Математика.Лабораторный практикум(часть1)
.pdf
Вариант 6
2 |
x |
|
2 |
x3 |
4x−6 y |
|
1. а) ∫dx∫(3y2 −6xy)dy ; |
б) ∫dx ∫dy ∫(4zx2 +6x)dz . |
|||||
1 |
0 |
|
0 |
x |
0 |
|
2. а) ∫∫(18x2 y2 +32x3 y3 )dxdy; |
D : x =1, y = −x2 , y = 3 x (x ≥ 0). |
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
б) ∫∫∫(27 +54 y3 )dxdydz, D : y = x, y = 0, x =1, z = |
xy, z = 0. |
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
||
2 |
x |
|
3 |
x2 |
3x+5 y |
|
1. а) ∫dx∫(3y +6xy2 )dy ; |
|
б) ∫dx ∫dy ∫(4zx + 6xy)dz . |
||||
0 |
0 |
|
2 |
x |
0 |
|
2. а) ∫∫(18x2 y2 +32x3 y3 )dxdy; |
D : x =1, y = x3, y = − x. |
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
б) ∫∫∫ydxdydz, D : y =15x, y = 0, x =1, z = xy, z = 0. |
|
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
|
||
1 |
0 |
|
3 |
x 2 |
3x−5 y |
|
1. а) ∫dx ∫(3y +6x)dy ; |
б) ∫dx ∫dy ∫(4x −2xy)dz . |
|||||
0 |
−x |
|
2 |
x |
0 |
|
2. а) ∫∫(4xy +3x2 y2 )dxdy; |
D : x =1, y = x2 , y = − |
x. |
||||
D |
|
|
|
|
|
|
б) |
∫∫∫(3x2 + y2 )dxdydz, D : z =10 y, x + y =1, x = 0, y = 0, z = 0. |
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
||
|
3 |
0 |
3 |
x2 |
3x−5 y |
1. а) ∫dx ∫(3xy −6x2 )dy ; |
б) ∫dx ∫dy |
∫(3x + 2zy)dz . |
|||
|
0 |
−x |
2 |
x |
0 |
2. а) ∫∫(12xy +9x2 y2 )dxdy; |
D : x =1, y = −x2 , y = x. |
||||
|
D |
|
|
|
|
б) |
∫∫∫(15x +30z)dxdydz, D : z = x2 +3y2 , y = x, x =1, y = 0, z = 0. |
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 10 |
||
|
2 |
x |
3 |
x 2 |
2x+5 y |
1. а) ∫dx ∫(3x3 y + 2x2 )dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(5x −2zy)dz . |
||||
|
0 |
−x |
1 |
−x |
0 |
41
2. а) ∫∫(4xy +3x2 y2 )dxdy; D : x =1, y = x2 , y = − x.
|
D |
|
|
|
|
б) |
∫∫∫(4 +8z3 )dxdydz, D : z = |
xy, y = x, x =1, y = 0, z = 0. |
|||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 11 |
||
|
2 |
3x |
3 |
x |
5 y |
1. а) ∫dx ∫(2x2 y −3x)dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(5x + 2zy)dz . |
||||
|
−1 |
x |
2 |
−x |
0 |
2.а) ∫∫(12x2 y2 +16x3 y3 )dxdy; |
D : x =1, y = x2 , y = − x. |
||||
|
D |
|
|
|
|
б) |
∫∫∫x2 zdxdydz, D : z = xy, y = 3x, x = 2, y = 0, z = 0. |
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 12 |
||
|
4 |
3x |
0 |
3x |
5 y |
1. а) ∫dx ∫(2xy2 +6x)dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(5x2 + zy)dz . |
||||
|
−1 |
0 |
−2 |
−x |
0 |
2.а) ∫∫(24xy +18x2 y2 )dxdy; |
D : x =1, y = x3, y = −3 x. |
||||
D
б) ∫∫∫(1 + 2x3 )dxdydz, D : z = 
xy, y = 36x, x =1, y = 0, z = 0.
D
|
|
Вариант 13 |
||
2 |
3x |
4 |
0 |
5 y |
1. а) ∫dx ∫(2xy +6x2 )dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(3x + 2zy)dz . |
|||
−1 |
x |
2 |
−x |
0 |
2.а) ∫∫(12xy + 27x2 y2 )dxdy; |
D : x =1, y = x2 , y = −3 x. |
|||
D |
|
|
|
|
б) ∫∫∫21xzdxdydz, D : z = xy, y = x, x = 2, y = 0, z = 0. |
||||
D |
|
|
|
|
|
|
Вариант 14 |
||
0 |
2x |
3 |
0 |
2 y |
1. а) ∫dx ∫( y +3x2 )dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(3x + 2z)dz . |
|||
−1 |
x |
2 |
−x |
0 |
2.а) ∫∫(8xy +18x2 y2 )dxdy; |
D : x =1, y = −x2 , y = 3 x (x ≥ 0). |
|||
D
б) ∫∫∫(x2 +3y2 )dxdydz, D : z =10x, y =1− x, x = 0, y = 0, z = 0.
