5561
.pdfпредполагаемое количество населения России через 20 лет, зная, что в 2002 г. оно составляло 145 миллионов человек, а прирост населения составил b 2% .
Решение 1.Установим величины, изменяющиеся в данном явлении: наличное
количество населения y , время t .
2. Выявим законы, связывающие обозначенные величины:
скорость изменения населения прямо пропорциональна наличному
количеству населения с коэффициентом пропорциональности k : |
dy |
ky . |
|||||||
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Выбираем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
независимую переменную t; |
|
|
|
|
|
|
|||
функцию переменной t, которую необходимо найти: y y t . |
|
||||||||
4. Выражаем все величины из условия задачи через независимую |
|||||||||
переменную t, искомую функцию y y t |
и её производную: |
|
|||||||
скорость изменения количества населения есть первая производная от |
|||||||||
количества населения по времени: |
у |
|
dy |
. |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|||
5. Составляем дифференциальное уравнение, исходя из условия |
|||||||||
задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
ky . |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dt |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. Найдём |
общее решение |
составленного дифференциального |
уравнения.
Получили дифференциальное уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными: |
dy |
kdt . Откуда |
dy |
k dt , ln y kt lnC , |
|
y |
y |
||||
|
|
|
|||
y Cekt . Общее решение таково: |
y |
Cekt . |
|
|
7. Определяем параметры С и К
Так как общее решение
у = Сеkt,
то постоянная С определяется из начального условия у(0) = у0. Получим уравнение у0 = Сеk∙0 для нахождения С. Следовательно, С = у0 и решение, удовлетворяющее начальному условию, имеет вид у = у0 еk∙t. Теперь надо найти параметр К. Для этого воспользуемся условием задачи: через год население
41
увеличилось на b%. Тогда годовой прирост в процентах от у0 |
составит |
|
b |
y0 |
, а |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
100 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
количество населения через год станет равным |
y0 |
|
b |
y0 . Таким образом, |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
100 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y(1) y0 |
|
b |
y0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное решение у = у0 еk∙t при t = 1 принимает значение у0 еk. Тогда для нахождения параметра К имеем следующее уравнение:
y |
|
|
b |
y |
|
у |
еk , |
|
0 |
|
|
|
0 |
||||
|
100 |
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
откуда ek 1 100b . Следовательно, равенство
|
|
|
b |
t |
|
y y0 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
||
100 |
|
||||
|
|
|
задаёт численность населения в момент времени t при начальном количестве у0 и годовом приросте b%.
Первое начальное условие y 0 y0 . Найдём второе начальное условие из условия задачи. Поскольку через год население увеличилось на b %, то годовой
прирост в процентах от y0 составит 100b y0 , а количество населения через год
становится равным y0 + 100b y0 . Таким образом, второе начальное условие имеет
b
вид y 1 y0 + 100 y0 .
8. Исследуем полученное решение
Построим график частного решения (рисунок 2).
42
Рисунок 2 – график частного решения
Из графика видно, что с увеличением времени t количество населения y t увеличивается.
Найдём предполагаемое количество населения России через 20 лет, зная, что в 2002 г. оно составляло 145 миллионов человек, а прирост населения
составил b |
2% . Подставляя |
в частное решение y0 145, t 20 и b 2 , |
|||
|
|
2 |
20 |
|
|
получаем y |
145 1 |
|
145,5811 миллионов человек. |
||
|
|
|
|||
100 |
|
||||
|
|
|
|
43
10 Системы дифференциальных уравнений
Линейной системой дифференциальных уравнений первого порядка
называется система вида
dy1 |
|
p11 y1 |
p12 y2 ... |
p1n yn |
dx |
|
|||
|
|
|
|
|
dy2 |
|
p21 y1 |
p22 y2 ... |
p2n yn |
dx |
|
|||
|
|
|
|
.......... .......... .......... .......... .......... ......
