Плясов Лабораторныы практикум Мекханика твердого тела 2015

Кинетическая энергия тела при плоском движении складывается из кинетической энергии поступательного движения тела со скоро- стью, равной скорости движения центра масс тела vс, и энергии вращения тела с угловой скоростью ω относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела:

22

Рассмотрим подробно плоское движение маятника Максвелла. Маятник представляет собой массивное цилиндрическое колесо, закрепленное на тонкой металлической оси, подвешенной горизон- тально на двух параллельных нитях. Если вращать ось маятника в одну сторону, нити симметрично намотаются на ось, при этом центр масс маятника поднимется на некоторую высоту. Если затем отпустить маятник, то он начнет двигаться так, что нити будут разматываться с его оси, а центр масс – опускаться под действием силы тяжести.

Схематически маятник изображен на рис. 1.21.1 (а – вид спереди, б – вид сбоку). Чтобы не загромождать чертеж, колесо маятника обозначено пунктиром.

Рис. 1.21.1

Подчеркнем, что так как первоначально (в верхней точке траек- тории, где нити намотаны на ось) маятник покоился, а все силы, действующие на него (см. рис. 1.21.1), направлены параллельно вертикальной прямой, то его центр масс будет двигаться верти- кально вниз, т.е. в любой момент времени ось маятника будет оста- ваться в одной плоскости – плоскости рис. 1.21.1, а. Таким обра- зом, маятник будет совершать именно плоское движение.

101

Уравнения (1.21.1) и (1.21.3), описывающие плоское движение твердого тела, в применении к маятнику Максвелла принимают вид

mwc = mg − 2F , (1.21.5)

Iβ = 2F R,

где m – масса маятника; wc – ускорение центра масс маятника; g –

ускорение свободного падения; I – момент инерции маятника отно- сительно его оси симметрии; F – сила натяжения каждой из нитей бифилярного подвеса; R – радиус оси маятника; β = β z – модуль

углового ускорения маятника.

Уравнения (1.21.5) должны быть дополнены уравнением, связы- вающим угловое ускорение β маятника относительно оси симмет-

Проанализируем полученную систему уравнений (1.21.5) и (1.21.6). Во-первых, для конкретного маятника Максвелла его мо- мент инерции относительно оси симметрии есть константа, поэто- му система (1.21.5) и (1.21.6) является линейной системой алгебра- ических уравнений для β , F и wc . Следовательно, ускорение цен- тра масс, угловое ускорение и силы натяжения нитей для маятника Максвелла не зависят от времени.

Во-вторых, если непосредственно измерить ускорение маятника, то, используя систему уравнений (1.21.5) и (1.21.6), можно найти неизвестные величины I, β , F как функции ускорения wc .

Пусть было измерено время t, за которое ось маятника опусти- лась на расстояние h из положения, в котором маятник покоился. Тогда ускорение, с которым опускалась ось (или, что тоже самое, ускорение центра масс маятника), определяется по формуле:

Само ускорение центра масс маятника может быть непосред- ственно рассчитано по формуле (1.21.7) с использованием изме- ренных экспериментально значений времени t движения маятника

ипройденного пути h.

Вдальнейшем нам понадобится только выражение для экспери-

ментального определения момента инерции Iэ маятника:

102

Поскольку маятник Максвелла, используемый в работе, кон- структивно выполнен так, что масса его колеса много больше мас- сы оси, то ускорение wc , с которым движется ось маятника, много

меньше ускорения свободного падения g и второй член в круглых скобках в выражении (1.21.8) много меньше единицы. Поэтому при проведении расчетов этим членом можно пренебречь, и пользо- ваться более простым выражением для экспериментального значе- ния момента инерции маятника:

э

wc

Относительная погрешность момента инерции маятника, вычис-

личин.

Рассмотрим закон сохранения полной механической энергии для маятника Максвелла. В общем виде закон сохранения энергии имеет вид:

где Т1 и Т2 – начальная и конечная кинетическая энергия маятника; U1 и U2 – начальная и конечная потенциальная энергия маятника;

E1 и E2 – начальная и конечная полная энергия маятника; Aсопр –

работа сил сопротивления действующих на маятник в ходе его движения.

Так как сила сопротивления действует в сторону противопо- ложную направлению движения маятника, то ее работа отрица-

тельна, т.е. Aсопр = − Aсопр .

В начальный момент времени маятник находится в верхней точ- ке траектории и покоится, т.е. его скорость, а следовательно, и

103

начальная кинетическая энергия равны нулю: T1 = 0 . Затем маятник

отпускают.

