Плясов Лабораторныы практикум Мекханика твердого тела 2015
.pdf
N = Ib = b |
gr |
. |
(1.17.32) |
тр |
k |
|
Погрешности величин k и b, рассчитанных по формулам
(1.17.31) и (1.17.32) определяются соотношениями: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
εI |
= |
I = |
|
r |
2 |
+ |
k |
2 |
, |
|
(1.17.33) |
||
|
|
|
|
|
I |
|
|
r |
|
|
|
k |
|
|
|
|
εN |
|
= |
Nтр |
= |
|
r 2 |
+ |
|
k 2 |
+ |
|
b 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(1.17.34) |
|||||
|
N |
тр |
|
|
||||||||||||
|
тр |
|
|
|
r |
|
k |
|
|
|
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Установка, используемая в работе (см. рис. 1.17.5), состоит из массивного стального диска 1 (массивного твёрдого тела), снаб- жённого лёгким язычком – меткой 2 в виде углового сектора вы- полненного из алюминия. Сверху диска жёстко фиксируются лёг- кие алюминиевые шкивы 3 разных радиусов, на которые наматыва- ется нить 4.
Рис. 1.17.5
41
Нить далее перекинута через блок 5, а на ее свободном конце подвешен держатель для грузов 6. Диск закреплен на оси, совпада- ющей с его осью симметрии, и может вращаться на ней практиче- ски без трения, благодаря воздушной подушке в подшипниковом механизме 7, создаваемой компрессором (на рисунке не показан). Управление компрессором осуществляется ручкой на его лицевой панели. В процессе раскручивания диска язычок пересекает фото- датчик 8, в который встроен электронный секундомер. Секундомер фиксирует время между двумя последовательными закрытиями язычком луча фотодатчика.
Предстартовая фиксация нагруженного диска при работающем компрессоре осуществляется руками.
Рассмотрим кинематическую составляющую эксперимента, что- бы иметь возможность связать время, измеряемое электронным секундомером с угловым ускорением и угловой скоростью диска.
Как было отмечено выше, в ходе эксперимента диск движется равноускоренно с нулевой начальной скоростью (именно для этого стартовое положение язычка должно быть прямо перед лучом фо- тодатчика). При равноускоренном вращении диска из состояния с нулевой угловой скоростью зависимость угла поворота диска от времени имеет вид
ϕ = |
βt |
2 |
(1.17.35) |
2 |
. |
||
|
|
|
|
Таким образом, если за время t1 |
диск совершает один оборот, то |
||
он поворачивается на угол 2π , поэтому из выражения (1.17.35) можно найти угловое ускорение диска
β = |
4π |
. |
(1.17.36) |
|
|||
|
t 2 |
|
|
1 |
|
|
|
Абсолютная погрешность углового ускорения, рассчитанного по формуле (1.17.36), определяется выражением
Δβ = |
8π t1 |
. |
(1.17.37) |
|
|||
|
t3 |
|
|
1 |
|
|
|
В работе используются дополнительные грузы массой 10 и 50 г. При проведении измерений можно считать, что для любой нагруз- ки держателя для грузов абсолютная погрешность массы составля-
ет m = 0,05 г.
42
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1.Перед включением компрессора проверьте целостность воз- духовода.
2.При включении компрессора медленно вращайте регулятор мощности на его передней панели. Внимание! Не превышайте зна-
чение 4 по его шкале.
3. Будьте осторожны, чтобы пряди волос и длинные детали одежды не попали во вращающиеся детали установки.
ЗАДАНИЕ
Изучение динамики вращательного движения. Определение момента инерции диска
1.Штангенциркулем измерьте диаметр d = 2r всех трех шки- вов. Результаты запишите в лабораторный журнал.
2.Намотайте нить на один из шкивов, так чтобы держатель для грузов оказался немного ниже блока, при этом язычок диска дол- жен находиться в непосредственной близости от фотодатчика.
3.Нагрузите держатель стартовой массой в 20 грамм. Проверьте
что переключатель фотодатчика находится в положение измерения времени одного оборота 
.
4.Застопорьте возможное движение диска рукой. Включите компрессор воздушной подушки, плавно повернув его ручку мощ- ности сначала до второго, а через 10 с – до четвёртого деления. Нажмите кнопку сброса «Set» показаний на фотодатчике.
5.Отпустите диск. После того, как диск совершит один оборот, секундомер покажет время одного оборота. Остановите диск. Вы- ключите компрессор воздушной подушки, плавно повернув ручку мощности до нулевого деления. Запишите полученное время в за- ранее подготовленную табл. 1.17.4.
6.Повторите измерения согласно пп. 3, 4 еще два раза.
7.Повторите измерения согласно пп. 3–5, увеличивая каждый раз массу груза на 10 г, в диапазоне до 80 г включительно.
8.Повторите измерения согласно пп. 2–7 для двух других шки- вов. Результаты записывайте в заранее подготовленные таблицы, аналогичные табл. 1.17.4.