f1 x ,
f2 |
x , |
(10.1) |
|
|
|
dyn |
|
pn1 y1 |
pn2 y2 |
... |
pnn yn |
fn x . |
|
|
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Запись системы в виде (10.1) называется нормальной формой. |
||||||||
Если функции |
f1 |
x , f2 |
x ,…, |
fn x |
тождественно равны нулю, то |
|||
система называется однородной, в противном случае – неоднородной. |
||||||||
Предполагается, что аргумент изменяется на всей числовой оси или на |
||||||||
некотором промежутке (например, на отрезке |
a,b ). |
Коэффициенты psj x и |
||||||
свободные члены fs |
x |
предполагаются непрерывными на соответствующем |
||||||
множестве функциями. |
|
|
|
|
|
|||
Пусть неизвестные функции y1 |
y1 x , …, yn |
yn x в некоторой точке |
x0 множества, на котором рассматривается система (10.1), удовлетворяют условиям
y1 |
x0 |
y01, ..., yn x0 |
y0n , |
(10.2) |
где y01, ..., y0n заданные |
числа. Условия (10.2) называются начальными |
|||
условиями для системы (10.1). |
|
|
|
|
Задача (10.1)–(10.2) называется задачей Коши или задачей с |
||||
начальными условиями для системы (10.1). |
|
|
||
Решение задачи (10.1)–(10.2) называется частным решением системы |
||||
(10.1). |
|
|
|
|
Если коэффициенты |
psj |
x и свободные члены fs x |
непрерывны на |
|
a,b , то для любой точки x0 из интервала a,b |
решение задачи Коши (10.1)– |
(10.2) существует и единственно.
Общим решением системы (10.1) называется всякое её решение, из которого можно получить любое частное решение, удовлетворяющее условиям
44
(10.2) при любой точке x0 из соответствующего множества и любых конкретно выбранных числах y01, ..., y0n .
Одним из основных методов нахождения решения однородных нормальных систем является метод исключения неизвестных. С помощью этого метода данная система сводится к одному уравнению n – го порядка относительно одной неизвестной функции.
Пример. Найти общее решение системы уравнений
|
|
|
|
|
|
|
dy |
y 2z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
3y 4z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Продифференцировав первое из уравнений системы |
по |
x , |
||||||||
|
d 2 y |
|
dy |
2 |
dz |
|
dz |
|
||
получим |
|
|
|
|
. Подставляя в это равенство выражение |
|
из |
|||
dx2 |
|
dx |
dx |
dx |
второго уравнения системы и заменяя функцию z её выражением из первого, приходим к линейному однородному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции:
|
d 2 y |
|
|
|
dy |
2 3y 4z |
|
|
d 2 y |
|
|
|
dy |
6 y 8 |
|
1 dy 1 |
y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||
|
dx2 |
|
|
|
dx |
|
dx2 |
|
|
|
dx |
2 |
|
|
dx |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
d 2 y |
|
|
|
|
dy |
6 y |
4 |
dy |
|
|
|
y |
|
|
|
|
d 2 y |
|
3 |
dy |
2 y |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dx2 |
|
|
|
|
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
таково: |
k 2 |
3k 2 |
0 , |
откуда |
|
k |
1, |
k |
2 |
2 |
; тогда |
y |
С ex |
С |
|
e2 x , где |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
С1, С2 – |
произвольные |
постоянные. |
Дифференцируя |
последнее |
|
равенство, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dy |
|
С1ex |
2С2e2 x . Подставляя |
выражения для y |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
в первое |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
уравнение системы, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
С ex |
|
2С |
e2 x |
С ex |
|
|
С |
e2 x |
|
|
|
|
2z , z |
|
С1ex |
|
3 |
С2e2 x . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общее |
решение |
данной |
|
системы |
|
|
|
|
имеет |
|
вид |
|
|
|
y |
С ex |
|
|
С |
e2 x , |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
||
z |
С1ex |
|
3 |
|
С2e2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём частное решение данной системы, удовлетворяющее начальным условиям
y 0 2, |
z 0 4. |
|
|
|
|
|
Это означает, что в общем решении y |
С ex |
С |
e2 x , z |
С1ex |
3 |
С2e2 x |
|
||||||
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
надо выделить такие числа С1, С2 , чтобы выполнялись эти начальные условия.
Так |
как y 0 |
С |
С |
|
, z 0 |
|
С |
|
3 |
С |
|
, |
то получаем |
следующую |
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
систему линейных уравнений для нахождения С1 и С2 : |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
С1 |
С2 2, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
С |
|
3 |
С |
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Её решение таково: С1 |
14 , С2 |
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, частные решения системы уравнений данного примера, |
|||||||||||||||
удовлетворяющее начальным |
условиям |
|
y 0 |
2, z 0 4, |
имеют вид |
||||||||||
y 14ex |
12e2 x , z |
14ex |
18e2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим ещё один метод нахождения общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме.
