5.ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ВСТАЦИОНАРНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

При решении задач этого раздела необходимо помнить следующие основные положения.

1.В физике во многих случаях удобно описывать взаимодействие тел посредством силового поля. Силовое поле – это область пространства, в каждой точке которой, на тело, находящееся в ней, действует сила. Если эти силы не зависят от времени, то такое поле называется стационарным. В дальнейшем мы будем рассматривать только стационарные поля.

2.Если работа сил, действующих на тело со стороны поля, не зависит от формы траектории тела, а определяется лишь его начальным и конечным положениями, то поле называется потенциальным, а силы, действующие в нем, – потенциальными.

3.В силу независимости работы потенциальных сил от формы траектории эту работу можно записать в виде убыли потенциальной энергии тела:

A12потенц =U1 −U2

Здесь 1 и 2 начальная и конечная точки траектории, U1 и U2 значения потенциальной энергии тела в точках 1 и 2.

4. Связь между силой и потенциальной энергией дается соотношением:

Fs = − dUds ,

где Fs – проекция силы на направление, характеризуемое вектором ds, dU/ds – производная потенциальной энергий вдоль направления ds. Знак минус в этом соотношении есть следствие того, что потенциальная энергия вводится так, чтобы сила в потенциальном поле была направлена в сторону убыли потенциальной энергии (см. соотношение п.4).

5. Механической энергией тела Е называется величина равная сумме его кинетической Т и потенциальной энергий U:

E = T+U.

65

6.Если тело движется в стационарном потенциальном поле, то механическая энергия тела остается постоянной. Это утверждение носит название закона сохранения механической энергии.

7.Стационарные потенциальные поля называют также консервативными полями, а силы, действующие в таких полях – кон-

сервативными силами. Это название связано с тем, что такие силы не изменяют, т.е. сохраняют (to conserve – сохранять), механическую энергию тела.

8.Если на тело действуют также и неконсервативные силы, то закон сохранения энергии, вообще говоря, не имеет места. А именно, если тело перешло из точки 1 в точку 2, то приращение его механической энергии определяется работой неконсервативных сил вдоль траектории движения тела:

E2 − E1 = A12неконсерв

Задача 5.1. Потенциальная энергия частицы имеет вид: a)U = − ar , б) U = kr22 , в) U = bx, где a, b, k – константы, r – модуль

радиус-вектора r частицы ( r = x2 + y2 + z2 ; х, y, z – декартовы ко-

ординаты частицы). Найти силу, действующую на частицу, и работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки с координатами (1, 2, 3) в точку (2, 3, 4).

Далее, поскольку потенциальная энергия зависит лишь от r, то при перемещении в направлении, перпендикулярном радиальному, она не будет изменяться, а поэтому производные от нее по любому направлению, перпендикулярному r, будут равны нулю. Поэтому в обоих случаях, как а), так и б), силы имеют ненулевую проекцию лишь на радиальное направление, т.е. сила F параллельна радиусвектору r, поэтому можно написать:

F = Fr rr ,

66

откуда

на в положительном направлении оси ОХ при b < 0 и в отрицательном при b > 0. Этот результат можно записать в виде:

F = – b,

где вектор b имеет проекции:

bx = b, by = 0, bz = 0.

Чтобы найти работу А вспоминаем, что в потенциальном поле:

Задача 5.2. Небольшой шарик подвешен к концу невесомого стержня длины L, который может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через другой его конец. С какой скоростью следует толкнуть шарик, чтобы он совершил полный оборот в вертикальной плоскости? Как изменится ответ, если шарик подвешен на нити?

Решение. Задача решается с помощью закона сохранения энергии. Правда, прежде чем применить его, следует выяснить, действительно ли работает этот закон в данном случае. Для этого вспоминаем, что закон сохранения энергии, вообще говоря, нарушается, если на тело действуют неконсервативные силы. В данном случае на шарик действуют две силы: сила тяжести (она консервативна) и сила реакции стержня. Вторая сила неконсервативна, так как зависит, помимо всего прочего, от скорости шарика. Однако наличие неконсервативной силы нарушает закон сохранения энергии лишь в случае, когда работа этой силы отлична от нуля, так как

E2 − E1 = A12неконсерв .

67

Итак, если шарик подвешен на стержне, то скорость, с которой его следует толкнуть, чтобы он совершил полный оборот, равна

υ1 > 4gL .

