)dx F1(x) C1 ,

y [ f (x)dx]dx [F1(x) C1]dx F1(x)dx C1dx F2 (x) C1x C2 ,

где С1 и С2 – произвольные постоянные, F1(x) – какая-то одна первообразная функции f(x), а F2(x) – некоторая из первообразных функции F1(x). Придавая в последнем равенстве постоянным С1 и С2 независимо друг от друга различные

числовые значения, будем получать отдельные решения этого простейшего уравнения.

Рассмотрим ещё более конкретный пример, а именно уравнение y′′ = 2x. Интегрируя его последовательно два раза, получаем следующее:

	y 2x dx			x2 C ,
						1
y (x	2	C )dx	1	x	3	C x C	2	.
y (x		C )dx		x		C x C		.
		1	3			1
			3

Решение последнего вида будем называть общим решением или общим интегралом. Каждое отдельное решение (при конкретных постоянных С1 и С2) называется частным решением. Всякое частное решение изображается на плоскости кривой, которую называют интегральной. Общее решение даёт семейство интегральных кривых на плоскости.

В общем случае решения уравнения вида (6.1) или (6.2) можно записать в

виде
y = y(x, C1, C2),	(6.3)
или
Ф(x, y, C1, C2) = 0.	(6.4)
Общее выражение решений дифференциального	уравнения второго

порядка, записанное в виде (6.3) или (6.4), в которое входят две не зависящие друг от друга произвольные постоянные С1 и С2, называется общим решением

или общим интегралом дифференциального уравнения. При этом общее решение, полученное в виде (6.3), называется явным. Вид же (6.4), где Ф – некоторая конкретная функция четырёх переменных, называется неявным видом решения.

В конкретных прикладных задачах (геометрических, физических, технических, экономических и т.д.) постоянные С1 и С2 должны определиться, т.к. обычно ответ должен быть один. Так как общее решение содержит две произвольные постоянные, то для его нахождения, кроме дифференциального

уравнения, нужно иметь два дополнительных условия.	При этом различают
краевые задачи и задачи с начальными условиями.
Условия
у(х0) = у00, у′(х0) = у01,	(6.5)

где х0 – некоторая фиксированная точка промежутка, на котором рассматривается дифференциальное уравнение, а у00, у01 – заданные числа, называются начальными условиями для уравнения второго порядка.

Задача нахождения решения уравнения (6.1) или (6.2) при выполнении условий (6.5) называется задачей Коши или задачей с начальными условиями.

Всякое решение уравнения второго порядка при условиях (6.5) называется

частным решением, а график частного решения – интегральной кривой.

Возникает вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши. Сформулируем теорему, ограничившись случаем уравнения (6.2).

Пусть правая часть f(x, y, y′) уравнения (6.2) как функция трёх переменных x, y, y′ удовлетворяет следующим двум условиям:

1) непрерывна в некоторой области D, содержащей точку (x0, y00, y01), являющуюся внутренней для D;

2) имеет непрерывные частные производные по аргументам у и у′ в	области D.
Тогда найдётся такое положительное число δ, что на отрезке	[x0 –

δ, x0 + δ] из промежутка, на котором рассматривается уравнение (6.2), решение задачи (6.2), (6.5) существует и единственно.

Допустимыми начальными условиями для дифференциального уравнения второго порядка назовём те тройки чисел х0, у00 и у01, для которых существует единственное решение задачи Коши.

Теперь дадим более «точное» определение общего решения дифференциального уравнения второго порядка.

Дважды непрерывно дифференцируемая функция вида (6.3), содержащая две произвольные постоянные, называется общим решением (общим интегралом) уравнения (6.1) или (6.2), если выполняются следующие два условия:

1)при фиксированных С1 и С2 эта функция является решением соответствующего уравнения;

2)каковы бы ни были начальные условия (6.5), найдутся такие конкретные числа С1 и С2, что функция (6.3) будет удовлетворять этим условиям.

Таким образом, из формулы общего решения в виде (6.3) или (6.4) при конкретном подборе числовых значений постоянных С1 и С2 должно получиться единственное решение, определяемое допустимыми начальными условиями

(6.5).

Покажем на примере, как находятся постоянные С1 и С2. Найдём частное решение уравнения у′′ = 2х при начальных условиях у(0) = 2, у′(0) = 5. Так как

общее решение в явном виде задаётся функцией у	1	х	3	С х	С	2	и у′ = х	2	+
общее решение в явном виде задаётся функцией у		х		С х	С		и у′ = х		+
	3			1
	3
20

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.85 Mб25556.pdf
#
13.11.20221.86 Mб35557.pdf
#
13.11.20221.86 Mб15558.pdf
#
13.11.20221.86 Mб15559.pdf
#
13.11.20221.87 Mб15560.pdf
#
13.11.20221.87 Mб25561.pdf
#
13.11.20221.88 Mб55562.pdf
#
13.11.20221.88 Mб75563.pdf
#
13.11.20221.89 Mб15564.pdf
#
13.11.20221.89 Mб05565.pdf
#
13.11.20221.89 Mб05566.pdf