5462
.pdf
11
Е11 |
70 |
(0 |
10) |
60, |
|
||
Е12 |
50 |
(0 |
30) |
20, |
|
||
Е13 |
30 |
(0 |
60) |
|
30 |
0, |
|
E21 |
30 |
(20 |
10) |
|
0, |
|
|
E22 |
40 |
(20 |
30) |
|
10 |
0, |
|
E24 |
50 |
(20 |
10) |
|
20, |
|
|
E31 |
20 |
( |
10 |
10) |
20, |
|
|
E33 |
50 |
( |
10 |
60) |
0, |
|
|
E34 |
60 |
( |
10 |
20) |
50, |
|
|
E35 |
90 |
( |
10 |
10) |
90, |
|
|
E44 |
50 |
(0 |
20) |
30, |
|
||
E45 |
80 |
(0 |
10) |
70. |
|
||
Условие оптимальности не выполнено для клеток (1.3) и (2.2). Выбираем клетку (2.2) с наименьшей отрицательной характеристикой и строим для нее контур (1.3) – (1.4) – (2.4) – (2.3).
Помечаем клетку (2.2) знаком «плюс», далее знаки чередуем по вершинам. Определяем величину поставки, перемещаемой по контуру
min(60,55) 55 (минимальная из поставок в вершинах со знаком
" "
минус). Величину 55 прибавляем к поставкам со знаком плюс и отнимаем
из поставок со знаком минус. Получаем план Х2 (табл. 2) |
|
||||||
|
План Х2 |
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
60 |
100 |
95 |
125 |
40 |
ui |
|
|
70 |
50 |
30 |
20 |
10 |
|
|
100 |
|
|
55 |
5 |
40 |
u1=0 |
|
|
90 |
50 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
120 |
30 |
40 |
80 |
40 |
50 |
|
|
|
|
|
|
120 |
|
u2=20 |
|
|
30 |
20 |
30 |
|
20 |
||
|
|
|
|
||||
80 |
20 |
20 |
50 |
60 |
90 |
u3=20 |
|
|
80 |
|
|
|
|
||
|
20 |
0 |
|
20 |
60 |
|
|
|
|
|
|
||||
120 |
10 |
30 |
60 |
50 |
80 |
u4=30 |
|
60 |
20 |
40 |
|
|
|||
|
0 |
40 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Vj |
V1=-20 |
V2=0 |
V3=30 |
V4=20 |
V5=10 |
|
|
12
Изменение целевой функции составит
z1 E13 |
30 55 1650 |
Значение z2 для плана Х2
z2 X1 
z1 12800 1650 11150.
Процесс решения продолжаем аналогично. Вычисляем потенциалы ui
иv j и характеристики свободных клеток для плана Х2. Все
характеристики свободных клеток в плане Х2 неотрицательны,
следовательно, план Х2 |
оптимальный и не единственный, т.к. |
Е33 Е44 0. При этом Zmin |
11150. |
Замечание. Если решается простая распределительная задача, то ее можно решить методом потенциалов по критерию максимума целевой функции. В этом случае условия оптимальности по теореме о потенциалах имеют вид
|
1) ui* |
v*j |
Cij , если xij* |
0 ; |
|
|
|
2) u* |
v* |
C |
, если x* |
0 . |
|
|
i |
j |
ij |
ij |
|
|
|
Первоначальный опорный план при этом можно находить по методу |
|||||
северо-западного угла или по методу максимального элемента Сij |
матрицы |
|||||
C |
(Cij )m n . |
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти оптимальное распределение трех видов механизмов, |
|||||
имеющихся в количествах а1 |
45 , |
a2 20, |
a3 35 между четырьмя |
|||
участниками работ, потребности |
которых |
соответственно |
равны |
|||
b1 |
10, b2 20, b3 30, b4 40 |
|
|
при |
следующей |
матрице |
производительности каждого из механизмов на соответствующем участке работы
|
5 |
4 |
0 |
5 |
С |
3 |
5 |
3 |
0 |
|
0 |
6 |
7 |
6 |
Нулевые элементы означают, что данный механизм на данном участке работы не может быть использован.
