1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Кинематика описывает движение тел, устанавливает характеристики движения, но причины, вызвавшие движение, ею не рассматриваются. Наиболее простой объект для описания – материальная точка, т.е. тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Наряду с термином "материальная точка" будем пользоваться также термином "частица".

1. Положение частицы в пространстве задается либо ее координатами, либо радиусом-вектором, проекции которого на координатные оси совпадают с координатами частицы (рис. 1.1):

rx = х, rу= y, rz = z.

Сам же радиус-вектор r запишется тогда в виде:

r = x ex + y ey + z ez,

где ex, ey, ez – направляющие единичные векторы (орты) координатных осей.

2. Для такого описания нужно каким-то образом задать систему координат, связанную с некоторым телом, т.е. систему отсчёта. Обычно задают декартову систему коор-

динат, хотя нередко используют и другие координатные системы. Выбор системы отсчёта ничем не ограничен, можно выбирать любую удобную систему отсчёта.

3. Если точка движется, то ее координаты x, y, z (или, что то же самое, ее радиус-вектор r) будут изменяться с течением времени. Если известна зависимость координат от времени t, т.е. заданы х, у, z (или r) как функции t:

x = x(t), y = y(t), z = z(t), r = r(t),

то говорят, что задан закон движения.

4. Если в моменты времени t1 и t2 положение точки характеризовалось радиусами-векторами r(t1) и r(t2), то вектор

r = r(t1) – r(t2)

9

= υτ, а вектор n перпендикулярен вектору скорости v и направлен в сторону, куда траектория вогнута (рис. 1.3).

ризует быстроту изменения модуля скорости, вектор же ап характеризует быстроту изменения направления скорости. Отметим еще, что aτ направлен в сторону движения, если dυ/dt>0, т.е. когда величина скорости растет (ускоренное движение), и, соответственно, он направлен в обратную сторону, когда dυ/dt < 0, т.е. величина скорости убывает (замедленное движение).

9. Как было отмечено выше, выбор системы отсчёта ничем не ограничен, можно выбирать любые системы отсчёта. Связь между значениями скоростей v и v' одной и той же материальной точки в двух различных системах отсчета1 K и K' даётся правилом сложе-

ния скоростей:

v' = v + V,

где V – скорость системы K относительно K'.

Хотя правило сложения скоростей представляется совершенно очевидным, однако, нужно иметь в виду, что оно основано на предположении об абсолютном течении времени. Именно, мы считаем, что интервал времени, за который частица смещается на величину ds в системе K, равен интервалу времени, за который частица смещается на соответствующую величину ds' в системе K'. Это предположение в действительности оказывается, строго говоря, неправильным, но следствия, вытекающие из неабсолютности времени, начинают проявляться только при очень больших скоростях, сравнимых со скоростью света. В частности, при таких скоро-

1 Здесь выбор систем отсчёта пока ограничен лишь такими системами отсчёта, которые не вращаются одна относительно другой.

11

стях уже не выполняется правило сложения скоростей. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь достаточно малые скорости, когда предположение об абсолютности времени хорошо оправдывается.

Задача 1.1. Материальная точка движется вдоль оси ОХ по закону υx =b x , где b – некоторая константа, а х – координата точки.

Найти зависимость от времени скорости υx = υx(t), координату точки х как функцию времени x = x(t), ускорение точки ах. Учесть, что в момент времени t = 0 частицанаходилосьвточкескоординатойx = 0.

Решение. Так как по определению υx = dx/dt, то, учитывая условие задачи, получим уравнение

Как видим, движение является равноускоренным с нулевой начальной скоростью.

Задача 1.2. Материальная точка движется вдоль прямой по закону: x(t) = b t (c – t/2), где b и с некоторые положительные константы, t – время движения, x(t) – координата тела в момент t. Найти: скорость тела как функцию времени υx = υx(t), среднюю скорость тела за первые t секунд движения, ускорение и путь, пройденный телом за первые t секунд.

Решение. Согласно определениям скорости, ускорения и средней скорости, находим скорость υx = dx/dt, дифференцируя x(t) по времени t:

υx (t) = b (c – t).

