Плясов Лабораторныы практикум Мекханика твердого тела 2015

рота тела, т.е. βz (t ) = ϕɺɺ(t ), причём в данной формуле угол ϕ счита-

ется положительным, если направление поворота и ось Oz образуют «правый винт».

Рассмотрим твёрдое тело, жестко закреплённое на вертикальной оси, связанной спиральной пружиной с неподвижным основанием. Если совершить поворот тела в горизонтальной плоскости на неко- торый угол ϕ , то со стороны пружины возникнет момент упругих

сил, стремящихся повернуть тело в обратном направлении. Как пока- зывает опыт, в области упругих деформаций кручения пружины мо- мент упругих сил относительно оси вращения прямо пропорционален

где k называется угловым коэффициентом упругости спиральной пружины. Заметим, что его следует отличать от коэффициента жёст- кости пружины. Знак минус в данной формуле учитывает, что мо- мент упругих сил сообщает телу отрицательное угловое ускорение при положительном угле закручивания спиральной пружины.

Рассмотрим свободные незатухающие колебания твёрдого тела, прикреплённого к спиральной пружине. Подставляя момент упру- гих сил (1.18.10) в уравнение динамики вращательного движения (1.18.9) и совершая простые преобразования, получим дифферен- циальное уравнение для неизвестной функции ϕ(t )

Известно, что решение уравнения (1.18.11), которое описывает гармонические колебания с циклической частотой ω0 , имеет вид

где ϕm – амплитуда угла поворота, а α – начальная фаза колебаний. Таким образом, твёрдое тело будет совершать крутильные гармо- нические колебания, частота которых зависит только момента инер- ции твёрдого тела относительно оси вращения и углового коэффици- ента упругости спиральной пружины. Период гармонических коле-

51

баний связан с циклической частотой соотношением T = 2πω0 . Учитывая (1.18.12), получаем

Вреальности на тело и пружину всегда действуют силы трения

исопротивления воздуха, которые создают дополнительные мо- менты сил, что в итоге приводит к торможению и затуханию коле- баний. Период свободных затухающих колебаний зависит от коэф- фициента затухания. Однако в данной работе моменты сил трения малы, и поэтому их влиянием на период колебаний твёрдого тела можно пренебречь. Тогда можно найти момент инерции твёрдого тела с помощью формулы (1.18.14), измерив предварительно сред- ний период колебаний:

Относительная погрешность измерений момента инерции выра- жается через относительные погрешности измерений периода кру- тильных колебаний и углового коэффициента упругости спиральной пружины:

Если известен момент инерции некоторого эталонного тела, то по результатам измерений периода его колебаний можно опреде- лить угловой коэффициент упругости спиральной пружины и его погрешность:

где Iэт – момент инерции эталонного тела (полго цилиндра).

В работах 1.18а и 1.18б исследуемое (или эталонное) тело уста- навливается непосредственно на ось установки через легкую муф- ту, собственный момент инерции которой относительно оси вра-

52

щения настолько мал по сравнению с моментами инерции тел, что его можно не учитывать. Ось закреплена в подшипниках основания и снабжена пружиной.

Отличие установки, используемой в работе 1.18, состоит в том, что на ось установки насажен массивный диск, на который в спе- циальные пазы и устанавливаются исследуемые тела. Поэтому рас- четные формулы для определяемого в ходе эксперимента момента инерции тела несколько модифицируются.

Пусть на диск установлено тело таким образом, что его момент инерции относительно оси вращения равен I. Тогда период колеба- ний диска с установленным на него телом определяется соотноше- нием:

где I 0 – момент инерции ненагруженного диска.

Таким образом, для определения I следует измерить период ко- лебаний диска с телом T и периоды колебаний ненагруженного диска T0 и диска, нагруженного телом с известным моментом

инерции Тэт.

Зависимость измеряемых периодов от соответствующих момен- тов инерции дается системой уравнений:

где Iэт – момент инерции эталонного тела.

Исключая из системы (1.18.20) неизвестные величины I0 и k, по- лучаем формулу для неизвестного момента инерции исследуемого тела:

Из выражения (1.18.21) следует формула для вычисления пре- дельной относительной погрешности определяемого момента инерции:

53

Если измеряемые периоды Т, Тэт и Т0 различаются незначитель- но (последней значащей цифрой), то формула (1.18.21) может быть упрощена. Так, вместо нее может быть использовано выражение:

В некоторых случаях (и это требует предварительной оценки)

Законность формулы (1.18.24) проверяется путем сравнения от- носительной величины поправочного члена формулы (1.18.23) (т.е. величины T − Tэт 2T0 ) с относительной погрешностью результата

εI , определяемой из формулы (1.18.22).

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

К работе 1.18

На рис. 1.18.1 представлены фотография и схема используемой в работе установки. Установка состоит из станины 1 с укрепленной на ней вертикальной осью 2, вокруг которой вращается диск 3. Диск соединен со станиной пружиной 4. Благодаря упругой связи, диск, выведенный из положения равновесия, будет совершать кру- тильные колебания.

На станине имеются установочные винты 5, с помощью которых ось вращения диска может быть установлена строго вертикально. Визуальный отсчет угла поворота диска осуществляется с помо- щью нарисованного на диске указателя. В диске просверлены два

54

взаимно перпендикулярных ряда отверстий, служащих для уста- новки тел; около каждого отверстия указано расстояние от оси вращения в миллиметрах. К установке прилагается эталонное тело с известным моментом инерции.

