Астахов Електричество конспект лекций 2011

симального линейного размера поперечного сеченияпроводника.

Модуль магнитной индукции в центре кругового тока:

тора B совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика (винта) при вращении его рукоятки (головки винта) в направлении кругового тока.

Магнитная индукция прямого бесконечного тока

Прямой бесконечный ток — ток в тонком прямолинейном бесконечном проводнике.

Модуль магнитной индукции

Направлена магнитная индук-

ция B по касательной к окружности радиуса R (рис.13.4), лежащей в плоскости, перпендикулярной проводнику.

Направление B, определяемое правилом правого буравчика, совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при поступательном движении буравчика в направлении прямого тока.

Для графического изображения магнитного поля используются линии магнитной индукции.

71

Линия магнитной индукции (магнитная силовая линия) — линия, касательная к которой в любой ее точке совпадает с направлением магнитной индукции в этой же точке магнитного поля.

Однородное магнитное поле — поле, магнитная индукция ко-

торого во всех его точках одинакова.

Поверхностная плотность (густота) линий магнитной индукции однородного магнитного поля

где N — число линий индукции, пересекающих перпендикулярную им плоскую поверхность, площадь которой равна Sп.

Поверхностная плотность (густота) линий магнитной индук-

ции

где N — число линий индукции, пересекающих перпендикулярную им малую плоскую поверхность, площадь которой равна Sп.

Свойства линий магнитной индукции: а) линии замкнуты (маг-

нитное поле поэтому называется вихревым), и либо уходят в бесконечность, либо приходят из бесконечности; б) линии нигде друг с другом не пересекаются.

Если линии индукции проводятся так, чтобы коэффициент пропорциональности между их поверхностной плотностью и модулем магнитной индукции был одинаковым для всех областей поля, то по густоте линий можно судить об отношении модулей магнитных индукций в разных точках магнитного поля.

Линии индукции прямолинейного бесконечного проводника с током представляют собой концентрические окружности с центрами на оси проводника, лежащие в плоскости, перпендикулярной проводнику (см. рис.13.4).

Циркуляция магнитной индукции СB — СФВ, равная пределу суммы скалярных произведений магнитной индукции на элемент замкнутого контура при бесконечном уменьшении элемента:

72

где Bi — магнитная индукция в i-м элементе контура (рис.13.5); li — i-й элемент контура (вектор, лежащий на контуре, длина которого li достаточно мала, чтобы Bi можно было считать постоян-

магнитной индукции по любому замкнутому контуру равна алгебраической сумме сил токов в проводниках, охваченных этим контуром, умноженной на магнитную постоянную μ0:

j=1

где I — сила тока в j-м проводнике, причем сила тока берется со знаком плюс, если направление тока связано с направлением элементов контура правилом правого буравчика: направление тока должно совпадать с направлением поступательного движения правого буравчика при вращении его рукоятки в направлении элементов контура (в противном случае сила тока берется со знаком минус); m — число проводников, охваченных данным контуром.

контуру с показанным направлением элемента контура (обход контура производится по часовой стрелке),

силы токов I1 и I3 надо брать со знаком минус, силу тока I2 — со знаком плюс.

Соленоид — однослойная цилиндрическая катушка с большим количеством витков из изолированной проволоки, образующих винтовую линию (рис.13.6).

73

Линейная плотность витков соленоида n — величина, равная отношению числа витков N к длине L части соленоида, на которой расположены эти витки:

Магнитная индукция внутри бесконечно длинного соленоида

где n — линейная плотность витков соленоида, I — сила тока в проводнике соленоида, μ0 — маг-

ноида модуль магнитной индукции приблизительно вдвое меньше, чем в центре соленоида.

§14. Силы Лоренца и Ампера

Сила Лоренца — сила, действующая на движущийся в магнитном поле заряд. Она зависит от величины и знака заряда, скорости заряда, магнитной индукции и их взаимной ориентации:

где B — магнитная индукция в точке нахождения точечного заряда q; v — скорость этого заряда (рис.14.1).

Модуль силы Лоренца

74

где α — угол между v и B, который может изменяться от нуля до π радиан (0 ≤ α ≤ π); vп = vsinα — модуль составляющей скорости, перпедикулярной В (см. рис.14.1).

Модуль силы Лоренца максимален, если векторы v и B перпендикулярны друг к другу (α = π/2), и равен нулю, если направления v и B одинаковы (α = 0) или противоположны (α = π).