Решение. Дана простая распределительная задача, которую можно решить по алгоритму транспортной задачи. Критерием оптимальности задачи является максимум целевой функции. В качестве поставщиков рассмотрим механизмы, в качестве потребителей участки работ.
Проверим условие баланса ai |
b j 100 . Задача закрытого типа. |
i |
j |
Решим задачу методом потенциалов по критерию максимума целевой функции. Первоначальный опорный план задачи находим по методу максимального элемента матрицы С. Первой заполняем клетку (3,4) с наибольшим С34 7 x34 min(35,30) 30 . Затем заполняются клетки в
13
порядке убывания Сij с учетом предыдущих поставок. Находим
потенциалы поставщиков и потребителей по занятым клеткам. Вычисляем характеристики свободных клеток по формуле Еij Cij (ui v j ) .
|
10 |
|
20 |
|
30 |
|
40 |
|
ui |
|||||
|
|
5 |
|
4 |
0 |
|
|
|
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
45 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
u1=-1 |
||
|
|
|
|
-1 |
|
-6 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20 |
|
3 |
20 |
5 |
3 |
|
|
|
0 |
u2=-1 |
||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
-2 |
|
|
-2 |
|
|
|
-5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
35 |
0 |
0 |
6 |
7 |
|
|
|
6 |
u3=0 |
|||||
-6 |
|
|
|
30 |
|
|
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Vj |
|
V1=6 |
V2=6 |
|
V3=7 |
V4=6 |
|
|
||||||
Все характеристики свободных клеток не положительны, следовательно, полученный план оптимальный и единственный.
Ответ. План оптимального распределения механизмов между участками работ
|
10 |
0 |
0 |
35 |
X опт |
0 |
20 |
0 |
0 . |
|
0 |
0 |
30 |
5 |
При этом наибольшая суммарная производительность работы всех механизмов равна
Zmax 565
Вопросы для самопроверки
1.Какова постановка транспортной задачи?
2.Какая задача называется открытой, закрытой?
3.Каким образом открытую задачу привести к закрытой?
4.Каково условие разрешимости транспортной задачи?
5.Как составляется первоначальный опорный план по методу минимального элемента матрицы С?
6.Сколько клеток в таблице должно быть занято в невырожденном плане?
7.Каково условие оптимальности транспортной задачи?
14
8.Как вычисляются характеристики свободных клеток и каков экономический смысл Eij ?
9.Каков критерий оптимальности при решении задачи на максимум целевой функции?
Задачи для самостоятельного решения
1.Составить оптимальное распределение специалистов четырех профилей, имеющихся в количествах 60; 30; 45; 25 между пятью видами работ. Потребности в специалистах для каждого вида работы
соответственно |
|
равны 20, 40, |
25, 45, |
30. Матрица |
|||||
|
7 |
5 |
2 |
0 |
4 |
|
|
|
|
С |
4 |
0 |
8 |
6 |
3 |
характеризует |
эффективность |
использования |
|
5 |
7 |
0 |
9 |
8 |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
6 |
4 |
5 |
7 |
6 |
|
|
|
|
специалистов на данной работе.
2.Распределить четыре сорта топлива в количестве 70, 40, 50, 40 т между четырьмя агрегатами, потребности которых соответственно
|
8 |
3 |
5 |
9 |
равны 30, 50, 30, 80 т. Известна матрица С |
4 |
7 |
2 |
6 . |
|
6 |
5 |
8 |
6 |
|
4 |
2 |
7 |
4 |
Сij характеризуют теплотворную способность i-го сорта топлива при использовании его на j-м агрегате.
3.Ресурсы угля трех сортов составляют 300, 800, 400 т, а их теплотворная способность соответственно 1800, 2500, 3000 кал/кг. Уголь сжигается в четырех печах, потребности которых составляют 750, 920, 1110, 800 млн кал. Суммарные затраты на производство и доставку каждого сорта угля до каждой печи (в руб./т) задаются
27 36 18 18
матрицей С 30 25 15 20 . Найти оптимальный план
36 30 24 21
распределения ресурсов угля по печам.
Указание. Выразить данные задачи в одних единицах измерения.