Пусть при каждом l 1,..., n система функций
y1 l x , y2 l x , ..., yn l x |
(10.3) |
является частным решением однородной системы линейных уравнений. Назовём систему решений (10.3) фундаментальной системой решений однородной системы, если определитель
|
y1 1 |
x |
... yn 1 |
x |
|
detW x |
y1 2 |
x |
... yn 2 |
x |
(10.4) |
.......... .......... .... |
|
||||
|
|
|
|||
|
y1 n |
x |
... yn n |
x |
|
не равен тождественно нулю в интервале |
a,b . При этом определитель (10.4) |
называется определителем Вронского, а матрица W(x) – фундаментальной матрицей системы.
Каждый набор функций (10.3) можно трактовать как n – мерный вектор
46
Yl xy1 l x , ... , yn l x,
соответствующими координатами которого являются функции (10.3). В случае фундаментальной системы решений это означает, что векторы Yl x( l 1,..., n )
линейно независимы на интервале a,b .
Если (10.3) есть фундаментальная система решений однородной системы в нормальной форме, то общее решение этой системы имеет вид
|
n |
|
Y x |
сlYl x , |
(10.5) |
|
l 1 |
|
где c1,..., cn – произвольные постоянные. Запишем (10.5) в развёрнутом виде:
y1 |
x |
с1 y1 1 |
x |
с2 y1 2 |
x |
... |
сn y1 n |
x , |
y2 |
x |
с1 y2 1 |
x |
с2 y2 2 |
x |
... |
сn y2 n |
x , |
.......... .......... .......... .......... .......... .......... . |
|
|||||||
yn |
x |
с1 yn 1 |
x |
с2 yn 2 |
x |
... |
сn yn n |
x . |
11 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Ограничимся подробно изучением таких систем, состоящих из двух и трёх уравнений. Для изучения систем с большим числом уравнений надо обратиться к дополнительной литературе.
Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными функциями x t , y t независимой переменной t
dx |
|
a11x |
a12 y, |
|
|
|
|||
dt |
||||
|
|
(11.1) |
||
dy |
|
|
||
|
a21x |
a22 y, |
||
|
|
|||
dt |
|
|||
|
|
|
вкоторой все коэффициенты asj ( s, j 1, 2 ) являются постоянными
действительными числами.
Фундаментальную систему решений системы (11.1) будем искать в виде
x |
ekt , y |
ekt |
(11.2) |
47
с постоянными коэффициентами , и k , которые надо найти. Не исключается, что эти постоянные могут быть комплексными числами.
Подставляя функции (11.2) |
и их производные в уравнения системы (11.1) |
|
и сокращая на ekt 0 , получим |
|
|
k |
a11 |
a12 , |
k |
a21 |
a22 . |
Перенося все члены в одну часть равенства и группируя коэффициенты при
,, получим
a11 k |
a12 |
0, |
(11.3) |
|
a21 |
a22 k |
0. |
||
|
Система (11.3) есть однородная система из двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными , . Из алгебры известно, что однородная система линейных алгебраических уравнений имеет нетривиальное (ненулевое) решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю. Таким образом, неизвестный параметр k в (11.2) должен быть корнем уравнения
|
|
|
a11 |
|
k |
a12 |
|
|
0 , |
|
|
(11.4) |
|
|
|
|
a21 |
|
a22 |
|
k |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
которое |
называется |
характеристическим |
|
|
уравнением |
системы |
|||||||
дифференциальных уравнений (11.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение (11.4) есть алгебраическое уравнение второй степени |
|||||||||||||
относительно параметра k: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 a |
a |
22 |
k |
a |
a |
22 |
a a |
21 |
0 . |
(11.5) |
|
|
|
11 |
|
|
11 |
|
12 |
|
|
||||
Из алгебры известно, что такое уравнение имеет два корня k1, k2 с учётом |
|||||||||||||
их кратности. Так как |
коэффициенты |
р |
a11 |
a22 |
, q a11a22 |
a12a21 |
уравнения (11.5) есть действительные числа, то его комплексные корни входят сопряжёнными парами a bi .
