Никитенко Нестационарные процессы переноса и 2011

характерно для дисперсионного транспорта.

1

σ/kT: 4.4 3.0 2.6

W

0,1

1 10

L (μm)

Рис. 5.2. Зависимость относительной дисперсии сигнала переходного тока W от толщины образца L для нескольких значений σkT . Остальные параметры:

(кружки) – данные работы [2:13]. Сплошные и штрихпунктирные линии вычислены исходя из приближённых уравнений (5.7) и (5.8) соответственно. Пунктирные

линии показывают зависимости W L−12 . Крестики показывают результат прямого определения W = (t1 2 −t0 )t1 2 из кривых j (t)

Поэтому нормированные зависимости j (tttr ) j0 , где j0 – значе-

ние тока на участке приблизительного постоянства («полочка»), точнее – значение в тот момент, когда ток убывает со временем медленнее всего, также не зависят от этих параметров, как и в случае дисперсионного транспорта. Результаты вычислений (рис. 4.2) показывают, что показатель степени S возрастает с ростом параметра энергетического беспорядка, σkT . Например, в случае

σkT = 4 , на длительном интервале времени DF t0.6 , и уравнение (5.7) приводит к зависимости вида W (F0 L)0.2 , которую трудно

191

отличить от W = const ввиду статистического разброса данных эксперимента либо численного моделирования. Надо заметить, что при учете пространственного беспорядка в численном моделировании [1:14; 2:12] на промежуточном интервале значений L отмеча-

ная зависимость при высоких температурах ( σkT = 2,6 ) достаточно точно следует закону W L−0.5 , при σkT = 3,0 возрастание W (L) замедляется при L < 2 мкм, а при σkT = 4, 4 дисперсия ос-

таётся практически постоянной во всём исследованном интервале толщин. Результаты вычислений W согласно уравнениям (5.7) и (5.8), см. сплошные и штрихпунктирные линии соответственно, находятся в качественном согласии с экспериментальными данными. Как и следовало ожидать, последние результаты совпадают тем лучше, чем ближе ситуация к квазиравновесной. Прямое определе-

ние W из вычисленных зависимостей j (t) по формуле (2.8) даёт

промежуточные значения, см. крестики на рис. 5.2. Постоянство W нельзя объяснить сильно неравновесным (дисперсионным) характером транспорта, поскольку μ(t ) ≈ const при L >10 мкм, при этом

абсолютная величина W значительно меньше единицы. Отмеченные выше особенности зависимостей W (L, F, σkT ),

таким образом, обусловлены тем, что квазиравновесный режим транспорта ещё не установился, несмотря на то, что на кривой j (t)

существует характерная «полочка». Хотя подвижность практически постоянна, поскольку ttr teq _ μ , на длительном интервале времён

пролёта teq _ μ ttr < teq _ D , который даже при относительно неболь-

шом значении σkT = 3,0 может составлять несколько порядков по

времени (см. рис. 4.2, 4.3), коэффициент полевой диффузии продолжает возрастать (квазидисперсионный режим транспорта). Поскольку дисперсия тока W в этом режиме слабо зависит от L и F0 ,

192

временные зависимости j (tttr ) j0 , построенные для нескольких значений L и F0 , должны хорошо совпадать друг с другом.

1,0

0,5

j/j 0

a)

0,0

t/ttr

t/ttr

Рис. 5.3. Зависимости переходного тока от времени, вычисленные согласно

Это явление (универсальность, или скейлинг) хорошо известно для случая дисперсионного транспорта. Для того случая, когда на кри-

193

ких значений температуры. Надо заметить, что именно значения L ≤100 нм типичны для светоизлучающих диодов на основе орга-

нических материалов. При этом именно время пролёта носителей заряда определяет характерное время установления электролюминесценции tEL ≈ ttr в однослойных светодиодах [1:15], см. гл. 7. Не

учёт дисперсионного характера транспорта может привести к тому, что температурные и полевые зависимости кажущейся подвижности μav , определяемой исходя из tEL , не будут совпадать с соответ-

ствующими зависимостям, определённым из времяпролётных экспериментов при L 1 мкм .