4.Найти оптимальное распределение трех взаимозаменяемых механизмов по четырем видам земляных работ при заданных
ресурсах времени работы каждого механизма 240, 160, 150 часов, производительности механизмов 30, 55, 18 м3/час, объеме
|
15 |
|
|
|
|
подлежащих выполнению |
работ 5, 2, 3, |
8 тыс.м3 |
и |
матрице С |
|
|
|
2 |
1 |
0,5 |
1,2 |
себестоимости работ |
в усл.ед/м3 |
С 0,8 |
1,2 |
0,9 |
0,8 . |
|
|
0,5 |
1 |
0,6 |
0,9 |
Указание. Выразить данные задачи в одних единицах измерения.
5.На четырех ткацких станках с объемом рабочего времени 200, 300, 250, 400 станко-часов может изготовлятся ткань трех артикулов в количествах 260, 200, 340, 500 м за 1 час. Составить оптимальную программу загрузки станков, если прибыль от реализации 1 м ткани i-го артикула при изготовлении ее на j-м станке характеризуется
2,5 |
2,2 |
2 |
2,8 |
элементами матрицы С 1,6 |
1 |
1,9 |
1,2 , а суммарная |
0,8 |
1 |
0,6 |
0,9 |
потребность в ткани каждого из артикулов равна 200, 100, 150 тыс.м. Указание. Выразить данные задачи в одних единицах измерения.
6.Имеется три сорта бумаги в количествах 10, 8, 5 т, которую можно использовать на издание четырех книг тиражом 8000, 6000, 15000, 10000 экземпляров. Расход бумаги на одну книгу составляет 0,6; 0,8; 0,4; 0,5 кг, а себестоимость печатания книги при использовании i-го
24 16 32 25
сорта бумаги задается матрицей С 18 24 24 20 . Определить
30 24 16 20
оптимальное распределение материальных ресурсов.
Указание. Выразить данные задачи в одних единицах измерения.
7.Предприятие имеет два цеха и три склада. Цех №1 производит за определенное время 40 тыс. шт., цех №2 – 20 тыс. шт. одинаковых деталей. Пропускная способность складов предприятия: склад №1 – 16, №2 – 32, №3 – 12 тыс. шт. деталей. Стоимость перевозки 1
тыс. шт. деталей С |
30 |
30 |
20 |
. Определить оптимальную схему |
|
60 |
50 |
10 |
|
перевозок продукции, позволяющую достигнуть минимума расходов на транспортировку.
8.Имеется три склада, из которых необходимо вывезти муку в четыре
2 3 4 3
торговые точки. Стоимость перевозки 1 т груза С |
5 3 1 2 . |
2 1 1 4
Запасы муки на складах составляют соответственно 90; 30; 40 т. Потребность торговых точек в муке: 70; 30; 20; 40 т. Определить
16
оптимальный план закрепления складов за торговыми точками, обеспечивающий минимум затрат на перевозки.
9.Требуется организовать снабжение строительным песком, добываемым на трех карьерах, четырех строительных площадок. Минимизировать при этом общий пробег (т/км). Мощности карьеров составляют соответственно 142, 121, 97 т песка в сутки. Потребности в песке стройплощадок: 120; 34; 90; 76 т. Расстояния в км показаны в таблице
|
|
Стройка |
|
|
Карьер |
I |
II |
III |
IV |
|
|
|
|
|
I |
18 |
6 |
8 |
22 |
II |
21 |
20 |
10 |
13 |
III |
36 |
14 |
21 |
25 |
10.Четыре различных предприятия могут выпускать любой из четырех видов продукции. Производственные мощности предприятий
позволяют обеспечить выпуск продукции каждого вида в количествах 50; 70; 100; 30 тыс. шт., а плановое задание составляет
соответственно |
30; 80; 20; 100 тыс. шт. Матрица |
|||||
|
9 |
5 |
4 |
3 |
|
|
С Сij |
5 |
7 |
9 |
4 |
характеризует себестоимость единицы j-го |
|
6 |
4 |
8 |
6 |
|||
|
|
|||||
|
8 |
6 |
7 |
5 |
|
|
вида продукции при производстве его на i-м предприятии. Найти оптимальное распределение планового задания между предприятиями при условии минимальных суммарных затрат на производство.
17
Глава 2. Обобщенная транспортная задача (λ-задача)
λ-задача иначе называется обобщенной транспортной или распределительной задачей.