43
Таблица 1.17.4
Диаметр шкива 2r =………… мм
т, г |
|
21 |
|
31 |
|
41 |
|
51 |
|
61 |
|
71 |
|
81 |
|
||||||
t1, c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<t1>, c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t, c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β, с–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Δβ, с–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1.По полученным результатам измерений рассчитайте угловое ускорение и его погрешность для каждой массы груза и для каждо- го радиуса шкива по формулам (1.17.36), (1.17.37). Результаты за- несите в табл. 1.17.4.
2.По данным табл. 1.17.4 постройте три графика зависимости углового ускорения диска от массы нагрузки β(m) для каждого из
шкивов в одних осях координат. Сделайте заключение о характере полученной зависимости.
3.Методом парных точек найдите угловые коэффициенты наклона полученных прямых, рассчитайте свободные члены пря- мых и их погрешности.
4.По вычисленным параметрам зависимостей β(m) , используя
формулы (1.17.31) и (1.17.32), рассчитайте момент инерции диска I и момент силы трения в оси Nтр. Рассчитайте их погрешности по формулам (1.17.33) и (1.17.34).
5.Рассчитайте средние значения момента инерции диска и мо- мента сил трения в его оси и их погрешности.
6.Сравните результат для момента инерции диска с рассчитан- ным по теоретической формуле значением.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
В заключении к работе должны быть представлены три графика зависимости углового ускорения диска от массы грузов, построен- ные по данным измерений времени одного оборота для разных ра-
44
диусов шкивов, а также вывод о характере полученных зависимо- стей и вывод о том, как зависит угловой коэффициент графика β(m) от радиуса шкива.
Приведите экспериментально определенные значения момента инерции диска и момента силы сопротивления движению диска. Сравните экспериментальный момент инерции диска с рассчитан- ным по теоретической формуле.
Укажите, какие источники систематических ошибок есть в ис- пользуемой установке.
Табличные значения
Масса диска |
М=0,829 кг |
Радиус диска |
R=0,175 м |
Масса держателя грузов |
1 г |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Сформулируйте основное уравнение динамики вращательно- го движения тел.
2.Как определить направление вектора момента силы относи- тельно фиксированной точки?
3.Дайте определение момента силы относительно фиксирован- ной оси. От чего зависит величина этого момента?
4.От чего зависит угловое ускорение твердого тела при его движении вокруг фиксированной оси?
5.Поясните значение использованных при выводе теоретиче- ских формул условий нерастяжимости нити, отсутствия проскаль- зывания нити по шкиву и невесомости нити. Какие упрощения вносят эти условия.
6.Дайте определение момента инерции тела относительно про- извольной оси.
7.Изложите методику определения момента инерции твёрдого тела по измерению его углового ускорения.
8.Измерения каких физических величин в работе являются прямыми, каких – косвенными?
45
9.Оцените, каким образом наличие трения в подшипнике мо- жет повлиять на экспериментально определяемую величину мо- мента инерции.
10.Изобразите качественно график зависимости момента сил трения в оси подшипникового узла от момента внешних сил.
11.Как экспериментально можно было бы определить макси- мальный момент сил трения в оси.
12.Укажите возможные источники систематических погрешно- стей в данной работе.
46
Лабораторная работа 1.18 (1.18а, 1.18б)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель: изучение динамики вращательного движения тел; зна- комство с методом крутильных колебаний, предназначенным для определения моментов инерции тел.
Оборудование: установка для измерения момента инерции ме- тодом крутильных колебаний, набор тел разной формы, штанген- циркуль.
ВВЕДЕНИЕ
При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси его инер- ционные свойства определяются не массой тела, а его моментом инерции относительно оси вращения. Именно эта величина входит в формулы для момента импульса и кинетической энергии враща- ющегося твёрдого тела, а также в другие важные соотношения. По- нятие момента инерции является ключевым для большинства задач динамики твердого тела.
Момент инерции тела относительно некоторой оси зависит от массы тела и распределения этой массы относительно оси. В про- стейшем случае материальной точки массы т момент инерции Iz относительно произвольной оси z равен произведению массы мате- риальной точки на квадрат расстояния r от материальной точки до этой оси:
I |
z |
= mr2 . |
(1.18.1) |
Момент инерции тела – величина аддитивная, т.е. момент инер- ции протяженного тела равен алгебраической сумме моментов инерции его частей. Следовательно, если разбить тело на достаточ- но малые части массой mi , которые можно считать материальными точками, то момент инерции тела относительно произвольной оси z будет равен сумме произведений массы вы-
47
бранной материальной точки mi |
на квадрат рассояния ri |
от этой |
материальной точки до оси z: |
|
|
I z = ∑ mi ri2 . |
(1.18.2) |
|
i |
|
|
Совершив предельный переход |
mi → 0 , получим |
|
Iz = ∫ ρ(R)r 2 dV , |
(1.18.3) |
|
(V ) |
|
|
где ρ(R) – плотность тела, которая может изменяться в пределах
тела; V – объем тела.