В качестве конечного момента времени возьмем момент време- ни t, когда центр масс маятника опустится на расстояние h.

Так как маятник движется равноускоренно с ускорением центра масс wc , то скорость его центра масс в момент времени t определя- ется выражением:

а угловая скорость вращения маятника вокруг собственной оси – выражением:

Используя (1.21.12) и (1.21.13) и формулу для кинетической энергии плоского движения твердого тела (1.21.4) можно записать кинетическую энергию маятника Максвелла в момент времени t в виде:

Подставляя выражение для ускорения центра масс маятника

(1.21.7) в выражение (1.21.14) получим:

В установке, используемой в работе, ускорение центра масс ма- ятника в любых рекомендуемых режимах работы много меньше ускорения свободного падения wc g . Следовательно, согласно

(1.21.9) Iэ mR2 . Поэтому в выражении для кинетической энергии (1.21.15) можно пренебречь вторым слагаемым в скобках. Тогда окончательное выражение для расчета кинетической энергии ма- ятника в конечный момент времени t примет вид:

В случае, если установка позволяет измерять только время прохождения маятником расстояния h, кинетическую энергию следует рассчитывать, используя второе равенство в (1.21.16). Если

104

же возможно непосредственное измерение скорости центра масс в нижнем положении, то кинетическую энергию следует вычислять, применяя первое равенство в (1.21.16).

В качестве уровня, от которого будем отсчитывать потенциальную энергию маятника, выберем нижнюю точку траектории маятника, в которой будет находиться его центр масс в момент времени t. Тогда в крайнем верхнем положении (отметке, где маятник первоначально покоится) его потенциальная энергия равна

а в нижней точке траектории – U2 = 0 .

Используя закон сохранения полной механической энергии для маятника Максвелла (1.21.11), можно вычислить работу сил сопротивления, действующих на маятник в ходе его движения из начальной точки траектории в конечную:

Формулы для расчета относительных погрешностей вычисляемых по формулам (1.21.16) и (1.21.17) потенциальной и кинетической энергии маятника имеют вид:

или

Вработе 1.21а маятник имеет сложную форму колеса со спица- ми, поэтому вычисление его момента инерции по теоретическим формулам затруднительно.

Вработе 1.21 ситуация обратная, поскольку маятник конструк- тивно выполнен из частей простой формы. Ось маятника представ-

105

ляет собой тонкостенную трубку диаметра d0 и массы m0, тело ма- ятника – сплошной диск-ролик диаметра dр и массы mр. На ролик надеваются съемные кольца в форме полого цилиндра. Диаметр колец dк, а масса – mк. Таким образом, в работе 1.21 радиус оси ма- ятника, входящий в формулы для расчета экспериментального мо- мента инерции, кинетической и потенциальной энергии маятника, равен R=d0/2, а масса маятника m = m0+ mр+ mк.

Пусть I0 – момент инерции оси, Iр – момент инерции ролика, а Iк – момент инерции съемного кольца. Тогда для расчета момента инерции маятника Максвелла Iтеор в работе 1.21 следует использо-

Для расчета погрешности момента инерции маятника рассчи- танного по теоретическим формулам (1.21.21) следует использо- вать выражение

абсолютные погрешности измерений соответствующих величин.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Для работы 1.21

Плоское движение тела в настоящей работе изучается на уста- новке, называемой «Маятник Максвелла», представленной на рис. 1.21.2.

На вертикальной колонне 1, закрепленной на основании 2, уста- новлены два кронштейна: неподвижных верхний 3 и нижний 4. На верхнем кронштейне расположен электромагнит, удерживающий

106

маятник в верхнем положе- нии, устройство для крепле- ния нити бифилярного под- веса маятника.

К нижнему кронштейну прикреплен фотодатчик. По- ложение кронштейнов опре- деляется по миллиметровой шкале на колонне 1 прибора по указателю. Указатель на нижнем кронштейне совпа- дает с оптической осью фо- тодатчика, прикрепленного к кронштейну. Фотодатчик со- единен с электронным секун- домером, расположенным в блоке управления 5 на осно- вании установки 2. Маятник Максвелла представляет со- бой массивный ролик 6, жестко закрепленный на оси

7. Ось с помощью двух нитей подвешена к верхнему крон- Рис. 1.21.2

штейну 3 (бифилярный способ подвески). Ось маятника имеет форму тонкостенного цилиндра; ролик – форму сплошного круго- вого цилиндра. К установке прилагается набор съемных колец 8, которые надеваются на ролик. Внешний и внутренний диаметры колец одинаковы, массы их различны (значение массы каждого кольца выбито на его боковой поверхности).

