Плясов Лабораторныы практикум Мекханика твердого тела 2015

h, r, R – приборные погрешности измерения соответствующих величин. Под погрешностью t понимается приборная погрешность электронного секундомера, если показания значений всех n измере-

ний (одной серии измерений) времени ti отличаются последней зна-

i=1

где Tαn – коэффициент Стьюдента, значение которого следует

брать из таблицы в лаборатории; α – доверительная вероятность; п – число измерений времени в каждой из серий измерений.

ЗАДАНИЯ

Задание 1. Определение зависимости углового ускорения тела от момента действующей силы

1.Занести в лабораторный журнал величины масс µ подвижных грузов подшипникового узла и грузов, составляющих массу т гру- за, прикрепленного к нити.

2.Определить с помощью штангенциркуля диаметры подвижных

грузов массы µ и ступени диска 7 (см. рис. 1.17.1 или 1.17.2); зане- сти данные измерений в лабораторный журнал.

3.Надеть на стальную штангу (стальные лучи) подшипникового узла подвижные грузы массы µ и закрепить их симметричным об- разом относительно оси вращения прибора на произвольном рас- стоянии не менее 5 – 6 см от оси.

4.Прикрепить к одному концу нити груз массы т (оставив лишь один несъемный груз).

5.Другой конец нити прикрепить к одной из ступеней диска 7 (в дальнейшем, выполняя другие задания, работать только с этой сту- пенью шкива).

31

6.Привести установку в исходное состояние.

7.Измерить время t равноускоренного движения груза массы m на пути h согласно инструкции по порядку проведения работ, дан- ной в разделе описания установок. Показание секундомера занести

втабл. 1.17.1.

8.Повторить описанные в п. 7 измерения времени t равноуско- ренного движения груза массой m (при неизменной его массе) на пути h еще четыре раза. Результаты измерений занести в табл. 1.17.1.

9.Добавляя по одному съемные грузы (составляющие груз массы т), произвести описанные в пп. 7, 8 измерения времени t равноуско- ренного движения груза массой m на пути h еще для трех различных значений масс т. При этом не изменять положения подвижных гру-

зов массы на штанге (или стальных лучах) подшипникового узла. Результаты измерений занести в табл. 1.17.1.

2

3

4

32

Задание 2. Определение момента инерции ненагруженного подшипникового узла

1.Снять со стальной штанги (работа 1.17) или крестовины (ра- бота 1.17а) подшипникового узла все цилиндрические грузы массы

(см. рис. 1.17.1 или 1.17.2).

2.Надеть все съемные грузы массы т.

3.Согласно пп. 5-8 задания 1 измерить время t опускания груза массы m с высоты h. Результаты измерений занести в табл. 1.17.2.

Задание 3. Определение зависимости углового ускорения тела от момента инерции прибора

1.Закрепить подвижные цилиндрические грузы на стальной штанге (работа 17) или на крестовине (работа 17а) подшипниково- го узла симметричным образом (см. рис.1.17.1 или 1.17.2).

2.Надеть все съемные грузы массы т. Груз массы т, привязан- ный к концу нити, в дальнейшем не менять.

3.Измерить пять раз (согласно пп. 5–8 задания 1) время t опускания груза массы m с высоты h. Результаты занести в табл. 1.17.3.

4.Повторить измерения п. 3 еще четыре – пять раз для других симметричных положений подвижных цилиндрических грузов (первая строка табл. 1.17.3 (для l = 0) заполняется с использовани- ем данных табл. 1.17.2.)

33

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Задание 1

1.Рассчитать по результатам измерений угловое ускорение подшипникового узла и момент силы F.

2.Используя данные табл. 1.17.1, построить на листе миллимет-

ровой бумаги график зависимости β(NF) углового ускорения под- шипникового узла от величины момента NF силы F. При этом ре- комендуется (так как при проведении эксперимента величины h, r, g оставались неизменными) по оси ординат откладывать значения

t−2 с ошибкой измерения 2 t / t−3 , а по оси абсцисс откладывать значения m с ошибками измерения m. Предполагаемый вид табл. 1.17.1 соответствует этой рекомендации.

3.Определить характер полученной экспериментальной зависи- мости β(NF) и сравнить ее с предсказанием теории. Сделать соот- ветствующие заключения.

4.Используя построенный график зависимости β(NF), найти усредненный момент сил трения Nтр в оси подшипникового узла. Для этого провести (как показано на рис.1.17.3) на имеющемся

графике β(NF) предельные прямые (они показаны пунктирными прямыми на рисунке) зависимости β(NF). Продолжить эти предель- ные прямые до пересечения с осью абсцисс (ось m). Точки пересе-

найти усредненный момент сил трения NF по формулам (1.17.15), (1.17.21б).

Задание 2

1.Используя данные табл. 1.17.2 и определенную в задании 1 величину т*, вычислить согласно формулам (1.17.16) и (1.17.21д) момент инерции I0 ненагруженного подшипникового узла.

2.Рассчитать согласно формулам (1.17.18а), (1.17.21ж), (1.17.19), (1.17.21з), (1.17.20), (1.17.21и) величины U, А, Tк соответ-

35

ственно. При этом значения Nтр , I0 берутся из выполненных зада- ния 1 и п. 1 задания 2, соответственно; значение величины Iгр рас- считывается по формуле (1.17.9) или (1.17.9а). В качестве величин m и t берутся значения этих величин одной из четырех строк табл. 1.17.1 (выбор этой строки производится студентом самостоятель- но).

