5462

81

8.Проведите аналогию решения методом потенциалов транспортной задачи в матричной форме и сетевой постановке.

Задачи для самостоятельного решения

Найти оптимальное решение транспортной задачи на сети

1.

2.

3.

82

4.

(-70) (-30)

5.

6.

83

7.

8.

9.

85

Данная задача относится к числу задач целочисленного программирования. Целевая функция z в (11.1) означает длину маршрута для данного плана переездов. Система ограничений (11.2) обеспечивает построение маршрута, при котором коммивояжер въезжает в каждый город только раз, а система ограничений (11.3) – маршрута, когда он выезжает из каждого города раз. Этих ограничений еще недостаточно для постановки задачи, так как они не исключают решения, в котором вместо простого цикла, проходящего через n вершин, отыскиваются два или более отдельных цикла (подцикла), проходящих через меньшее число вершин. На рис. 7 и 8 приведены связанные и несвязанные маршруты

1

Поэтому для исключения подобных несвязанных маршрутов задача (11.1 – 11.4) должна быть дополнена ограничениями, обеспечивающими связность цикла:

Условия (11.5) выражают требование цикличности. Переменные ui и u j

могут принимать произвольные действительные значения.

Введение ограничений (11.5) резко увеличивает размеры модели. Так при n = 50 получается порядка 2500 ограничений. Решение целочисленных задач таких размеров представляет серьезную вычислительную проблему. Между тем во многих практических ситуациях задача коммивояжера является стандартной подзадачей, решение которой должно выполняться многократно. При решении задачи используются различные, хорошо зарекомендовавшие себя эвристические методы и точные методы, в основе

86

которых лежит комбинаторная структура задачи (методы ветвей и границ, динамического программирования).

Задача о коммивояжере в математической постановке эквивалента задаче упорядочения конечного цикла наладочных работ на машине при учете потерь от переналадок.

3. Находим константу приведения ui v j .

i j

4. Находим степени нулей для приведенной по строкам и столбцам матрицы C:

Записываем соответствующую степень в правом верхнем углу клетки r, s

(симметричный элемент) на , чтобы не допустить образования подцикла. 7. Находим приведенную по строкам и столбцам матрицу Рr s и отделяем

ее константу приведения h. Тогда нижняя граница ветви определяется по

87

вариант Pr s и т.д.

11.Если в результате ветвления получаем размерность сокращенной матрицы 2 2 , то определяем полученный маршрут и его длину (рекорд). В противном случае переходим к шагу 12.

12.Формируем вариант маршрута на базе законченной ветви и определяем его протяженность. Если длина маршрута не превышает нижних границ оборванных ветвей (незаконченных ветвлений), то задача решена. В противном случае развиваем ветви подмножеств с нижней границей, меньшей полученного маршрута до тех пор, пока не получим маршрут с меньшей длиной или не убедимся, что такого не существует.

Пример решения задачи коммивояжера.

Решить задачу для матрицы расстояний в табл. 11

Таблица 11

1. Справа к табл. 11 присоединяем столбец ui , в котором записываем минимальные элементы строк. Вычитаем ui из соответствующих

элементов матрицы С, получим матрицу, приведенную по строкам (табл.

12):

88

Таблица 12

С

89

3. Находим константу приведения

(табл. 13), равные сумме минимальных элементов соответствующих строки и столбца. Степени нулей записаны в правых верхних углах клеток, для которых Сij 0 .

5.Определяем максимальную степень нуля. Она равна 10 и соответствует клетке (5,3). Строим дерево ветвлений (рис. 9).

6.Разбиваем множество всех маршрутов Р0 на два: P531 и P153 . Матрицу

P531 с дугой (5,3) получаем из табл. 13 вычеркиваем пятой строки и

третьего столбца. Чтобы не допустить образования подциклов заменяем элемент (3,5) на (табл. 14).

Таблица 14

90

8. Приводим матрицы P531 и P153 по строкам и столбцам. Константа приведения для матрицы P531 :