12

Повторное дифференцирование дает ускорение

ax = dυx/dt = –b.

Средняя скорость

υcp(t) = [x(t) – x(0)] /t = b (c – t/2).

Результаты вычислений показывают, что тело движется с постоянным ускорением. Знак минус означает, что направление ускорения противоположно направлению оси ОХ. При 0 < t < c , когда

υx > 0 , величина скорости уменьшается, а при t > c, когда υx < 0 ,

тело изменяет направление своего движения, и величина скорости растёт.

Найдем теперь путь s, пройденный телом за первые t секунд его движения. Здесь следует учесть, что путь s(t) и перемещение x(t) –

ds = |υ| dt. Интегрируя это равенство, получим: s = ∫ds =∫ vdt =∫ v dt .

В нашем случае υx (t) = b (c – t), поэтому для находим

|υx (t) | = b (c – t), если t < c,

|υx (t) | = b (t – с), если t > c.

Тогда при t < с получаем

Если же t > c, то

s(t) = ∫0t b(c −t ')dt ' =∫0сb(c −t ')dt '+ ∫сt b(t '−c)dt ' =

13

Посмотрим, что же мы получили. Как видим, путь и перемещение совпадают, пока t < c. Пусть t < c. Так как υх(t) = b (c – t), то при t < с тело движется вправо (υ(t) > 0). При t = с тело останавливается (υх(t) = 0) в точке с координатой х = bс2/2.

Для t > c картина сложнее: скорость отрицательна, т.е. направление движения изменяется на обратное, и тело движется влево. При t = 2с оно вновь окажется в начале координат, так как х(2с) = 2b с (с – 2с/2) = 0, а при t > 2с сместится левее начала координат, так как x(t) < 0, т.е. перемещение становится отрицатель-

ным. При этом путь s положителен:

s = bc2 – x(t).

Путь и перемещение совпадают лишь при t < с, т.е. при движении по прямой с неизменной по знаку скоростью.

Полученные результаты удобно проиллюстрировать графически. Построим графики зависимости υ(t), |υ(t)|, x(t), s(t) (см. рис. 1.5).

Рис. 1.5

14

При t < с график пути s(t) совпадает с графиком x(t), который в свою очередь представляется параболой, а при t > с график s(t) получается из графика x(t) отражением его относительно прямой АА’, которая параллельна оси ОХ и проходит через точку А с ординатой bс2/2 (Почему? Подумайте сами. А в качестве подсказки советую еще раз посмотреть на полученные выражения для s(t) и υ(t)).

Мы решили задачу при условии положительности констант b и с. Разберитесь самостоятельно с характером движения тела, если или b, или с, или обе эти величины отрицательны.

Задача 1.3. Камень брошен со скоростью υ0 под углом α к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: зависимость вектора скорости v от времени движения t, вектор r перемещения камня за время t, среднюю скорость vcp камня за первые t секунд полета, максимальную высоту подъема Н, дальность полета s и полное время полета Т, векторы тангенциального aτ и нормального an ускорения камня как функцию времени t, радиус кривизны траектории R как функцию t и уравнение траектории y = f (х).

Решение. В задачах подобного рода отсутствие сопротивления воздуха означает постоянство ускорения камня: a = g, где g – вектор ускорения свободного падения. Этот факт обусловлен тем обстоятельством, что в отсутствие сопротивления воздуха на камень действует единственная сила – сила тяжести mg (m – масса камня). В силу второго закона Ньютона:

ma = mg,

откуда a = g.

Для нахождения v(t) вспомним, что a = dv/dt. Поскольку a = g, то v – линейная функция времени:

v(t) = gt + v0, (1)

где v0 – некоторый постоянный вектор. Выясним смысл v0. Полагая t = 0, получим:

v (0) = v0,

то есть v0 – вектор начальной скорости камня.