Постановка задачи. Требуется произвести ассортиментный набор продукции в количествах, удовлетворяющих спрос потребителей при минимизации суммарных затрат на изготовление продукции с учетом производственных мощностей изготовителей.
Пусть ai – производственная мощность |
|
|
i -го предприятия-изготовителя; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1, m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b j |
– потребность в j -м виде продукции |
j |
1, n . |
|
|
|
||||||||||
Cij |
|
– издержки производства единицы |
|
|
|
j -го вида |
продукции |
i -м |
||||||||
изготовителем; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ij |
|
– производительность |
i -го |
изготовителя |
(шт./час) |
по j -му |
виду |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
продукции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначим xij – искомое количество продукции |
j -го вида, изготовленное |
|||||||||||||||
на i -м предприятии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Математическая модель задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
z |
Cij |
ij |
xij |
|
|
|
min ; |
|
(2.1) |
||||
|
|
|
j |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
xij |
ai , |
i |
1, m ; |
|
|
(2.2) |
||||||
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i |
ij xij |
b j , |
|
|
j 1, n ; |
|
(2.3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xij |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
|
Условие (2.2) выражает требование, чтобы суммарный фонд времени, затраченный i -м предприятием на изготовление всех видов продукции, не превышал его возможностей.
Условие (2.3) означает, что должно быть изготовлено изделий не меньше планового задания b j , т.к. ij 
xij определяет количество j -х
изделий, изготовленных на i -м предприятии.
В зависимости от конкретного условия задачи может варьироваться конкретное содержание, а также размерность исходных величин ai ,bj ,ci , ij , что, в свою очередь, приведет к некоторой модификации
модели. Так, например, |
ij |
может выражать число единиц i -х ресурсов, |
||
|
|
|
|
|
затрачиваемых |
на единицу |
|
j -х потребностей. Тогда ограничение (2.2) |
|
заменится на |
xij / ij |
b j . |
Если же при этом Cij означает оценки |
|
|
i |
|
|
|
18
единицы j -го изделия в руб./шт., то изменится выражение для целевой функции:
z |
Cij / ij xij и т.д. |
i j |
|
Целевая функция z может |
максимизироваться, если Cij означают |
прибыль, стоимость или минимизироваться, если Cij означают затраты,
себестоимость и т.д.
При различных модификациях модель имеет сходство с транспортной задачей. Но наличие в одной из групп ограничений множителей ij (из-за
чего и возникло название -задачи) вызывает необходимость изменения алгоритма решения транспортной задачи.
Алгоритм решения -задачи рассмотрим на условном примере, в котором находится оптимальный вариант распределения производственной программы по группам оборудования.
Пример. Предположим, что имеется m 4 видов взаимозаменяемого оборудования, на котором обрабатываются n 5 видов изделий. Взаимозаменяемое оборудование на предприятии редко бывает однородным (различие по степени изношенности, конструктивным особенностям), что обусловливает различие в производительности оборудования и стоимости изделий из них. В задаче даны следующие величины:
ai – фонд времени i -го оборудования;
b j – задание по выпуску изделий j -го вида.
В левом верхнем углу каждой клетки Cij – затраты на производство единицы j -го вида изделия на i -м оборудовании в руб./час.
В правом верхнем углу клетки ij – производительность i -го оборудования при выпуске изделий j -го вида (шт./час).
Обозначим xij количество времени работы i -го оборудования при выпуске изделий j -го типа.
Модель задачи открытая, поэтому вводится столбец фиктивного потребителя. Спрос этого потребителя не указывается, так как он будет зависеть от конкретного распределения. Показатели Cij в столбце
фиктивного потребителя примем равными нулю, а коэффициенты |
ij =1. |
|||
1. Базисное распределение |
|
|||
Обозначим rij |
ij |
показатель, характеризующий, сколько |
единиц |
|
|
||||
Cij |
||||
|
|
|
||
продукции приходится на один рубль затрат.