Для шарика, подвешенного на нити, справедливы все приведенные выше рассуждения, кроме одного: скорость шарика в верхней точке траектории не может быть слишком малой, а тем более нулевой – нить всё время должна быть натянута. Найдем минимальное значение скорости шарика в точке 2. Для этого учтем, что в этой точке обе силы, действующие на шарик, – и сила тяжести, и сила натяжения нити – направлены в одну сторону вдоль нити, т.е.

68

перпендикулярно скорости шарика. Поэтому ускорение шарика также направлено перпендикулярно скорости, т.е. оказывается нормальным ускорением:

В силу второго закона Ньютона можем написать в точке 2 уравнение

man = mg +N.

Отсюда с учетом выражения для ускорения в точке 2, получаем, что

Очевидно, что для нити N > 0 (почему, подумайте сами), поэтому

Опять используя закон сохранения энергии, получаем:

Задача 5.3. Тело массы m толкнули со скоростью υ вверх по наклонной плоскости. На какую высоту h поднимется тело, если угол наклона плоскости равен α, а коэффициент трения между телом и плоскостью k?

Решение. Эту задачу проще всего решить, рассматривая изменение энергии тела. В начальном положении (точка 1 на рис. 5.2) тело обладает энергией E1=mυ2/2, в конечном (точка 2 на рис. 5.3) – энергией Е2 = mgh, так как здесь тело останавливается, и его скорость равна нулю. Приращение механической энергии равно работе неконсервативных сил:

mgh − m2υ2 = AN + Aтр.

69

N v

Fтр

α mg

1

К числу неконсервативных сил здесь относятся нормальная компонента силы реакции плоскости и сила трения. Но нормальная компонента силы реакции направлена перпендикулярно плоскости, т.е. перпендикулярно скорости тела, и потому работы не совершает. Что касается силы трения, то эта – сила трения скольжения, по-

этому Fтр = kN, a так как N = mgcosα, то:

Aтр = – Fтрs = – kmg s cosα.

Так как s sinα = h (см. рис. 5.3), то для работы силы трения получаем

Aтр = – kmg h ctgα,

откуда

mgh − m2υ2 = −kmghctg α .

Отсюда находим h:

Если α → 0, то h → 0, но s = h/sinα → υ2/2kg (сравните с ответом к задаче 4.1).

Задача 5.4. Два одинаковых кубика массы m каждый, соединены невесомой пружинкой жесткости k. Кубики связаны нитью, в результате чего пружинка оказывается сжатой (рис. 5.4). В некоторый момент нить пережигают. При каком начальном сжатии пружины нижний кубик подскочит после пережигания нити?

Решение. Рассмотрим случай минимального начального сжатия пружины, когда нижний кубик отрывается от стола лишь в момент максимального растяжения пружины. Очевидно, что при этом ско-

70

В начальном состоянии механическая энергия кубика равна потенциальной энергии, так как кубик покоится:

E1=U1.

В конечном состоянии механическая энергия также равна потенциальной энергии, так как растянувшаяся пружинка останавли-

ки, l2 – максимальное растяжение пружинки (см. Рис. 5.4). Для того, чтобы нижний кубик оторвался от опоры, необходимо, чтобы пружинка тянула его вверх с силой равной силе тяжести:

Fупр = mg.

Но, так как Fynp = k l2, то

Из рис. 5.4 нетрудно понять, что

71

Первое решение соответствует случаю сжатой пружинки, второе решение также имеет определенный физический смысл. Так как l1 < 0, то это решение соответствует случаю первоначально растянутой на величину mg/k пружинки. Поскольку при таком растяжении пружинка оказывается растянутой с силой равной силе

тяжести Fупр = k l1 = mg, то очевидно, что нижний кубик под действием этой силы оторвется от опоры.

Задача 5.5. Игрушечный автомобильчик с пружинным заводом разгоняется до скорости υ0 и, естественно, приобретает кинетическую энергию Т0, при этом пружина, раскручиваясь, теряет часть своей потенциальной энергии U0. Если пренебречь различными потерями в пружинном моторе, то очевидно, что Т0 = U0. Навстречу автомобильчику со скоростью υ0 движется наблюдатель. Найдите изменение кинетической энергии автомобильчика с точки зрения этого наблюдателя и объясните результат.