а

б

Рис. 1.18.1

Для того чтобы колебания диска были незатухающими, уста- новка снабжена электромагнитным приводом, состоящим из якоря 6 и электромагнита 7. При прохождении диском положения равно- весия якорь входит в зазор электромагнита. При этом электронное реле в блоке управления 8 включает электромагнит и благодаря втягиванию якоря в зазор скорость вращения диска немного увели- чивается, чем компенсируются потери механической энергии диска на преодоление трения в оси установки. Когда якорь начинает вы- ходить из зазора, реле выключает электромагнит. Индикатором

55

включения электромагнита служит лампочка 9. Период колебаний диска измеряется с помощью электронного секундомера, также встроенного в блок управления 8. Включение и выключение секун- домера осуществляется автоматически с помощью электронного реле. На передней панели блока управления 8 также смонтированы тумблер выключения сети 10, лампочка наличия питания установ- ки 11, кнопка СБРОС, служащая для обнуления секундомера и начала измерений, и табло электронного секундомера 12.

К работе 1.18а

Установка (рис. 1.18.2) состоит из упругой спиральной пружи- ны, соединённой с вращающимся валом 1, электронного секундо- мера интегрированного в фотодатчик 2, стержня 3 с подвижными грузами, сплошного 4 и полого 5 цилиндров, сплошного шара 6, диска 7, рулетки (либо линейки) 8, и штангенциркуля (на рисунке не показан).

Рис. 1.18.2

Массы и размеры исследуемых тел приведены в табл. 1.18.2., L − длина стержня, R − радиус соответствующего тела.

56

Вданной работе момент инерции одного из тел (полого цилин- дра) относительно его оси симметрии известен, т.е. оно использу- ется как эталонное тело. Поэтому угловой коэффициент упругости спиральной пружины может быть рассчитан по формуле (1.18.17) с помощью измеренных значений периода колебаний полого цилин- дра.

Моменты инерции всех тел измеряются с помощью метода кру- тильных колебаний. Для этого пружина вместе с исследуемым твёрдым телом, закреплённым предварительно на валу 1, выводят- ся из положения равновесия. Измерение периода колебаний тела с помощью электронного секундомера 2 позволит затем рассчитать по формуле (1.18.15) момент инерции исследуемого тела.

Для измерения периода колебаний тела вместо электронного се- кундомера 2 также может быть использован ручной цифровой се- кундомер. В этом случае рекомендуется измерять время 5 полных колебаний тела, и затем рассчитывать период.

Вслучае если измеряется момент инерции стержня 3 с подвиж- ными грузами, грузы должны быть расположены симметрично от- носительно оси системы. Для определения расстояния между цен- тром масс каждого груза и осью системы используется следующая методика. Сначала с помощью штангенциркуля измеряют длину грузов d1 и диаметр центральной муфты d2. Затем для каждого по- ложения грузов с помощью штангенциркуля измеряют расстояние l

(рис. 1.18.3).

Так как грузы и муфта однородны и имеют форму цилиндров, расстояние между центром масс груза и осью системы определяет- ся формулой

57

Рис. 1.18.3

К работе 1.18б

Установка (рис. 1.18.4) состоит из упругой спиральной пружи- ны, соединённой с вращающимся валом 1, на который намотана тонкая нить, перекинутая через блок фотодатчика 2. К другому концу нити прикреплен груз для того, чтобы нить при движении оси всегда была натянута и не проскальзывала по блоку. Фотодат- чик 2 через интерфейс «Кобра 3» соединен с компьютером. На стержень 1 сверху могут закрепляться исследуемые тела: стержень с грузами 3, сплошной 4 и полый 5 цилиндры, сплошной шар 6 или диск 7.

Рис. 1.18.4

58

Массы и размеры исследуемых тел приведены выше в табл. 1.18.2. Для измерения размеров тел используется рулетка и штан- генциркуль (на рисунке не показаны).

В работе момент инерции одного из тел (полого цилиндра) от- носительно его оси симметрии известен, т.е. оно используется как эталонное тело. Поэтому угловой коэффициент упругости спи- ральной пружины может быть рассчитан по формуле (1.18.17) с помощью измеренных значений периода колебаний полого цилин- дра.

Моменты инерции всех тел измеряются с помощью метода кру- тильных колебаний. Для этого исследуемое тело, закреплённое предварительно на валу 1, выводится из положения равновесия, и затем отпускается. При этом система начинает совершать колеба- ния. Измерение периода колебаний тела с помощью компьютерно- го интерфейса позволит затем рассчитать по формуле (1.18.15) мо- мент инерции исследуемого тела.

Фотодатчик 2, подключенный к компьютеру через интерфейс «Кобра 3», позволяет непосредственно снять зависимость угла по- ворота системы от времени, и затем по графику этой зависимости определить расстояние между соседними максимумами, т.е. период колебаний.

Рассмотрим подробно работу компьютерного интерфейса. По- сле запуска программы «Phywe measure», ярлык которой находится на рабочем столе, необходимо в пункте меню «Прибор» выбрать название датчика используемого в работе: «Кобра 3 Перемеще- ние/Вращение» (см. рис. 1.18.5).

Затем следует настроить датчик. Для этого в меню датчика (рис. 1.18.6) необходимо установить диаметр оси – 25 мм, поставить галочку в клетке «колебательное движение», на вкладке «враще- ние» поставить галочки в обеих клетках ϕ(t), выбрать диаметр оси

–20 мм.

Внижней части этого экрана есть рамка «получить значение каждые … мс». Для каждого тела это значение определяется ин-

дивидуально. Соответствующие значения приведены в заданиях.

После заполнения этого окна нажмите кнопку «Далее». Датчик перейдет в режим измерения. Отведите тело из положения равно- весия на угол, не превышающий 180°, и отпустите его, затем нажмите любую клавишу.

59