Найдем радиус-вектор r(t). Вспоминаем, что v = dr/dt. В нашем

15

Интегрируя (2) по времени получим:

При t = 0 r(0) = r0. Если выбрать начало координат в точке бросания, то r(0) = 0. Таким образом, r0 = 0 и

Полученный результат показывает, что траектория камня – плоская кривая, лежащая всеми своими точками в вертикальной плоскости, образованной векторами g и v0.

Средняя скорость vcp(t) камня за первые t секунд полета по определению равна:

Как видим vср(t) ≠ v (t). Результаты (1)–(5) иллюстрируются рис.

1.6.

Для нахождения максимальной высоты подъема Н заметим, что в наивысшей точке траектории вертикальная компонента скорости υy равна нулю. Действительно, если бы это было не так, то тело поднималось бы или опускалось, но в любом случае оно не могло бы находиться в наивысшей точке траектории.

Y

16

Выберем систему координат с осью OY, направленной вертикально вверх и горизонтальной осью OX, ориентированной так, чтобы плоскость XOY содержала вектор начальной скорости v0. В этом случае согласно (2) компоненты скорости равны соответственно:

Подставляя сюда найденное значение t0, получим:

Для нахождения дальности полета s (расстояния между точкой падения и точкой бросания), заметим, что в точке падения y(t) = 0, откуда найдем время полёта Т:

T = 2gυ0 sin α,

а также дальность полёта

Заметим, что Т = 2t0, т.е. время подъема t0 на максимальную высоту равно половине времени полета камня Т и, тем самым, времени спуска. Отметим, что это справедливо только при игнорировании силы сопротивления воздуха.

Подумайте: что будет больше – время подъема или время спуска, если учесть силу сопротивления воздуха?

Заметим также, что высота и дальность полёта пропорциональны квадрату начальной скорости тела.

Найдём теперь компоненты ускорения aτ и an. Заметим, что сумма этих векторов равна ускорению свободного падения (рис. 1.7):

g = aτ + an.

17

Здесь мы воспользовались определением квадрата модуля вектора, как скалярного

произведения вектора самого на себя: |v|2 = (v, v). Дифференцируя обе стороны (8) по времени, получим

Отметим, что aτ, которое мы получили, это не модуль вектора |aτ|, а проекция вектора aτ на направление вектора скорости v. Так, если aτ > 0, то aτ и v направлены в одну сторону, если aτ < 0, тo – в противоположные.

Найдем теперь an. Для этого учтем, что aτ+ an = g (см. рис. 1.7). Так как aτ и аn взаимно перпендикулярны, то:

g2 = aτ2 + an2,

откуда получим

Для нахождения радиуса кривизны траектории воспользуемся связью между an, υ и R: an = υ2/R. Отсюда с учетом (8) и (10):

18

Проанализируем полученные результаты. Выражение (9) для aτ показывает, что aτ < 0 при t < υ0 sinα/g, т.е. на восходящей части траектории dυ /dt < 0. Это означает, что скорость камня уменьшается. При t > υ0 sinα/g ускорение aτ > 0, и скорость камня растет на нисходящей части траектории.

Из (11) нетрудно видеть, что радиус кривизны R сначала уменьшается (так как числитель в (11) равен υ3/2, а скорость вначале уменьшается), а затем при t > υ0 sinα/g растет. В частности, в точке бросания при t =0

υ2

Rα ,

ав наивысшей точке траектории при t = υ0 sinα/g:0g cos=

R = υ02 cos2 α .

g

Соотношения (7) представляют собой уравнение траектории в параметрическом виде (x = x(t), y = y(t)). Если выразить t через x(t) и подставить его во второе из уравнений (7), то получим уравнение траектории в явном виде:

Из (12) можно найти максимальную высоту подъема H и дальность полета s, найденные нами ранее из других соображений. Для нахождения s заметим, что у = 0 при x = s. Откуда с помощью (12) получим

Сокращая на s, получим знакомый результат:

s = υ02 sin 2α. g

Для нахождения Н = max у(х) продифференцируем (12) по х:

В точке максимума dy/dx = 0, откуда найдем х0, соответствующее максимуму у(х):

19

Задача 1.4. Зависимость координат частицы от времени имеет вид x = b cos ωt, y = b sin ωt (где b>0 и ω>0 – константы). Найти радиус-вектор r(t), скорость v(t), ускорение a(t), а также их модули, скалярные произведения и объяснить полученный результат. Найти также траекторию частицы и направление ее движения по траектории.

