Астахов Електричество конспект лекций 2011

дикулярной оси диполя и проходящей через его центр (на оси Оу, см. рис.3.2) в точке, радиус-вектор которой rп:

(электрическая силовая линия) — линия, касательная к которой в любой ее точке совпадает с направлением напряженности в этой же точке поля.

Линии напряженности поля используются для графического изображения электрических полей.

Однородное поле — поле, напряжённость которого во всех точках поля одинакова.

Линии напряженности однородного поля — совокупность па-

раллельных прямых, густота которых вo всех областях поля одина-

Поверхностная плотность (густота) линий напряженности однородного поля nод — величина, равная отношению количества линий напряженности N, которые пересекают некоторую плоскую поверхность, перпендикулярную этим линиям, к площади этой поверхности Sп:

В случае неоднородного поля поверхность должна быть достаточна малой, чтобы можно было пренебречь изменением напряженности в пределах этой поверхности.

11

Поверхностная плотность (густота) линий напряженности

поля

где N — число линий напряженности, пересекающих перпендикулярную им малую плоскую поверхность площадью Sп.

Свойства линий напряженности: а) линии начинаются на по-

ложительных и заканчиваются на отрицательных зарядах, а также в точках, в которых напряженность поля равна нулю, и либо уходят в бесконечность, либо приходят из бесконечности; б) линии нигде друг с другом не пересекаются.

Если линии напряженности проводятся так, чтобы коэффициент пропорциональности между их поверхностной плотностью и модулем напряженности поля был одинаковым для всех областей поля, то по густоте линий можно судить об отношении модулей напряженностей в разных точках поля.

Центральное поле — поле, линии напряженности которого пересекаются в одной точке, называемой центром поля, а модуль напряженности зависит только от расстояния до этого центра.

Линии напряженности уединенного точечного заряда — пря-

мые, начинающиеся на положительном заряде и уходящие в бесконечность (рис.3.3,а), или приходящие из бесконечности и заканчи-

вающиеся на отрицательном заряде (рис.3.3,б).

Если густота линий напряженности поля точечного заряда численно равна модулю напряженности поля, то полное число ли-

12

ний N, пересекающих сферические поверхности любых радиусов, в центре которых находится точечный заряд q, остается постоянным и численно равным отношению модуля заряда к электрической постоянной:

Стационарное поле — поле, напряжённость которого не зависит от времени.

Поток напряженности электрического поля

Поток напряженности однородного поля через плоскую по-

верхность ФЕ — скалярная физическая величина (СФВ), определяемая равенством:

где Е — напряжённость однородного поля; nед — единичный вектор (рис.3.4), перпендикулярный плоской поверхности (единичная нормаль к поверхности); S — площадь этой поверхности; α — угол

между E и nед (0 ≤ α ≤ π).

Поток напряженности через поверхность может быть найден через произведение:

где Еn — проекция напряжённости поля на направление единичной нормалик поверхности:

Поток напряженности может быть больше нуля (ФЕ > 0), меньше (ФЕ < 0) или равен нулю (ФЕ = 0), в зависимости от угла α

между E и nед (0 ≤ α ≤ π).

Если густота линий напряжённости численно равна модулю напряжённости, то модуль потока напряженности численно равен количеству линий напряжённости N, пересекающих плоскую поверхность площадью S.

Для вычисления потока напряженности неоднородного поля выбранная поверхность разбивается на такие малые участки (эле-

13

ментарные участки), чтобы их можно было считать плоскими, а поле в их пределах — однородным, затем вычисленные потоки через эти участки поверхности складываются.

Поток напряжённости поля через поверхность ФЕ — СФВ,

определяемая выражением:

m

ФЕ = lim ∑(Ei ,nедi ) Si , (3.15)

Si →0 i=1

где Ei — напряжённость поля в любой точке i-го (элементарного) участка поверхности; nедi — единичный вектор, перпендикулярный поверхности i-го участка; Si — площадь поверхности i-го участка; m — число участков.

Теорема Гаусса

Поток напряженности электростатического поля через любую замкнутую поверхность ФЕ з.п прямо пропорционален сумме зарядов qi, охватываемых этой поверхностью:

где ε0 — электрическая постоянная, m — число зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью.

При определении потока напряженности через замкнутую поверхность берутся внешние единичные нормали к (элементарным) участкам поверхности.

Поверхностная плотность заряда σ — СФВ, равная пределу отношения заряда q части поверхности тела к площади этой поверхности S при ее бесконечном уменьшении:

Единица поверхностной плотности заряда — кулон на квад-

ратный метр: [σ] = Кл/м2.

Равномерно заряженная поверхность — заряженная поверх-

ность, заряды любых равных по площади частей которой одинаковы.

14

Поверхностная плотность заряда равномерно заряженной

Напряжённость поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Электростатическое поле равномерно заряженной бесконечной плоскости с каждой стороны от плоскости является однородным.

Напряжённость поля направлена перпендикулярно этой плоскости, а ее модуль во всех точках поля одинаков и не зависит от расстояния до плоскости.

Модуль напряженности поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

где σ — поверхностная плотность заряда плоскости.