3. В пределах погрешностей измерений проверить правильность соотношения:

U = Tк – A,

выражающего закон сохранения энергии, и сделать соответствую- щее заключение.

Задание 3

1. Рассчитать для каждого значения расстояния l угловое уско- рение β по формуле (1.17.11) и момент инерции подшипникового узла I по формуле (1.17.16), а также их погрешности по формулам (1.17.21а) и (1.17.21е). Значения I0 и Nтр брать из результатов вы- числений в предыдущих заданиях. Вычислить величину I-1 обрат-

сравнить ее с теоретическими предсказаниями.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ

В заключении к работе по результатам первого задания должен быть представлен график зависимости углового ускорения под- шипникового узла от приложенного момента силы. Сделать вывод о согласии полученной зависимости с теорией. Привести получен- ное значение усредненного момента силы трения в подшипнико- вом узле.

По результатам второго задания представить момент инерции ненагруженного подшипникового узла. Представить результаты проверки закона сохранения энергии.

36

По результатам третьего задания представить график зависимо- сти углового ускорения подшипникового узла от его момента инерции. Сделать вывод, согласуется ли полученная зависимость с теорией.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Сформулируйте основные уравнения динамики произвольно- го движения тел.

2.Сформулируйте основное уравнение динамики поступатель- ного движения тел.

3.Сформулируйте основное уравнение динамики вращательно- го движения тел с закрепленной осью.

4.Дайте определение моменту инерции тела относительно про- извольной оси.

5.Сформулируйте теорему Гюйгенса–Штейнера.

6.Как найти момент инерции однородного цилиндра относи- тельно оси, параллельной оси цилиндра и расположенной на рас- стоянии a от нее?

7.Измерения каких физических величин в данной лабораторной работе являются прямыми, каких – косвенными?

8.Измерения каких физических величин необходимо провести, для того чтобы определить момент инерции тел на данной установ- ке?

9.Как зависит угловое ускорение β подшипникового механизма (при неизменном его моменте инерции I относительно оси враще- ния) от массы m груза?

10.Как зависит угол наклона графика β(NF) от момента инерции подшипникового механизма прибора?

11.Укажите возможные источники систематических погрешно- стей в данной работе.

12.Как определить, какая из погрешностей прямых измерений вносит максимальный вклад в погрешность окончательного ре- зультата?

37

Лабораторная работа 1.17б

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ТЕЛ

Цель: изучение закономерностей динамики вращательного движения твёрдого тела; определение момента сил сопротивле- ния, момента инерции, углового ускорения вращающегося тела.

Оборудование: диск, подшипник с воздушной подушкой, элек- тронный секундомер с фотодатчиком, компрессор, блок, штанген- циркуль.

ВВЕДЕНИЕ

Произвольное движение твердого тела описывается двумя урав- нениями:

где m, A – масса тела и ускорение его центра масс; F – сумма всех сил, действующих на тело; Mc , Nc – момент импульса твердого тела и сумма моментов всех сил относительно центра масс С.

Первое уравнение (1.17.24) представляет собой уравнение дви- жения центра масс тела (второй закон Ньютона). Второе уравне- ние (1.17.25) – уравнение моментов в системе центра масс (или С- системе).

В лабораторной работе изучаются основные законы динамики твёрдого тела, при его вращении вокруг фиксированной оси Z.

Применим уравнения (1.17.24) и (1.17.25) к описанию движения массивного диска закрепленного на фиксированной оси, который приводится в движения с помощью нити, на конце которой подве- шен груз.

Пусть есть массивный диск массы М и радиуса R, закреплённый на оси Z (рис. 1.17.4). На лёгкий шкив радиуса r, жёстко прикреп- ленный к диску так, что их оси совпадают, намотана лёгкая нерас- тяжимая нить. Нить перекинута через лёгкий блок и свисает вниз.

38

В нижней части нити закреплен груз массы m. Нить намотана на шкив так, что под действием силы ее натяжения диск начнет вра- щаться и его угловая скорость ω будет направлена вдоль оси Z.

Рис.1.17.4

Введём координатные оси, так как показано на рис. 1.17.4. За- пишем второй закон Ньютона (1.17.24) для движущегося вниз груза массы m в проекции на ось Z:

Здесь T – сила натяжения нити, a – ускорение груза.

Предполагая, что трение в блоке отсутствует, а его масса прене- брежимо мала, натяжение нити можно считать всюду одинаковым по модулю.

39

Для динамики вращательного движения диска вокруг непо- движной оси справедливо уравнение моментов (1.17.25), которое в проекции на ось Z имеет вид:

нити, Nтр – момент силы трения в оси, I – момент инерции диска

относительно оси Z.

Известно, что для диска, вращающегося вокруг своей оси сим- метрии I = MR2 2 .

Так как нить предполагается нерастяжимой, и она не проскаль- зывает по шкиву, то из кинематики следует связь между угловым ускорением диска и линейным ускорением груза:

Выражая из второго закона Ньютона (1.17.26) силу натяжения нити Т и подставляя ее в уравнение моментов (1.17.27), получим:

Из формул (1.17.29) и (1.17.28) следует, что диск и груз двига-

пренебречь по сравнению со вторым, т.е. для вычисления углового ускорения диска можно использовать упрощенную формулу:

Поэтому с достаточной степенью точности зависимость углово- го ускорения диска от массы груза можно считать линейной, т.е.

β = km − b .

Снимая эту зависимость экспериментально, можно по графику этой зависимости определить угловой коэффициент прямой k и свободный член b, и с их помощью рассчитать момент инерции диска и момент сил трения в его оси по формулам:

40