19
|
|
|
|
|
|
|
5 1 |
10 |
5 |
3 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rij |
|
|
15 |
5 |
1 |
5 |
1 . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
10 |
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
1 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Виды изделий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Потен- |
|
Виды |
и объемы |
В1 |
|
В2 |
|
В3 |
|
В4 |
|
В5 |
В6 |
циалы |
|||||
пр-ва |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строк |
|
обор. и |
|
|
|
60 |
|
|
175 |
|
400 |
|
|
100 |
|
100 |
|
ui |
|
рес. времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А1 |
|
С11=1 |
λ11=5 |
1 |
10 |
4 |
20 |
5 |
|
15 |
2 |
20 |
0 |
1 |
|||
|
10 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
10 |
|
2 |
1 |
|
5 |
5 |
5 |
2 |
|
10 |
4 |
4 |
0 |
1 |
|
|
50 |
|
|
|
15 |
20 |
10 |
|
|
|
5 |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3 |
|
10 |
|
30 |
2 |
|
8 |
2 |
20 |
5 |
|
25 |
1 |
5 |
0 |
1 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
-18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A4 |
|
5 |
|
15 |
4 |
|
20 |
10 |
10 |
5 |
|
20 |
5 |
10 |
0 |
1 |
|
|
30 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
16 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Потенциалы |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
||
столбцов vj |
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
Чем выше показатель rij , тем лучше с точки зрения минимизации целевой функции.
Поставка в клетку x(i, j) определяется по правилу xij min ai , |
b j |
. |
|
ij |
|||
|
|
Выбираем клетку с наибольшим rij . Из трех клеток (1,2), (1,5) (3,3)
выбираем любую. Запишем поставку в клетку (1,2) |
x |
min 10, |
175 |
10 , |
|
||||
|
12 |
10 |
|
|
|
|
|
||
x12 10 обведем кружком. Мощность по первой строке А1 исчерпана, эта строка при базисном распределении больше не рассматривается.
Переходим к клетке (3,3) x33 |
min 15, |
400 |
15. Строка А3 исключается |
|
20 |
||||
|
|
|
из дальнейшего рассмотрения.
В строках А2 и А4 находим наибольшее rij 5 для клеток (2,2), (2,4) (4,2). Потребность столбца В2 после поставки в клетку (1,2) уменьшилась
20 |
|
|
|
|
до 175 10 10 75. Поставка в клетку (2,2) x22 |
min 50, |
75 |
15 . |
|
5 |
||||
|
|
|
Исключается столбец В2.
Продолжая распределение, записываем поставки в клетки (2,4), (4,1), (4,5);
(2,3). |
Потребности |
реальных |
потребителей |
удовлетворены. |
|
Неиспользованную мощность в А2 |
и А4 |
принимаем в качестве поставки в |
|||
столбец фиктивного потребителя. |
|
|
|
||
Число кружков m n 1 |
4 6 1 |
9 . Получили опорный план. |
|||
2.Потенциалы
Показатель Cij клетки с поставкой должен быть равен сумме
Сij ui v j 
ij , отсюда
|
|
|
|
|
|
|
ui Cij v j |
|
ij ; |
||||
v j |
Cij |
|
ui |
. |
||
|
|
|||||
|
|
|
|
ij |
|
|
Расчет потенциалов начинают со столбца фиктивного потребителя, причем
потенциал этого столбца всегда равен нулю. |
|
|||
3. Характеристики |
|
|
|
|
Характеристика в λ-задаче Eij |
Cij |
ui v j ij . |
||
Если все Eij 0 , то план оптимальный |
|
|
||
|
0 |
15 |
|
7 |
Eij |
0 |
0 |
0 |
. |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
План не является оптимальным. 4. Цепи
Выбираем клетку (1,3) с наименьшей отрицательной характеристикой. Цепи в λ-задаче строятся так, чтобы они обязательно имели выход на кружок (или два кружка) в столбце фиктивного потребителя. Соединение цепи с кружком в столбце фиктивного потребителя называется шлейфом. Цепи могут быть двух типов:
а) когда по кружкам, расположенным в столбцах реальных потребителей, удается построить замкнутую фигуру. В этом случае к ней пристраивается шлейф, который непосредственно или через другие кружки соединяет одну из вершин этой фигуры с каким-либо кружком в столбце фиктивного потребителя;
б) когда по кружкам, расположенным в столбцах реальных потребителей, такую замкнутую фигуру построить не удается. В этом случае в состав цепи входят два кружка в столбце фиктивного потребителя (цепь имеет два