D
42
|
|
Вариант 15 |
||
3 |
2x |
3 |
0 |
5 y |
1. а) ∫dx ∫( y +3x2 y)dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(3x +5z)dz . |
|||
−1 |
−x |
0 |
−x |
0 |
2.а) ∫∫(xy −9x5 y5 )dxdy; |
D : x =1, y = −x2 , y = 3 x. |
|||
D |
|
|
|
|
б) ∫∫∫(60 y +90z)dxdydz, D : z = x2 + y2 , y = x, x =1, y = 0, z = 0.
D
|
|
Вариант 16 |
||
2 |
x |
3 |
2x |
5 y |
1. а) ∫dx ∫( y −4x2 y)dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(3x −6z)dz . |
|||
−1 |
−x |
1 |
−x |
0 |
2.а) ∫∫( |
54 xy +9x2 y2 )dxdy; |
D : x =1, y = −x3, y = x. |
||
D |
|
|
|
|
б) ∫∫∫(9 +18z)dxdydz, D : z = |
xy, y = 4x, x =1, y = 0, z = 0. |
|||
D |
|
|
|
|
|
|
Вариант 17 |
||
0 |
x |
3 |
0 |
2 y |
1. а) ∫dx ∫( yx −4x2 y)dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(3xy −6z)dz . |
|||
−1 |
−x |
1 |
−x |
0 |
2. а) ∫∫(24xy −48x3 y3 )dxdy; |
D : x =1, y = x2 , y = − x. |
|||
D |
|
|
|
|
б) ∫∫∫(9 +18z)dxdydz, D : z = |
xy, y = 4x, x =1, y = 0, z = 0. |
|||
D |
|
|
|
|
|
|
Вариант 18 |
||
5 |
6x |
3 |
7 x |
2 y |
1. а) ∫dx ∫( yx +6x2 y)dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(3xy −2z)dz . |
|||
−1 |
−x |
1 |
−x |
0 |
2. а) ∫∫(4xy +16x3 y3 )dxdy; |
D : x =1, y = −x3, y = 3 x. |
|||
D |
|
|
|
|
б) ∫∫∫3y2dxdydz, D : z = xy, y = 2x, x = 2, y = 0, z = 0.
D
43
Вариант 19
|
3 |
x |
5 |
7 x |
2 y |
1. а) |
∫dx ∫( yx −6xy2 )dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(3x + 2z)dz . |
|||
|
−1 |
−x |
1 |
−x |
0 |
2. а) |
∫∫(24xy +18x2 y2 )dxdy; |
D : x =1, y = x3, y = −3 x. |
|||
|
D |
|
|
|
|
б) ∫∫∫x2dxdydz, D : z =10(x +3y), y =1− x, x = 0, y = 0, z = 0.
D
|
|
Вариант 20 |
||
2 |
3x |
2 |
3x |
2 y |
1. а) ∫dx ∫( yx +3y2 )dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(3xy + 2z)dz . |
|||
−1 |
−x |
1 |
−x |
0 |
2. а) ∫∫(4xy +16x3 y3 )dxdy; |
D : x =1, y = −x3, y = 3 x. |
|||
D |
|
|
|
|
б) ∫∫∫(8y +12z)dxdydz, D : z = 3x2 + 2 y2 , y = x, x =1, y = 0, z = 0.
D
|
|
|
Вариант 21 |
||
|
0 |
2x |
4 |
5x |
5 y |
1. |
а) ∫dx ∫(2 yx +3y)dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(3x + 2zy)dz . |
|||
|
−1 |
−x |
1 |
−x |
0 |
2. |
а) ∫∫(12xy +9x2 y2 )dxdy; |
D : x =1, y = −x2 , y = x. |
|||
|
D |
|
|
|
|
б) ∫∫∫63(1 + 2
y )dxdydz, D : z = 
xy, y = x, x =1, y = 0, z = 0.
D
|
|
Вариант 22 |
||
4 |
2x |
2 |
5x |
5 y |
1. а) ∫dx ∫(2 y −3y2 )dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(3x2 + 2zy2 )dz . |
|||
−1 |
−x |
1 |
−x |
0 |
2. а) ∫∫(24xy +18x2 y2 )dxdy; |
D : x =1, y = x3, y = −3 x. |
|||
D |
|
|
|
|
б) ∫∫∫(x + y)dxdydz, D : z = 30x2 +60y2 , y = x, x =1, y = 0, z = 0.