Сила Лоренца перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы v и B, причем, если заряд положительный, то последова-

тельность v, B, FЛ образуют правовинтовую систему векторов (см. рис.14.1,а), если же заряд отрицательный, то последовательность v, B, FЛ образует левовинтовую систему векторов: поворот v к B, уменьшающий угол между ними, виден со стороны начала вектора FЛ происходящим против часовой стрелки (см. рис.14.1,б).

Если скорость v заряда q массой m, влетевшего в однородное магнитное поле, перпендикулярна магнитной индукции B, то заряд будет двигаться по окружности радиуса R (рис.14.2):

75

Период обращения заряда по окружности не зависит от скорости заряда:

Если скорость v заряда q не перпендикулярна линиям магнитной индукции однородного поля, то он движется по винтовой линии, осью которой является линия

Рис. 14.3

где vп = vsinα, α — угол между скоростью v заряда q и магнитной индукцией В (см. рис.14.3).

Шаг винтовой линии h зависит от модуля составляющей скорости заряда, коллинеарной магнитной индукции, vк:

где vк = vcosα; α — угол между скоростью v заряда q и магнитной индукцией В (см. рис.14.3).

Обобщеная сила Лоренца — сила, действующая на заряд, движущийся в электрическом и магнитном полях:

где E — напряженность электрического поля, B — магнитная индукция магнитного поля, v — скорость заряда q.

Используя равенство (14.7), можно определить соотношение между напряженностью электрического поля и магнитной индукцией, при которых заряженная частица будет двигаться с постоянной скоростью v:

76

где α — угол между l и B, который может изменяться от 0 до π радиан (0 ≤ α ≤ π); Вп = Вsinα — модуль составляющей магнитной

77

шающий угол между ними, виден со стороны начала вектора FА происходящим по часовой стрелке (см. рис.14.5).

Направление силы Ампера можно также определить, пользуясь правилом левой руки: если левую руку расположить таким образом, чтобы вытянутые четыре пальца показывали направление тока в элементе проводника, а составляющая магнитной индукции, перпендикулярная к направлению этого тока была направлена в ладонь, то отставленный на 90° большой палец показывает направление силы Ампера, действующей на данный элемент проводника с током.

Сила Ампера может быть использована для определения индукции магнитного поля.

Силы Ампера между параллельными проводниками с током

На рис.14.6 показаны два параллельных прямолинейных тонких бесконечных проводника с токами. Силы F1,2 и F2,1 действуют на элементы проводников с током l1 и l2, соответственно, модули которых одинаковы.

Модули сил Ампера, действующих на элементы единичной

длины каждого из двух прямолинейных тонких проводников

где I1, I2 — силы токов в первом и втором проводниках соответственно; R — расстояние между проводниками, причем R значительно больше поперечных размеров проводников.

78

Проводники с одинаковым направлением токов притягиваются друг к другу (рис.14.6,а), с противоположным — отталкиваются друг от друга (рис.14.6,б).

На основании взаимодействия параллельных прямолинейных тонких проводников с током устанавливается единица силы тока — ампер (А).

Один ампер — сила постоянного тока в каждом из двух бесконечно длинных прямолинейных проводников малой площади поперечного кругового сечения, расположенных в вакууме на расстоянии один метр друг от друга, при которой эти проводники взаимодействуют с силами, равными 2·10−7 Н на каждом участке проводников длиной один метр.

Через единицу силы тока устанавливается единица заряда: один кулон — заряд, прошедший за одну секунду через поперечное сечение проводника при силе постоянного тока, равной одному амперу: Кл = А с.

Контур (рамка) с током в магнитном поле

Магнитный (дипольный) момент плоского контура с током pм — ВФВ, определяемая выражением:

где B — магнитная индукция, pм — магнитный момент плоского контура с током.

79

Модуль момента зависит от положения контура с током по отношению к линиям магнитной индукции:

где α — угол между векторами pм и B (рис.14.8).

Модуль момента М максимален при α = π/2 (pм и B взаимно перпендикулярны) и равен нулю при одинаковых направлениях pм и B (устойчивое положение контура) или

противоположны. В общем случае на контур с током будет действовать результирующая сила и момент.

Контур с током может быть использован для определения индукции магнитного поля (14.13).

§15. Электромагнитная индукция

Поток магнитной индукции однородного магнитного поля через поверхность (магнитный поток) ФB — СФВ, определяемая равенством:

80