5462

51

Условно-оптимальный план задачи

Пересчитаем элементы второй и четвертой строки, разделив их на 3 2 ,

получаем окончательно оптимальное решение, выраженное уже не в условных, а реальных единицах:

Вопросы для самопроверки

1.В каком случае задачу по перевозке неоднородного груза можно свести к обычной транспортной задаче?

II?

3.Каков смысл коэффициента взаимозаменяемости?

4.В каких единицах рациональнее выразить данные задачи?

52

5.Почему, умножая ресурсы и потребности на величину коэффициента взаимозаменяемости , транспортные издержки Cij на эту величину делятся?

6.Как перейти от условно-оптимального плана к оптимальному?

7.Из какого плана находится Zmin ?

8.В каком случае в этой задаче блокируются перевозки?

9.В каком случае задача неразрешима?

Задачи для самостоятельного решения

1. Первый склад А1 имеет сталь двух марок: 300 т марки «а» и 400 т марки «б». Второй склад А2 также имеет сталь двух марок: 500 т марки

«а» и 200 т марки «б». Сталь должна быть вывезена в два пункта потребления: в пункт В1 необходимо поставить 300 т стали марки «а» и

400 т – марки «б», в пункт В2 - 425 т марки «а» и 150 т марки «б».

Известно, что 2 т стали марки «а» могут заменить 1,6 т стали марки «б». Стоимость перевозки в рублях за тонну составляет

Составить оптимальный план перевозок.

2. Составить оптимальный план перевозок угля двух сортов (I сорт – каменный уголь, II – бурый уголь) из двух складов двум потребителям. Мощности складов: А1 – 1500 т бурого угля и 600 т каменного; А2 – 2000 т

бурого и 900 т каменного.

Известно, что 4 ед. бурого угля заменяют 3 ед. каменного.

Потребности потребителей: В1 – 750 т каменного и 1800 т бурого; В2 –

700 т каменного и 1200 т бурого. Затраты на перевозку 1 т угля со складов потребителям в (руб.)

3. Составить оптимальный план перевозок цемента двух марок М-500 и М-400 с двух складов А1 и А2 двум потребителям. Ресурсы складов

составляют:

А1 – цемент М-500 – 250 т;

цемент М-400 – 340 т. А2 – цемент М-500 – 750 т;

цемент М-400 – 360 т.

53

Потребности потребителей В1 – цемент М-500 – 450 т;

цемент М-400 – 300 т; цемент любой марки в ед. М-400 – 100 т.

В2 – цемент М-500 – 500 т;

цемент М-400 – 150 т.

Известно, что 6 ед. цемента М-400 заменяют 5 ед. М-500. Затраты на перевозку 1-й натуральной т цемента в руб.

4. Найти оптимальный план снабжения топливом двух районов потребления В1 и В2 с двух складов А1 и А2 .

Ресурсы составляют:

А1 – каменный уголь – 600 т;

бурый – 1500 т.

А2 – каменный уголь – 750 т;

бурый – 2000 т.

Известно, что 3 ед. бурого угля заменяют 2 ед. каменного. Потребности в топливе:

В1 – каменный уголь – 550 т;

бурый – 700 т; взаимозаменяемого в пересчете на бурый уголь – 1000 т.

В2 – каменный уголь – 700 т;

бурый – 2000 т.

Затраты на перевозку 1 т угля составляют, в руб.

5. Определить оптимальный план перевозок грузов двух взаимозаменяемых сортов от двух поставщиков А1 и А2 двум

потребителям В1 и В2 . Ресурсы составляют:

А1 – 240 ед. I сорта;

180 ед. II сорта. А2 – 460 ед. I сорта;

220 ед. II сорта.

Известно, что 2 ед. груза I сорта заменяют 1 ед. груза II сорта.

54

Потребности в грузе: В1 – 300 ед. I сорта;

150 ед. II сорта;

75 ед. взаимозаменяемого груза в пересчете на II сорт. В2 – 350 ед. I сорта;

200 ед. II сорта.

Разрешается частично удовлетворять потребность в грузе II сорта грузом I сорта.

Затраты по перевозке 1 ед. груза представлены таблицей

6. Составить оптимальный план снабжения трех потребителей В1, В2, В3 с двух складов А1 и А2.

Ресурсы составляют:

А1 – торф – 750 т;

дрова – 250 т.

А2 – торф – 500 т;

дрова – 300 т. Потребности:

В1 – торф – 200 т;

дрова – 140 т; взаимозаменяемого топлива в пересчете на дрова – 80 т.

В2 – торф – 250 т;

дрова – 260 т.

В3 – торф – 450 т;

дрова – 100 т.

Известно, что 1 ед. торфа заменяет 2 ед. дров. Затраты по перевозке 1 ед. топлива составляют

7. Найти оптимальный план перевозок неоднородного груза двух взаимозаменяемых сортов из двух пунктов отправления А1 и А2 в два

пункта назначения В1 и В2 .

Ресурсы составляют:

А1 – 200 ед. I сорта и 300 ед. II сорта;

А2 – 120 ед. I сорта и 80 ед. II сорта.

55

Потребности:

В1 – 150 ед. I сорта и 100 ед. II сорта;

В2 – 100 ед. I сорта, 150 ед. II сорта и 50 ед. любого в пересчете на I

сорт.

Известно, что 3 ед. II сорта заменяют 1 ед. I сорта.