Действительные корни характеристического уравнения (11.4), т.е. алгебраического уравнения (11.5), называются собственными числами (собственными значениями) матрицы
Аa11 a12 a21 a22
48
системы дифференциальных уравнений (11.1), а соответствующие этим числам нетривиальные решения ( , ) системы (11.3) – собственными векторами матрицы А.
Пусть корни k1, k2 вещественны (действительны) и различны (k1 k2); иначе говоря, матрица А имеет простой спектр. Подставляя эти корни по очереди в систему (11.3), найдём соответствующие какие-нибудь конкретные собственные векторы ( 1, 1 ) и ( 2 , 2 ) . Напомним, что собственные векторы,
отвечающие простому корню, определяются с точностью до постоянной величины. По формулам (11.2) найдутся четыре функции, являющиеся фундаментальной системой решений системы (11.1). Пары этих функций x1,y1 и x2,y2 будут частными решениями системы (11.1), т.к. решения искались в виде (11.2) путём подбора , и k . Эти два решения будут линейно независимы.
Это, во-первых, следует из того, что определитель, составленный из функций, образующих фундаментальную систему решений, будет отличен от нуля (предоставляется читателю проверить это). С другой стороны, линейная независимость этих двух решений следует из алгебраического факта: система собственных векторов ( 1, 1 ) , ( 2 , 2 ) простого спектра линейно независима.
Общее решение системы (11.1) в случае вещественных различных корней k1, k2 будет иметь вид
x t |
C |
1 |
ek1t |
C |
2 |
ek2t , |
(11.6) |
|
|||||||
y t |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где C1,C2 – произвольные постоянные.
Пример 1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
dx |
|
x y, |
|
|
|
||
dt |
|||
|
|
||
dy |
|
6x 2 y. |
|
|
|
||
dt |
|
||
|
|
Решение. Эта система является системой вида (11.1) с матрицей системы
А |
1 |
1 . |
|
6 |
2 |
Характеристическое уравнение (11.4) для данной системы таково:
1 k |
1 |
0 |
или k 2 |
3k 4 0 . |
|
6 |
2 k |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
49
Корнями |
этого |
уравнения |
являются числа |
k1 |
1 и k2 |
4. Это и есть |
|||
собственные значения матрицы А. |
|
|
|
|
|
||||
При k1 |
1 система (11.3) в данном примере имеет вид |
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
0. |
|
|
|
Так как ранг этой системы равен единице ( r |
1), а число n неизвестных равно |
||||||||
двум, то |
r n |
и система имеет бесчисленное множество решений, одним из |
|||||||
которых |
является |
1, |
2 . |
Таким |
|
образом, одним |
из собственных |
векторов при k1 |
1 является вектор |
1, |
2 . Первое частное решение исходной |
|
системы задаётся функциями x1(t)= e t , y1(t)= |
2e t . |
|||
При k2 |
4 система (11.3) имеет вид |
|
|
|
|
3 |
|
|
0, |
|
6 |
2 |
|
0. |
Тогда собственным вектором является, |
в |
частности, вектор 1, 3 . Второе |
частное решение системы задаётся функциями x2(t)= e4t , y2(t)= 3e4t . Найденные два решения являются линейно независимыми, т.к.
e t |
e4t |
5e3t |
0 . |
|
2e t |
3e4t |
|||
|
|
Следовательно, функции х1(t) = e-t, x2(t) = e4t, y1(t) = – 2e-t, y2 = 3e4t образуют фундаментальную систему решений. Тогда согласно (11.6) общее решение данной системы имеет вид
|
x t |
C |
1 |
e t |
C |
|
1 |
e4t . |
|
|
|
|
|
|
y t |
1 |
2 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
x t С e t |
С |
e4t , |
y t |
|
|
2С e t |
3С |
e4t , где |
C ,C |
– |
||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
произвольные постоянные коэффициенты.
Пусть корни уравнения (11.4) являются комплексными. Выше отмечено, что для уравнений (11.5) с действительными коэффициентами они являются сопряжённой парой k1,2= a bi . При этом каждый такой корень даст одну и ту же фундаментальную систему решений.
Подставив корень k1=a+bi в систему (11.3), найдём соответствующий вектор , . По этому вектору из (11.2) найдётся фундаментальная система решений:
50