Маятник (с одним из надетых съемных колец) поворачивают во- круг оси симметрии, наматывая равномерно на его ось нити бифи- лярного подвеса. С помощью электромагнита маятник фиксируется в крайнем верхнем положении. После отключения электромагнита маятник начинает опускаться, скручиваясь с нитей подвеса.

Секундомер начинает отсчет времени движения маятника. Ко- гда маятник пройдет максимально возможное расстояние, нижний край его съемного кольца пересечет оптическую ось фотодатчика, прикрепленного к нижнему кронштейну. Секундомер автоматиче-

107

ски прекратит отсчет времени, и на его табло будет показано время t опускания маятника с высоты h. Эта высота определяется указа- телем положения нижнего кронштейна по миллиметровой шкале на колонне (верхнее положение маятника соответствует нулевой от- метке шкалы).

Для работы 1.21а

Плоское движение маятника Макс- велла в работе изучается на установ- ке, изображенной на рис. 1.21.3.

На вертикальных направляющих 1 сверху закреплен горизонтальный стержень, на котором подвешен маят- ник Максвелла 2. Маятник Максвелла представляет собой массивное колесо, жестко закрепленное на тонкой ме- таллической оси. Ось с помощью двух нитей подвешена к верхнему крон- штейну (бифилярный способ подвеса) так, что нити накручены на ось сим- метрично с обеих сторон от колеса. Если маятник в верхнем положении не зафиксирован, то он будет переме- щаться вертикально вниз, при этом

Рис. 1.21.3

нити будут раскручиваться с его оси. На верхнем кронштейне располо- жено фиксирующее устройство 3, удерживающее маятник в верхнем положении при нажатой кнопке на

тросике (рис. 1.12.4).

Нижний кронштейн с прикреплен- ным к нему фотодатчиком 4 (см. рис. 1.21.3) может перемещаться вдоль правой вертикальной направляющей 1 и фиксироваться в произвольном по-

Рис. 1.21.4 ложении, определяемом по линейке 5, закрепленной на третьей вертикальной направляющей.

108

На внутренних обращенных друг к другу поверхностях П- образного корпуса фотодатчика есть два маленьких отверстия. В одном из них находится инфракрасный источник, в другом – при- емник. При перекрытии внешней преградой линии, соединяющей источник и приемник (оптической оси или луча фотодатчика), при- емник перестает фиксировать сигнал от источника. Это приводит к генерации управляющего импульса электроникой фотодатчика. Если луч фотодатчика был перекрыт, и преграду убрали, то прием- ник вновь начинает принимать сигнал от источника, и электроника фотодатчика формирует управляющий импульс другого знака.

Фотодатчик и фиксирующее устройство подключены к цифро- вому счетчику (на рисунке не показан), который производит изме- рения времени в разных режимах.

Для определения начального и конечного положений оси маят- ника в ходе его движения на линейке закреплены оранжевые указа- тели 6. При измерениях положение нижнего указателя необходимо совместить с оптической осью фотодатчика, а верхнего – со шты- рем фиксирующего устройства (см. рис. 1.21.4).

Цифровой счетчик, в зависимости от выбранного режима рабо- ты, либо запускается по сигналу от кнопки фиксирующего устрой- ства и останавливается, когда ось маятника проходит луч фотодат- чика, либо запускается, когда ось маятника закрывает луч фотодат- чика, и останавливается, когда ось маятника вновь открывает его. Таким образом, установка позволяет работать в двух режимах: ре- жим 1: измерение времени движения маятника из верхнего поло- жения в нижнее; режим 2: измерение времени прохождения осью маятника луча фотодатчика.

Для работы установки в режиме 1 необходимо фиксирующее устройство подключить к гнездам «Start/Stop» соответствующего цвета, а желтый сигнальный провод от фотодатчика – к красному гнезду «Stop» (рис. 1.21.5, а). Кроме этого, на счетчике необходимо выбрать режим «Timer» последовательным нажатием кнопки «Function». При этом автоматически будут выбраны единицы из- мерения секунды (s). Если этого не произошло, самостоятельно выбрать режим единиц измерения «s» последовательным нажатием кнопки «Display». Кроме того следует выбрать режим «» кноп-

кой «Trigger» (см. рис. 1.21.5, б).

109