D
44
Вариант 23
|
0 |
2x |
2 |
x |
8 y |
1. а) |
∫dx ∫(2 yx +3y2 )dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(3x2 y + 2zy2 )dz . |
|||
|
−1 |
−x |
1 |
−x |
0 |
2. а) |
∫∫(xy −9x5 y5 )dxdy; |
D : x =1, y = −x2 , y = 3 x. |
|||
|
D |
|
|
|
|
б) ∫∫∫y2dxdydz, D : z =10(3x + y), y =1− x, x = 0, y = 0, z = 0.
D
|
|
|
Вариант 24 |
||
|
0 |
2x |
2 |
x |
3y |
1. а) |
∫dx ∫(2x +6y2 )dy; |
б) ∫dx ∫dy ∫(5x2 y + 4zy2 )dz . |
|||
|
−1 |
−x |
1 |
−x |
0 |
2. а) |
∫∫(12x2 y2 +16x3 y3 )dxdy; |
D : x =1, y = x2 , y = − x. |
|||
D
б) ∫∫∫(x2 + 4 y2 )dxdydz, D : z = 20(2x + y), y =1− x, x = 0, y = 0, z = 0.
D
Вариант 25
2 |
3x |
|
|
3 |
x |
3 y |
1. а) ∫dx ∫(2x −6 y2 )dy; |
|
б) ∫dx ∫dy ∫(5x2 −6zy2 )dz . |
||||
−1 |
−x |
|
|
1 |
−x |
0 |
2. а) ∫∫(54 xy +9x2 y2 )dxdy; |
|
D : x =1, y = −x3, y = x. |
||||
D |
|
|
|
|
|
|
б) ∫∫∫x2 zdxdydz, D : z = xy, y = 3x, x = 2, y = 0, z = 0. |
||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
Пример выполнения работы 5 |
|||||
1. Вычислить повторные интегралы: |
||||||
2 |
x |
|
1 |
x2 |
x2 +2 y 2 |
|
а) ∫dx ∫(3xy2 +1)dy ; |
б) ∫dx ∫dy ∫(4z2 x −3y)dz . |
|||||
0 |
0 |
|
0 |
−x |
0 |
|
2. Вычислить кратные интегралы: |
|
|||||
а) ∫∫(2x − y)dxdy , где область G ограничена линиями |
||||||
G |
|
|
|
|
|
|
x =1, x = 2, y = − x, y = x2 ; |
|
|
|
|
||
б) ∫∫∫(3z −1)dxdydz , |
где область D ограничена поверхностями |
|||||
D
x = 0, x =1, y = x2 , y = x +1, z = 0, z = x + y .
45
1. а) Введём повторный интеграл из условия задачи и вычислим
его
>Int(Int(3*x*y^2+1,y=0..sqrt(x)),x=0..2)= int(int(3*x*y^2+1,y=0..sqrt(x)), x=0..2);
∫2 |
∫ |
x (3xy2 +1)dydx = |
76 |
2 |
0 |
0 |
|
21 |
|
б) Введём повторный интеграл и вычислим его
>Int(Int(Int(4*z^2*x-3*y,z=0..x^2+2*y^2),y=-x..x^2),x=0..1)= int(int(int(4*z^2*x-3*y,z=0..x^2+2*y^2),y=-x..x^2),x=0..1);
∫01 ∫−xx2 ∫0x2 +2 y2 (4z2 x −3y)dzdydx = 189353 .
2. а) Область интегрирования представляет собой множество G ={(x, y) |1 ≤ x ≤ 2, − 
x ≤ y ≤ x2}. Построим область G .
>m:=plot([-sqrt(x),x^2],x=1..2,color=[red,red]): >with(plots):
>k:=implicitplot(x=1,x=1..2,y=-1..1,color=red): >k1:=implicitplot(x=2,x=1..2,y=-sqrt(2)..4,color=red):
>display([m,k,k1]);
2 x 2
Вычислим двойной интеграл как повторный ∫dx ∫(2x − y)dy .
1 −
x
>Int(Int(2*x-y,y=-sqrt(x)..x^2),x=1..2)= int(int(2*x-y,y=- sqrt(x)..x^2),x=1..2);
46
2 |
x2 |
2 + 8720 . |
∫dx ∫(2x − y)dy =165 |
||
1 |
− x |
|
б) Область интегрирования можно задать системой неравенств: |
||
D ={(x, y, z) | 0 ≤ x ≤1, x2 |
≤ y ≤ x +1, 0 ≤ z ≤ x + y}. Построим проекцию об- |
|
ласти D на плоскость Oxy .