Решение. С точки зрения движущегося наблюдателя начальная скорость автомобильчика равна υ0, а конечная 2υ0. Таким образом, изменение кинетической энергии автомобильчика равно

72

Как же быть с законом сохранения энергии, почему он не работает? Работа пружины определяется только её деформацией, которая, очевидно, никак не зависит от выбора системы отсчёта. Казалось бы, ответ не должен тогда зависеть от выбора системы отсчёта. В чём же тут дело?

Самый простой ответ состоит в том, что автомобильчик движется под действием внешних сил, а именно: под действием сил трения между ведущими колёсами и поверхностью, по которой движется автомобильчик. Именно эта сила изменяет импульс автомобильчика, она же изменяет и его кинетическую энергию. Если предположить для простоты вычислений, что сила эта остаётся постоянной, пока пружина раскручивается1, то и ускорение автомобильчика будет оставаться постоянным. Тогда оказывается, что перемещение автомобильчика будет разным в двух разных системах отсчёта:

Поскольку работа силы пропорциональна перемещению тела, то во втором случае эта работа втрое больше, чем в первом:

А2 = 3 А1,

поэтому и изменение кинетической энергии оказывается втрое больше.

А при чём тут тогда пружина, если всё определяет работа силы трения? Ясно, что благодаря пружине колёса начинают вращаться, что и приводит к возникновению силы трения, толкающей автомо-

1 Любители строгих выводов могут убедиться, что и в самом общем случае результат тот же:

73

биль. На гладкой поверхности без этой силы автомобиль не сдвинется с места.

А как же быть тогда с законом сохранения энергии Т0 = U0? Он что – несправедлив? Вообще говоря, нет. При наличии неконсервативных сил энергия не обязана сохраняться:

E2 − E1 = A12неконсерв .

Здесь именно этот случай.

Более подробно мы разберёмся с движением автомобиля в разделе, посвящённом динамике твёрдого тела.

74

6. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ

Векторным произведением двух векторов а и b называется вектор с, модуль которого с связан с модулями сомножителей а и b и углом между ними соотношением:

c = a b sin .

Направление вектора с определяется следующим образом. Вопервых, с направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены а и b. Из двух возможных направлений выбирается то, ку-

Из определения векторного произведения видно, что оно обладает следующими очевидными свойствами:

[а,b] = – [b,а], [a,a] = 0.

Можно также доказать, что

[ а,b] = [а, b] = [а,b],

где – скаляр, а также

[а+b,c] =[а,c]+ [b,c].

Иногда полезно иметь в виду, что величина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, двумя смежными сторонами которого являются эти векторы. Или иначе: величина векторного произведения двух векторов равна удвоенной площади треугольника, двумя сторонами которого являются эти векторы.

1. Моментом импульса материальной точки относительно некоторой избранной точки (полюса – в терминологии теоретической механики) называется вектор

L = [r,p],

75

где r – радиус-вектор материальной точки, начало которого совпадает с полюсом, а конец с материальной точкой, р – импульс материальной точки.

стоянию между полюсом и прямой, вдоль которой направлен вектор скорости частицы (рис. 6.2).

2. Моментом силы относительно полюса называется вектор

M = [r,F].

где F – сила, r – радиус-вектор, направленный от полюса к точке приложения силы.

Точно так же, как и для момента импульса, величина момента силы может быть записана как произведение:

где M – момент сил, приложенных к данной материальной точке. Существенно, что L и М вычисляются относительно одного и того же полюса.

4.Момент импульса аддитивен. Момент импульса системы материальных точек равен сумме моментов отдельных точек, составляющих систему. Все моменты должны определяться относительно одного полюса.

5.Производная по времени от момента импульса системы точек определяется уравнением моментов:

76

ddtL =Mвнеш

где Мвнеш – сумма моментов внешних сил, действующих на точки системы. Из этого уравнения следует, что момент импульса замкнутой системы тел сохраняется. Данное утверждение носит название закона сохранения момента импульса.

6.Моментом импульса или моментом силы относительно оси называется проекция соответствующего момента на эту ось.

При этом полюс обязательно должен лежать на оси.

7.Для момента импульса системы точек справедливо равенство

L = [Rци,P] + L0,

где L0 – момент импульса системы точек относительно ее центра масс, Rци – радиус-вектор центра инерции системы, Р – импульс системы. Это соотношение называют теоремой Кенига для момента импульса.