Разрешается потребность в грузе II сорта частично удовлетворять грузом I сорта.

Затраты на перевозку единицы груза заданы в таблице

8. Определить оптимальный план перевозок стали двух марок «а» и «б» со складов А1, А2, А3 потребителям В1 и В2.

Мощности складов:

А1 – 400 т стали марки «а» и 250 т – «б»; А2 – 300 т стали марки «а» и 200 т – «б»; А3 – 200 т стали марки «а» и 150 т – «б».

Спрос потребителей:

В1 – 350 т стали марки «а» и 200 т – «б»; В2 – 300 т стали марки «а» и 250 т – «б»;

200 т любой стали в пересчете на марку «а».

Известно, что 2 т марки «а» могут заменить 1,6 т стали марки «б». Затраты на перевозку 1 т стали в руб.

9. Определить оптимальный план снабжения двух теплоэлектростанций В1 и В2 двумя вида топлива, углем и мазутом, двумя базами снабжения

А1,А2.

Мощности баз снабжения:

А1 – 500 т угля, 200 т мазута; А2 – 400 т угля, 300 т мазута.

Потребности ТЭС: В1 – 300 т угля;

В2 – 500 т угля, 400 т мазута, 250 т любого топлива в пересчете на

уголь.

Известно, что 10 т угля заменяет 1 т мазута.

56

Затраты по перевозке 1 т топлива:

10. Определить оптимальный план снабжения бензином и дизельным топливом трех автопарков В1,В2,В3 двумя базами снабжения А1,А2. Мощности баз снабжения:

А1 – 200 т бензина, 250 т дизельного топлива; А2 – 400 т бензина, 300 т дизельного топлива.

Потребности автопарков:

В1 – 250 т бензина, 150 т дизельного топлива; В2 – 140 т бензина, 200 т дизельного топлива; В3 – 150 т бензина, 210 т дизельного топлива.

Известно, что 5 л бензина заменяют 1 л дизельного топлива. Затраты на перевозку 1 т топлива составляют в руб.

Глава 7. Транспортные задачи с ограничениями по пропускной способности

Пусть дополнительно к закрытой модели транспортной задачи (1.1)-

приводит к увеличению целевой функции. Достаточным условием разрешимости задачи является существование хотя бы одного допустимого решения. Дополнительные ограничения (xij dij ) в задаче могут быть

учтены в алгоритме метода потенциалов путем некоторого его видоизменения:

а) при определении величины поставки, перемещаемой по контуру

57

разность сравнивается с поставками в вершинах со знаком (-) и выбирается минимум из рассматриваемых чисел;

б) условие оптимальности решения устанавливается наличием системы потенциалов ui и v j , удовлетворяющим трем условиям

выигрыш в суммарных затратах при увеличении пропускной способности по коммуникации (i, j) на единицу.

d22 150; d42 180; d44 90.

В связи с ограничениями по пропускной способности в таблице транспортной задачи число заполненных клеток может оказаться больше чем (m n 1) . Поэтому при решении системы уравнений относительно

потенциалов возникнет неопределенность в определении ui и v j , т.к. в задаче базисных переменных будет больше чем (m n 1) . Исходя из

этого, условимся обозначать кружками тарифы занятых клеток без ограничений и тех занятых клеток, для которых xij dij . Если число

кружков окажется меньше числа (m n 1) , то их можно вводить из числа занятых клеток без кружков, т.е. клеток, для которых xij dij , но так,

чтобы занятые клетки с кружками не образовывали замкнутого контура. Первоначальный опорный план Х1 находим по методу минимального элемента (табл. 8). Ограничения по пропускной способности в таблице записаны в рамке нижнего правого угла клеток

поставщика использована не полностью, а потребность четвертого потребителя удовлетворена частично. Перераспределим план следующим образом: в четвертом столбце возьмем свободную клетку и для нее построим незамкнутый контур по кружкам с выходом на четвертую строку. Таких контуров два:

(1,4)-(1,2)-(4,2) и (3,4)-(3,2)-(4,2).

Выберем первый. Записываем недостающие 20 единиц в клетку (1,4), вычитаем 20 из поставки в (1,2) и прибавляем к поставке (4,2).

Замечание. Если с столбце, спрос по которому не удовлетворен полностью, или в строке, мощность которой использована частично, нет клеток без поставок и кружков, то для получения допустимого распределения строятся замкнутые контуры с четным числом вершин. Получаем допустимый план Х2 (табл. 9). Число кружков в нем (m n 1) = 7, а

занятых клеток с поставками 9, т.е. больше чем m n 1.

59

строим контур по кружкам, помечаем ее знаком (-) и перемещаем по контуру поставку

min( 90;180;180 110 ) 70 .

Целевая функция уменьшится на величину z 70 2 120 . Получаем новый план Х3. Проделав еще две итерации, получаем оптимальный план Хопт (табл. 10)

60

Вопросы для самопроверки

1.Каков смысл задачи с ограничениями по пропускной способности?

2.Каково условие оптимальности в задаче?

3.Зачем вводятся кружки для занятых клеток?

4.Тарифы каких занятых клеток обводятся кружками?

5.Как определяется величина поставки, перемещаемой по контуру, построенному по кружкам?

6.Почему в оптимальном плане допускается отрицательная

характеристика для клетки, у которой xij dij и каков экономический смысл этой характеристики?

Задачи для самостоятельного решения

9 5 3 10