Линии напряжённости поля равномерно заряженной бесконечной плоскости направлены от плоскости, если она заряжена положительно (рис.3.5,а), и к плоскости, если она заряжена отрица-

тельно (рис.3.5,б).

a)

Рис.3.5

График зависимости проекции напряженности поля Ex(х) (ось Ох перпендикулярна заряженной плоскости, начало отсчета находится на плоскости) положительно заряженной плоскости пред-

15

ставлен на рис.3.6,а, отрицательно заряженной — на рис. 3.6,б.

Напряженность поля равномерно заряженных бесконечных параллельных плоскостей

Напряженность поля двух (или нескольких) равномерно заряженных бесконечных параллельных плоскостей может быть определена по принципу суперпозиции полей (3.4).

Поле двух разноименно заряженных плоскостей

Поле между двумя параллельными бесконечными плоскостями, заряженными равномерно и разноименно с одинаковой по модулю поверхностной плотностью заряда, является однородным.

Напряжённость поля в этой области направлена перпендикулярно плоскостям: от положительной к отрицательной плоскости (на рис.3.7,а показаны линии напряженности), а ее модуль не зависит от расстояния до плоскостей:

где σ — поверхностная плотность заряда положительно заряженной плоскости, ε0 — электрическая постоянная.

Напряженность поля вне области между плоскостями равна нулю.

Поле двух одноименно заряженных плоскостей

Поле вне области между двумя параллельными бесконечными плоскостями, заряженными равномерно и одноименно с одинаковой поверхностной плотностью заряда, является однородным.

16

Линии напряжённости поля в этой области перпендикулярны плоскостям и направлены от положительно заряженных (рис.3.7,б) и к отрицательно заряженным (рис.3.7,в) плоскостям, а модуль напряженности поля не зависит от расстояния до плоскостей:

где |σ| — модуль поверхностной плотности заряда одной плоскости, ε0 — электрическая постоянная.

Напряженность поля в области между плоскостями равна ну-

лю.

Напряженность поля равномерно заряженной сферы (тонкой сферической оболочки)

Если центр заряженной сферы находится в начале координат xOy (рис.3.8,а), то напряженность поля:

а) при r < Rсф

где r — радиус-вектор точки, в которой определяется напряженность поля; Rсф — радиус сферы; Q — заряд сферы.

На рис.3.8,б представлен график зависимости модуля напряженности от расстояния до центра сферы: внутри области, охваты-

17

ваемой сферой, напряженность поля равна нулю, а вне этой области и на сфере напряжённость совпадает с напряжённостью поля точечного заряда Q, расположенного в центре сферы.

Вблизи сферической поверхности (r Rсф) модуль напряженности поля может быть выражен через поверхностную плотность заряда σ:

где σ = Q/4πRсф2 , Q — заряд сферы, Rсф — радиус сферы.

Объемная плотность заряда ρэл — СФВ, равная пределу от-

ношения заряда q части заряженного тела к объему этой части V при его бесконечном уменьшении:

Единица объемной плотности — кулон на кубический метр:

[ρэл] = Кл/м3.

Равномерно (по объему) заряженное тело — тело, заряды лю-

бых равных по объему частей которого одинаковы.

Объемная плотность заряда равномерно заряженного тела —

18

Напряженность поля равномерно заряженного шара

Если центр равномерно заряженного шара находится в начале координат хOy (рис.3.9,а), то напряженность поля:

а) при r < R ш

где R ш — радиус шара; Q — заряд шара; ρ эл — объемная плотность заряда; ε0 — электрическая постоянная; r — радиус-вектор точки, в которой определяется напряженность поля.

На рис.3.9,б представлен график зависимости модуля напряженности от расстояния до центра шара: внутри шара модуль на-

пряженности в некоторой точке прямо пропорционален расстоянию до этой точки, а на сферической поверхности и вне шара напряжённость совпадает с напряжённостью поля точечного заряда Q, расположенного в центре шара.

Линейная плотность заряда цилиндра λ — СФВ, равная пре-

делу отношения заряда q части цилиндра к длине этой части l при бесконечном ее уменьшении:

19

Единица линейной плотности — кулон на метр: [λ] = Кл/м. Линейная плотность заряда равномерно заряженного цилинд-

ра λ — СФВ, равная отношению заряда q любой части равномер-

Напряженность поля бесконечно длинного круглого цилиндра, равномерно заряженного по поверхности

Если ось круглого цилиндра находится на оси Oz (на рис.3.10,а ось Оz перпендикулярна плоскости листа), то напряженность поля:

а) при r < R ц

где r — радиус-вектор точки, в которой определяется напряженность поля (он перпендикулярен оси цилиндра, на которой находится его начало); Rц — радиус цилиндра; ε0 — электрическая постоянная; λ — линейная плотность заряда цилиндра.

На рис.3.10,б представлен график зависимости модуля напряжённости поля от расстояния r до оси цилиндра (в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра): внутри цилиндра напряженность поля равна нулю, а на поверхности цилиндра и вне его модуль напряженности поля обратно пропорционален расстоянию r.

20