Модель неравновесного прыжкового транспорта, описанная в разделах 3.5, 4.3, 5.1 и 5.2 данной книги, позволяет дать аналитическое описание особенностей сигналов переходного тока в неупорядоченных органических материалах, многократно наблюдавшихся экспериментально и получавшихся методом численного моделирования Монте-Карло. Данная модель включает в себя дисперсионный (сильно неравновесный) и квазиравновесный транспорт как предельные случаи, между которыми находится режим умеренной неравновесности (квазидисперсионный). Последний существует потому, что при большом беспорядке среднее значение энергии локализованных носителей в ходе их энергетической релаксации устанавливается намного быстрее, чем дисперсия их энергетического распределения. Поэтому, несмотря на установившееся постоянство подвижности, коэффициент стимулированной полем диффузии продолжает возрастать на длительном интервале времени. Достижение именно им установившегося значения свидетельствует об окончательном переходе к квазиравновесному режиму переноса. Квазидисперсионный режим совмещает в себе признаки как дисперсионного (универсальность нормированной зависимости переходного тока с аномально большой дисперсией при различных значениях толщины и напряжённости электрического поля, негауссовский «хвост» координатной зависимости плотности носителей

N (x,t ), так и квазиравновесного (постоянство тока до пролёта,

близкое к гауссовскому пространственное распределение носителей заряда) транспорта.

196

Заметим, что в работах [2:11, 12; 5:3] была сделана попытка интерпретации экспериментальных данных по полевой зависимости подвижности в слабых полях, исходя из предположения о том, что транспорт на всём временном интервале является квазиравновесным. Плотность носителей заряда считается гауссовской функцией с подвижностью и коэффициентом диффузии, не зависящими от времени, которые определяются путём подгонки под экспериментальные данные. Эта процедура, естественно, не даёт слабой зависимости W от толщины при сильном энергетическом беспорядке [5:3], которая показана на рис. 5.2. Основное предположение о квазиравновесности представляется необоснованным, поскольку

время пролёта в представленных данных j (t) не только много меньше времени teq _ D , но и сравнимо с характерным временем конца дисперсионного режима teq _ μ . Убывание сигнала при малых

временах (до установления «полочки» на кривой j(t) не может

быть объяснено диффузионным током, поскольку полевая диффузия, не будучи диффузией в полном смысле, не может изменить переходный ток до тех пор, пока носители заряда не начинают выходить из образца. Формально это проявляется в том, что коэффициент полевой диффузии при t ≤teq _ μ много меньше своего значе-

ния при t =ttr >teq _ μ , которое и определяется в работах [2:11, 12;

5:3] путём подгонки под экспериментальные данные (коэффициент обычной диффузии ещё меньше!). В действительности, убывание тока со временем при t ttr обусловлено дисперсионным характе-

ром транспорта.

Приведённые выше результаты частично объясняют противоречивые результаты ВПМ и НРЭ, приводимые различными авторами для таких полимеров, как поливинилкарбазол (ПВК) и некоторые молекулярнодопированные полимеры, когда различные авторы сообщают то о квазиравновесном, то о дисперсионном характере транспорта, и делают вывод о применимости то гауссовского, то экспоненциального распределений ловушек [1:13, 14]. В большинстве случаев (за исключением некоторых хорошо упорядоченных

197

сопряжённых полимеров при температурах не ниже комнатной) при толщине слоя 1 ÷ 20 мкм следует говорить о неравновесном

(но не всегда сильно неравновесном) транспорте носителей заряда при временах, сравнимых со временем пролёта. Тем более это применимо к плёнкам толщиной 0,05 ÷0, 2 мкм (светоизлучающие

диоды, фотовольтаические элементы). Это обстоятельство часто игнорируется, исходя из наличия «полочки» на кривой переходного тока в ВПМ, что приводит к ошибкам в оценке параметров транспорта носителей заряда.