Решение. Согласно определению

r(t) = x ex + y ey = b cos ωt ex + b sin ωt ey

v = ddtr = dxdt ex + dydt ey = −bωsin ωt ex +bωcos ωt ey ,

a = ddtv = ddtυx ex + ddtυy ey = −bω2 cos ωt ex −bω2 sin ω ey = −ω2r.

Найдем модули векторов r, v и а:

Найдём теперь скалярные произведения (r, v) и (r, a):

(r, v) = x υx + y υy = b cos ωt (– b sin ωt) + b sin ωt b cos ωt = 0, (r, a) = – ω2 (r, r) = b2 ω2.

Как видим, векторы r и v взаимно перпендикулярны. Поскольку а = –ωr, то а и r направлены в противоположные

стороны, причем вектор ускорения а направлен к началу координат. Траекторию можно определить двумя способами.

Способ 1. Так как координата частицы z = 0 всё время и r = b = = const, то траектория лежит в плоскости XOY и представляет собой окружность радиуса b с центром в начале координат.

20

Задача 1.5. Колесо радиуса R катится без скольжения со скоростью υ. В начальный момент t = 0 координаты точки на ободе колеса х = 0 и y = 0. Найти закон движения этой точки, изобразить её траекторию и указать направления скорости и ускорения.

Решение. За время t после начала движения центр колеса сместится на расстояние Vt, а само колесо повернётся вокруг оси на некоторый угол ϕ. Точка колеса А, которая в начальный момент находилась в начале координат, повернётся вместе с колесом. Угол

конец которой закреплён в начале координат. Если колесо откатится вправо на расстояние s = = Vt, то с колеса смотается кусок ленты также длины s = Vt. С другой стороны, этот кусок ленты, будучи намотан на обод колеса, представляет собой дугу окружности, кон-

21

цы которой видны из центра колеса под углом ϕ = s/R. Этот результат и доказывает справедливость (1).

Координаты точки А, как следует из рис. 1.9, равны: x = R(ϕ – sin ϕ ), y = R(1 – cos ϕ), ϕ = Vt/R.

Кривая, задаваемая этими соотношениями, называется циклоидой. Она изображена на рис. 1.10.

Y

2R C

v R yА• an

Из найденного закона движения легко найти компоненты вектора v скорости точки A:

ϕi = VR ,

υx = xi = R ϕ−i ϕi cos ϕ = R(1−cos ϕ)ϕ=i V (1−cos ϕ),

ii

υy = y = R ϕsin ϕ =V sin ϕ.

Вте моменты времени, когда y = 0, т.е. точка А оказывается в нижнем положении (ϕ = 0, 2π, 4π, …), её скорость становится равной нулю. Что не удивительно, так как по условию проскальзывание отсутствует, отсутствие скольжения было "заложено" в соотношение (1) выше.

Подумайте сами, как изменится вид траектории, если колесо скользит. Здесь возможны два случая: скорость точки касания колеса с землёй направлена навстречу оси ОХ (так движутся ведущие колеса автомобиля при езде на скользкой дороге) или, наоборот,

22

скорость точки касания направлена вперёд, т.е. в направлении оси ОХ. Это случай экстренного торможения автомобиля, когда он скользит по дороге.

Что касается направления вектора v скорости точки А, то этот вектор направлен из точки А в точку С, находящуюся в данный момент на самом верху колеса. Действительно, проведём из точки B касания колеса с осью ОХ в точку А вектор r. Его проекции на оси ОХ и ОY составляют:

rx = x – Vt = – R sinϕ,

ry = y = R(1 – cosϕ).

Этот вектор r ортогонален вектору v скорости точки А, поскольку скалярное произведение этих векторов равно нулю:

(r,v) = rxυx + ry υy = – R sinϕ V (1 – cosϕ) + R (1 – cosϕ) V sinϕ = 0.