В табл. 1.18.1 приведены моменты инерции нескольких одно- родных ( ρ(R) = const) тел правильной формы, использующихся в работе. Во всех случаях предполагается, что ось z проходит через центр масс тела С и тело имеет массу М. В последнем столбце таб- лицы приведены также формулы для расчета погрешностей вели- чин моментов инерции соответствующих тел. Под величинами
L, R, M , a понимаются приборные погрешности прямых
измерений соответствующих размеров и масс тел L, R, M, a(b, c). Непосредственно из определения момента инерции следует, что
одно и то же тело обладает различными моментами инерции отно- сительно разных осей. Для вычисления моментов инерции тел от- носительно осей, не проходящих через центр масс тела, иногда удобно использовать теорему Гюйгенса–Штейнера. Согласно этой теореме момент инерции Iz′ относительно произвольной оси z′
равен сумме момента инерции Iz(C ) относительно оси z, параллель-
ной данной оси z′ и проходящей через центр масс тела С, и произ- ведения массы тела т на квадрат расстояния а между осями z и z′ :
Iz′ = Iz(C ) + ma2 , |
(1.18.4) |
где a − расстояние между осями z и zC, а m − масса тела.
В третьем столбце табл. 1.18.1 приведены формулы для расчёта относительной погрешности измерений моментов инерции по из- вестным относительным погрешностям прямых измерений массы тел и их размеров. Моменты инерции тел относительно других осей, па- раллельных данным, могут быть рассчитаны с помощью теоремы Гюйгенса–Штейнера (1.18.4).
48
Таблица 1.18.1
Тело, |
Момент |
|
Относительная |
|
|||||
расположение оси |
инерции |
|
ошибка |
|
|
|
|||
Однородный сплошной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цилиндр или диск |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iz = |
mR2 |
|
m 2 |
2 |
R |
2 |
||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
R |
||||||
|
|
|
m |
|
|
||||
Однородный полый ци- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
линдр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
R |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
+ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
||||||
Iz |
= |
m (R12 + R22 ) |
|
|
|
|
|
|
2 1 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
R |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Однородный шар |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iz |
|
= |
2mR2 |
|
|
|
|
|
|
|
m 2 |
+ |
2 |
R 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
R |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тонкий однородный стер- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жень произвольного сече- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
mL |
|
|
|
|
|
|
|
m 2 |
|
2 |
L 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
||||||||||||||||||||
|
|
z |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
L |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямоугольный паралле- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лепипед a×b×d |
|
m (a |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
m 2 |
|
|
(2 a )2 |
||||||||||||
|
|
2 |
+ b |
2 |
|
|
+ |
|
|||||||||||||||||||
Iz |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ b |
2 , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
|
|
b |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
49
Одно из исследуемых тел в данной работе представляет собой тонкий однородный стержень, к которому прикрепляются два оди- наковых небольших груза, расположенных симметрично относи- тельно середины стержня. Момент инерции Iz исследуемого тела можно найти, используя свойство аддитивности момента инерции и формулу для момента инерции стержня, приведённую в послед- ней строке таблицы 1.18.1:
I |
|
= |
ML2 |
+ 2md 2 , |
(1.18.5) |
z |
|
||||
|
12 |
|
|
||
|
|
|
|
||
где M и L – масса и длина стержня, соответственно; |
m – масса од- |
||||
ного из грузов, d – расстояние от оси вращения до середины одного из грузов.
Относительная погрешность момента инерции выражается через относительные погрешности масс и размеров стержня и грузов в виде
I z |
= |
|
M |
|
|
|
|
Iz |
|
||
|
|
M |
2
+ 2 |
m |
2 |
+ |
2 |
l |
2 |
+ |
2 |
d |
2 . |
(1.18.6) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
m |
|
|
l |
|
|
|
d |
|
|
|
Динамика вращательного движения твёрдого тела определяется моментами сил, действующих на тело. Вектор N момента силы от- носительно точки O определяется как векторное произведение ради- ус-вектора R, проведённого из точки O в точку приложения силы, на вектор силы F:
N = [R, F] . |
(1.18.7) |
Моментом силы относительно оси Oz, проходящей через точку O, называется проекция момента (1.18.7) на данную ось. Модуль мо- мента силы относительно оси можно записать в виде:
Nz |
= rF , |
(1.18.8) |
где r – плечо, т.е. расстояние от оси до линии, вдоль которой дей- ствует сила.
Тогда основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси Oz имеет вид:
Izβz = Nz , |
(1.18.9) |
где βz – угловое ускорение твёрдого тела, а |
Nz – сумма моментов |
всех сил, действующих на твёрдое тело, относительно оси Oz. Угло- вое ускорение тела есть вторая производная по времени от угла пово-
50