8. Момент системы сил, определяется как сумма моментов сил, приложенных к точкам системы. Как и момент каждой сил, составляющих систему сил, он зависит от выбора полюса, относительно которого вычисляются эти моменты:

M = [R,F] + M',

где M – момент системы сил относительно старого полюса О, M' – момент импульса системы точек относительно нового полюса О’, R – радиус-вектор направленный от старого полюса к новому, F – сумма сил, приложенных к точкам системы (рис. 6.4). Как видим, в случае F = 0, момент системы сил не зависит от выбора полюса. Таким свойством обладает в частности пара сил, т.е. система двух равных по величине и противоположных по направлению сил.

F

[R, F]

Рис. 6.4

77

Момент пары, как нетрудно убедиться, направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы, составляющие пару, в направлении, совпадающем с направлением перемещения буравчика (винта), вращаемого этой парой. Величина момента пары равна произведению величины сил, составляющих пару на расстояние между линиями действия этих сил. Это расстояние называется плечом пары сил или просто: плечом пары.

9. Если тело движется в центральном поле, то момент силы, действующей на тело в этом поле, относительно центра поля равен нулю. Поэтому момент импульса тела относительно центра поля постоянен.

Задача 6.1. Шайба движется по гладкой горизонтальной плоскости и испытывает в точке 0 упругий удар с гладкой неподвижной стенкой. Найти точки, относительно которых момент импульса шайбы остается постоянным в этом процессе. Угол между направлением скорости шайбы и нормалью к стенке равен α.

Решение. Движение шайбы представлено на рис. 6.5. Так как стенка гладкая, то Fтр= 0, а N – сила реакции при ударе направлена

щей на прямой ОО'. Другие силы, действующие на шайбу, как нетрудно понять, не изменяют ее момента (разберитесь с этим сами).

Задача 6.2. На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие одинаковые шайбы массы m каждая. Шайбы соединены друг с другом невесомой пружиной длины l0 и жесткости k. В некоторый момент времени одной из шайб сообщили скорость v0 в горизонтальном направлении, перпендикулярно пружине (рис. 6.6). Найти максимальное относительное удлинение пружины в процессе движения, если известно, что оно значительно меньше единицы.

78

пружины), поэтому сохраняется ее энергия.

Этих трёх законов сохранения достаточно, чтобы решить задачу. Удобнее всего делать это в системе отсчета, связанной с центром инерции. В этой системе отсчета сумма импульсов шайб равна нулю, откуда следует, что в любой момент времени скорости шайб равны по величине и направлены в противоположные стороны. Начальные скорости шайб относительно плоскости равны со-

ответственно v0 и нулю. Поэтому скорость центра инерции:

Vци = mm+v0m = v20 .

Скорости шайб по отношению к центру инерции равны, соот-

ветственно:

v1 = v0 − Vци = v20 ,

v2 = 0 − Vци = − v20 .

Причем скорости v1 и v2 направлены перпендикулярно пружи-

не.

Так как в начальный момент времени пружина не деформирована, то энергия системы относительно ее центра инерции определяется в этот момент лишь кинетической энергией частиц:

Момент импульса L1 системы шайб относительно центра инерции в этот же момент времени равен:

L1 = mυ1 l20 + mυ2 l20 = 2m υ20 l20 = m υ02l0 .

79

Когда пружина окажется максимально растянутой, скорости шайб опять будут направлены перпендикулярно пружине, иначе шайбы удалялись или приближались бы друг к другу, т.е. длина пружины либо увеличивалась, либо уменьшалась бы, но в любом случае не была бы в этот момент максимальной. Если обозначить величину скорости шайб в этот момент через υ', длину пружины в этот момент через l', то

Ввыражении для энергии второе слагаемое представляет собой потенциальную энергию растянутой на длину l' – l0 пружины.

Всилу законов сохранения энергии и момента импульса полу-

чаем

mυ20l0 = mυ'l '.

Выразив новую скорость шайб υ′ из второго из этих уравнений,

иподставив её в первое уравнение, найдём

υ' = υ20ll0' ,

а учитывая малую величину удлинения пружины (l'– l0 << l0), приходим к ответу:

80

ли в начальный момент оно находилось на расстоянии r0, а угловая скорость нити была равна ω0. Найти силу натяжения нити N как функцию расстояния r тела до отверстия О и площадь, которую опишет тело за один оборот.