5.3. Экспоненциальное энергетическое распределение ловушек

В случае экспоненциального распределения ловушек (1.42) функции от времени, входящие в уравнение неравновесного транспорта (3.39), имеют следующий вид [5:4]:

где γ(α, x)= ∫x exp(−x)xα−1dx – неполная гамма-функция, α = kTE1

0

(в данной работе рассматривается случай α <1 ),

θ1 (t )= (1 −α)α (v0t )1−α γ(α, v0t )−(1 −exp (−v0t )) −1 , (5.11)

DF (t )≈ v0 (μ0 τ0 F0 )2 { α(2 −α)−αΓ(α − 2,1) (1 −α)3}× (5.12)

×(v0t )2α−1 ,

где Γ(1+α, x)= Γ(1+α)− γ(1+α, x). В случае v0t 1 (для которого записано уравнение (5.12)) формулы (5.10), (5.11) значительно упрощаются:

где Γ(x) – гамма-функция. Уравнения (2.15а), (5.13) дают в СНТ-приближении степенную зависимость спада тока со временем

198

для времен, много меньших времени пролёта tF :

Подстановка приближённых выражений (5.13), (5.14) в уравнения (5.3)–(5.5) даёт следующие зависимости переходного тока от времени в случае v0t 1 в бездиффузионном НТ-приближении:

Для большой группы неупорядоченных полимеров v0t <1 [1:13], и актуальным является рассмотрение случая v0t <1 . В этом предельном случае выражение (5.10), в отличие от (5.13), приводит к физически разумному значению τ(t)≈ τ0 .

Из уравнений (5.15) и (5.16) видно, что как СНТ-, так и НТприближения приводят к одинаковой (степенной) зависимости убывания тока от времени, хорошо известной из эксперимента [1:5, 13]. Однако коэффициент при этой зависимости содержит в НТ-

приближении дополнительный множитель (1−α) в сравнении с

СНТ-приближением. Для того, чтобы сделать вывод о сравнительной точности обоих приближений, можно использовать асимптотическое решение точного интегрального уравнения, полученного

Заметим, что как это уравнение, так и приближения СНТ и НТ приводят к одному и тому же асимптотическому закону спада переходного тока со временем при временах, больших в сравнении со временем пролёта:

199

Следует привести приближённые выражения для времён пролёта. Пересечение точных асимптотических зависимостей (5.20) и (5.21) приводит к выражению [1:17], см. уравнение (2.16),

Время пролёта, кроме дисперсионного параметра α , содержит информацию о другом важном параметре материала, μ0τ0 . Очевидно,

приближения СНТ, НТ и асимптотически точный результат (5.20) приводят к различным коэффициентам в уравнениях (5.22)–(5.24), что будет приводить к различным величинам μ0τ0 , полученным из

эксперимента. Уравнение (5.22) является наиболее точным. Отношения времён пролёта, вычисленных в СНТ и НТ приближениях,

tF τ tF и tF μ tF , а также отношения соответствующих коэффициентов при начальных временных зависимостях тока, jτ j и jμ j ,

см. уравнения (5.15), (5.16) и (5.20), посчитанные для нескольких значений α , приведены в табл. 5.1. Следует заметить, что применимость приближения СНТ в случае экспоненциального распределения ловушек обусловлена неравенством α 0,5 [1:17, 30]. Впрочем, о полуколичественной применимости этого приближения можно говорить и при α = 0,5 (см. табл. 5.1). Однако, по мере приближения дисперсионного параметра к единице применимость СНТ-приближения нарушается. В частности, при α = 0,9 коэффи-

циент при начальной асимптотике оказывается в модели СНТ завышен на порядок, а время пролёта, соответственно, сильно занижено. В то же время, модель НТ достаточно точна во всём исследо-

200