Математика.Лабораторный практикум(часть1)

21

22

Пример выполнения работы 2

Вводим условие задачи и вычисляем предел

> Limit((2*x^3+x^2-1)/(4*x^3+5),x=infinity)=limit((2*x^3+x^2- 1)/(4*x^3 +5), x=infinity);

В случае правильного ввода на экране появляется отклик:

б) Вычислить lim xarctg(x) . x→0 1−cos8x

Вводим условие задачи и вычисляем предел

> Limit((x*arctan(x))/(1-cos(8*x)),x=0)=limit((x*arctan(x))/(1- cos(8*x)),x=0);

На экране появляется

23

2. a) Найти производную функции y = (x3 +1) ln x . Вводим условие задачи и находим производную функции

> Diff( (x^3+1)*log(x),x)=diff( (x^3+1)*log(x),x);

dxd ((x3 +1)ln(x))=3x2 ln(x) + x3x+1.

б) Найти вторую производную функции y = e5x2 −4 .

Вводим условие задачи и находим вторую производную функ-

ции

> Diff(exp(5*x^2-4),x$2)=diff(exp(5*x^2-4),x$2);

3. a) Найти ∫7xdx−8 .

> Int(1/(7*x-8),x)= int(1/(7*x-8),x);

∫7xdx−8 = 17 ln(7x −8) .

5

б) Вычислить∫2 7xdx−8 .

> Int(1/(7*x-8),x=2..5)= int(1/(7*x-8),x=2..5);

> m:=plot([-x,x^2],x=1..2,color=[red,red]):

Вводим вертикальные отрезки прямых x =1, x = 2 , которые служат границами области

>with(plots):

>k:=implicitplot(x=1,x=1..2,y=-1..1,color=red):

>k1:=implicitplot(x=2,x=1..2,y=-2..4,color=red):

Выводим на экран построенные графики

>display([m,k,k1]);

24

Вычислим объём тела вращения вокруг оси Ox по формуле

1

Vx = π∫(( x)2 − x2 )dx

0

> Vx:=Pi*int(x-x^2,x=0..1);

Vx := π6

Вычислим объём тела вращения вокруг оси Oy по формуле

1

Vy = 2π∫x(| x | −| x |)dx

0

> Vy:=2*Pi*int(x*(sqrt(x)-x),x=0..1);

Vy := 152π

Контрольные вопросы

1.Дайте определение функции.

2.Сформулируйте определение предела функции в точке и на бесконечности.

3.Какие функции называются бесконечно малыми и бесконечно большими?

4.Сформулируйте теорему о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.

5.Сформулируйте основные теоремы о пределах.

6.Какая функция называется непрерывной в точке?

7.Запишите 1-й, 2-й замечательные пределы и следствия из них.

8.Сформулируйте определение производной. Какой геометрический смысл производной?

9.Сформулируйте общие правила дифференцирования функции и напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

10.Что называется дифференциалом функции в точке?

11.Что называется производной функции второго порядка?

12.Сформулируйте определение первообразной функции. Что называется неопределённым интегралом?

13.Каковы основные свойства неопределённого интеграла?

14.Каковы основные методы интегрирования функции?

15.Сформулируйте понятие определённого интеграла на отрезке. Запишите формулу Ньютона – Лейбница.

16.Каковы основные свойства определённого интеграла и его геометрический смысл?

17.Каковы основные приложения определённого интеграла?

26

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЁ ГРАФИКА

Цель работы: научить студентов использовать возможности прикладных математических пакетов MAPLE при исследовании функций и построении их графиков.

Задание

Для данной функции найти область определения, проверить на чётность или нечётность, найти точки экстремума, интервалы монотонности. Исследовать функцию на направление выпуклости и точки перегиба. Найти асимптоты (вертикальные и наклонные) данной функции и построить её график.

27

Вариант 25

y = 3 (x2 −4x +3)2 .

Пример выполнения работы 3

y = 2ln x x−1 +1.

Выполним команду restart.

> restart:

28

Зададим функцию с именем f и переменной x .

> f:=x->2*ln((x-1)/x)+1;

Найдём область определения функции. Данная функция определена для всех действительных x , удовлетворяющих неравенству

x x−1 > 0 . Решая неравенство с помощью функции solve, получаем, что

областью определения функции f является объединение двух интервалов

(−∞,0) (1,∞) :

> solve((x-1)/x>0,x);

RealRange(-∞,Open(0)), RealRange(Open(1), ∞)

Найдём точки разрыва функции

>readlib(discont):discont(f(x),x);

{0, 1}

Точки x = 0 и x =1 являются точками разрыва функции. Исследуем граничные точки интервалов ООФ x = 0 и x =1 с

помощью односторонних пределов.

>limit(f(x),x=0,left);

∞

> limit(f(x),x=1,right);

−∞

Мы получили, что прямые x = 0 и x =1 являются односторонними вертикальными асимптотами графика исследуемой функции. Этот факт мы учтём при построении графика.

Проверку периодичности функции мы проводить не будем, так как среди элементарных функций периодическими являются только тригонометрические функции, а таковых исследуемая функция не содержит. Далее необходимо проверить функцию на чётность или нечётность.

>simplify(f(-x));

2ln x x+1 +1.

Результат показывает, что данная функция не является ни чётной, ни нечётной, так как не выполняется ни одно из условий: f (−x) = f (x) − для чётной функции или f (−x) = − f (x) − для нечётной. Функция f − общего вида.

Найдём экстремумы и точки экстремумов с помощью функции extrema. В MapleV для вызова этой функции необходимо предварительно выполнить команду readlib(extrema). Начиная с 7-й версии,

29

этого делать не нужно. Вызов функции осуществляется по правилу extrema(f(x),{},x,'s'); В переменной с именем s будут храниться координаты точек экстремумов. Чтобы их увидеть, нужно вызвать эту переменную.

> readlib(extrema):extrema(f(x),{},x,'s');s; s

Отклик показал, что функция экстремумов не имеет. Определим интервалы монотонности функции. Вычислим про-

изводную с помощью функции diff и упростим результат с помощью функции simplify.

>d:=simplify(diff(f(x),x));

>solve(d>0,x);

RealRange(-∞, Open(0)), RealRange(Open(1),∞)

Следовательно, на интервалах (−∞,0), (1,∞) функция возрастает. Найдём точки перегиба, если они есть, и направления выпуклости графика функции. Найдём вторую производную функции как

производную от её первой производной.

>d1:=simplify(diff(d,x));

d1:= −2 (2x −1) . x2 (x −1)2

Решим уравнение d1 = 0 с помощью функции solve.

>solve(d1=0,x);

12 .

Точка x = 12 не входит в ООФ, следовательно, график функции

не имеет точек перегиба. Решим неравенство d1 > 0 .

>solve(d1>0,x);

RealRange(-∞,Open(0)), RealRange(Open(0),Open(1/2)).

30