Вектор r – есть катет АВ прямоугольного треугольника АВС. Поскольку всякий прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, имеет гипотенузой диаметр этой окружности, то ВС – диаметр колеса. Но точка В есть самая нижняя точка колеса, следовательно, С – самая верхняя его точка.

Этот результат можно получить и без вычислений, если заметить, что скорость точки соприкосновения колеса с осью ОХ равна нулю, поскольку колесо не скользит. Но это означает, что колесо в данный момент времени вращается вокруг этой точки. Следовательно, вектор скорости точки А направлен перпендикулярно ради- ус-вектору r. Всё остальное вытекает из этого факта.

Продифференцировав компоненты скорости по времени, найдём компоненты ускорения:

a = a2 + a2 = V 2 .

x y R

Нетрудно понять, что ускорение точки в любой момент времени направлено к центру колеса. Проще всего это сделать, перейдя в систему отсчёта, которая равномерно движется вместе с осью колеса. В этой системе отсчёта точка А движется равномерно со скоро-

23

стью V по неподвижной окружности радиуса R. Тем самым, ускорение точки А есть центростремительное ускорение, направленное к центру колеса.

Вычисления очень просты. В этой системе отсчёта компонента скорости υy остаётся неизменной, а υx уменьшается на V:

υx' = υx −V = −V cos ϕ,

υy =V sin ϕ.

Дифференцируя по времени, найдём компоненты ускорения:

ax =V sin ϕϕi = V 2 sin ϕ,

R

ay =V cos ϕϕi = V 2 cos ϕ.

R

Сравнивая компоненты ускорения с проекциями радиусавектора R:

Rx = x – Rϕ = –R sin ϕ, Ry = y – R = –Rcos ϕ,

видим, что проекции этих векторов пропорциональны друг другу и отличаются знаками, т.е. вектор ускорения направлен навстречу вектору R (см. рис. 1.10).

Задача 1.6. Спортсмены бегут колонной длины L со скоростью υ. Навстречу колонне бежит тренер со скоростью u < υ. Каждый из спортсменов, поравнявшись с тренером, поворачивает назад и продолжает бежать с прежней скоростью υ. Какой будет длина колонны L' после того, как последний спортсмен поравняется с тренером?

Решение. Решать задачу проще всего в системе отсчёта, связанной с тренером. В этой системе спортсмены приближаются к тренеру со скоростью υ + u, а удаляются от него со скоростью υ – u. Тогда время t, за которое колонна пробежит мимо тренера равно:

t = L/(υ + u).

Но за это время голова колонны удалится от тренера на расстояние, равное новой длине колонны:

L ' = (υ−u) t = L υυ+−uu .

24

Задача 1.7. Как показывают астрономические наблюдения, в видимой нами части Вселенной звёзды удаляются от Солнца со скоростями, пропорциональными расстоянию до Солнца: v = ar. Как будет выглядеть движение звёзд, если рассматривать его, находясь на какой-либо другой звезде?

Решение. Пусть Солнце расположено в точке О. Пусть в качестве новой системы отсчёта выбрана звезда О′, положение которой относительно Солнца задаётся радиусом-вектором R. Пусть, кроме того, мы наблюдаем за движением некоторой звезды А, положение которой относительно Солнца задаётся радиусом-вектором r. Тогда положение этой же звезды относительно новой системы отсчёта задаётся радиусом-вектором r' = r – R (рис. 1.11). Тогда согласно условию задачи звезда А удаляется от Солнца со скоростью V=ar, а звезда О' – со скоростью U = ar'. Согласно правилу сложения скоростей:

V = V' + U.

Следовательно, скорость V' звезды А относительно звезды О′ равна:

V' = V – U = a (r – R) = a r'.

Полученный результат означает, что и в новой системе отсчёта звёзды удаляются друг от друга со скоростями, пропорциональными расстоянию между ними.

V'=ar'

U=aR

V=ar

А

r

r'

O R O’ U=aR

Рис. 1.11

25