Решение. Поскольку сила тяжести, действующая на шарик, уравновешивается силой реакции стола, а момент силы N натяже-

Разложим скорость тела v на две составляющие:

r

81

L = mrυ′ = mr2ω.

Поскольку L = const, а в начальный момент ω = ω0, r = r0, то: mr2ω = mr02ω0,

откуда:

ω= ω0 r02 . r2

Для нахождения величины силы натяжения нити N удобнее всего воспользоваться соотношением между скоростью изменения кинетической энергии тела Т и мощностью Р, действующих на него сил:

Производная dr/dt – это проекция скорости тела на направление нити (радиальное направление), и поскольку нить укорачивается, т.е. тело приближается к отверстию со скоростью u, то dr/dt = –u.

Окончательно:

dT = mω02r04 u. dt r3

Для мощности имеем:

P = (N,v) = (N,u + v') = (N,u) + (N,v') = (N,u) = Nu.

Здесь мы учли, что N и v' взаимно ортогональны, а N и u направлены в одну и ту же сторону вдоль нити. Итак, получаем:

82

один оборот (она затенена на рис. 6.8). Для этого найдём площадь

где L – величина момента импульса.

Так как L = const, то искомая площадь

S = 2Lm τ,

где τ – время одного оборота тела вокруг точки О.

Осталось найти это время. Для этого учтём, что за один оборот нить повернётся на угол 2π. С другой стороны, угол поворота dϕ за малый промежуток времени dt равен произведению ωdt. Угловая скорость найдена ранее:

Проинтегрировав это равенство по периоду, найдём:

83

Задача 6.4. Нить длины l с подвешенным к ней небольшим телом массы m отклонена от вертикали на угол α. Тело толкнули в горизонтальном направлении перпендикулярно нити. При его последующем движении угол отклонения нити в тот момент, когда скорость тела вновь была направлена горизонтально, оказался равным β (см. Рис. 6.9). Найти начальную скорость тела υ0, и скорость υ1 в точке, где нить была отклонена на угол β.

Решение. В процессе движения тела скорость его всё время остаётся перпендикулярной нити, так как нить нерастяжима. Это означает, что сила натяжения нити не совершает работы. Как следствие этого механическая энергия тела остаётся постоянной, так как только сила тяжести (она консервативна) совершает работу над телом.

Рассмотрим теперь момент импульса тела, выбрав в качестве полюса, относительно которого определяем момент, точку О подвеса нити. Вектор момента импульса перпендикулярен плоскости, образуемой нитью и вектором скорости. Поскольку тело движется, эта плоскость непрерывно изменяет своё положение, следовательно, изменяется и вектор момента импульса. Так что вектор момента импульса тела не сохраняется. Однако, как нетрудно убедиться,

84

проекция вектора момента импульса на вертикальное направление, то есть момент импульса относительно нити, будет сохраняться. Для этого рассмотрим момент сил, приложенных к телу относительно точки О. Этих сил две – сила реакции нити и сила тяжести. Но сила натяжения нити направлена вдоль нити, поэтому её момент равен нулю.

Что касается момента силы тяжести Mтяж = [r,mg], то он перпендикулярен как радиус-вектору r (направлению нити), так и век-

тору g. Но это означает, что момент силы тяжести всё время направлен горизонтально. Если мы запишем уравнение моментов относительно полюса О:

ddtL = Mтяж ,

и спроецируем его на вертикальное направление (ось OZ), то получим

dLdtz = 0 ,

т.е. Lz = const.

В начальный момент (Рис. 6.9):

Lz=L0 sinα = mυ0l sinα.

Примем, что в точке, где скорость тела вновь направлена горизонтально, нить отклонена на угол β. Но тогда точно так же

Lz=L1 sinβ = mυ1l sinβ.

Здесь υ1 – скорость тела в новом положении. Закон сохранения момента импульса тогда запишется как

υ0 sinα = υ1 sinβ.

Запишем теперь уравнение, выражающее закон сохранения энергии:

Исключив отсюда скорость υ1 с помощью закона сохранения момента импульса, получим

85

гантелька, состоящая из двух небольших шариков массой m и М, соединённых невесомым стержнем