>m:=plot([x+1,x^2],x=0..1,color=[red,red]):
>k:=implicitplot(x=0,x=0..1,y=0..1,color=red): >k1:=implicitplot(x=1,x=0..1,y=1..2,color=red):
>display([m,k,k1]);
|
|
|
1 |
x+1 |
x+y |
Тогдатройнойинтегралсводитсякповторному ∫dx ∫ |
dy ∫(3z −1)dz . |
||||
|
|
|
0 |
x2 |
0 |
> Int(Int(Int(3*z-1,z=0..x+y),y=x^2..x+1),x=0..1)= int(int(int(3*z- |
|||||
1,z=0..x+y),y=x^2..x+1),x=0..1); |
|
|
|
||
1 |
x+1 |
x+y |
729280 . |
|
|
∫dx ∫ dy ∫(3z −1)dz = |
|
|
|||
0 |
x2 |
0 |
|
|
|
47
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте определение двойного интеграла.
2.В чём состоит геометрический смысл двойного интеграла?
3.Какими свойствами обладает двойной интеграл?
4.Сформулируйте теорему о сведении двойного интеграла к повторному.
5.Что представляет собой определитель Якоби? Как производится замена переменных в двойном интеграле?
6.Как производится вычисление двойного интеграла в полярных координатах?
7.Сформулируйте определение тройного интеграла.
8.В чём состоит геометрический смысл тройного интеграла?
9.Сформулируйте теорему о сведении тройного интеграла к повторному.
10.Как производится вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Говорухин, В. Компьютер в математическом исследовании Maple, MATLAB, LaTeX : учебный курс [Текст] / В. Говорухин, В. Цибулин. – СПб. : Питер, 2001. – 624 с.
2.Дьяконов, В. Maple 7: учебный курс [Текст] / В. Дьяконов. –
СПб. : Питер, 2002. – 672 с.
3.Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчёты [Текст] : учеб. пособие / Л.А. Кузнецов. – 4-е изд.,
стер. – СПб. : Лань, 2005. – 240 с.
4.Высшая математика для экономистов [Текст] : учебник для вузов / Н.Ш. Кремер [и др.] ; под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. –
М. : ЮНИТИ, 2007. – 479 с.
5.Ефимов, А.В. Сборник задач по математике для втузов [Текст] : учеб. пособие для втузов : в 4 ч. / А.В. Ефимов [и др.] ; под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – 4-е изд., перераб. и доп. –
М. : Физматлит, 2004. – Ч. 2. – 432 с.
6.Натансон, И.П. Краткий курс высшей математики [Текст] : учеб. пособие для вузов / И.П. Натансон. – 9-е изд., стер. – СПб. :
Лань, 2007. – 736 с.
7.Шипачев, В.С. Высшая математика [Текст] / В.С. Шипачев. – М. :
Высш. шк., 2008.
8.Шипачев, В.С. Математический анализ [Текст] : учеб. пособие для вузов / В.С. Шипачев. – М. : Высш. шк., 2002. – 176 с.
48
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗАПИСЬ НЕКОТОРЫХ (ЭЛЕМЕНТАРНЫХ) ФУНКЦИЙ В MAPLE
Математическая |
Maple-запись |
||||
запись |
|||||
|
|||||
ex |
exp(x) |
||||
ln x |
ln(x) илиlog(x) |
||||
lg x |
log10(x) |
||||
loga x |
log[a](x) |
||||
|
x |
sqrt(x) |
|||
|
x |
|
|
abs(x) |
|
|
|
||||
|
|
||||
sgn x |
signum(x) |
||||
n! |
n! |
||||
sin x |
sin(x) |
||||
|
|
||||
cos x |
cos(x) |
||||
|
|
|
|
|
|
Математическая |
Maple-запись |
запись |
|
tgx |
tan(x) |
ctgx |
|
cot(x) |
|
arcsin x |
|
arcsin(x) |
|
arccos x |
|
arccos(x) |
|
arctgx |
|
arctan(x) |
|
arcctgx |
|
arccot(x) |
|
shx |
|
sinh(x) |
|
chx |
|
cosh(x) |
|
thx |
|
tanh(x) |
|
n x |
root(x,n) |
49
Учебное издание
МАТЕМАТИКА
Лабораторный практикум
СОСТАВИТЕЛИ: МИХАЙЛОВ Андрей Борисович МИХАЙЛОВА Инна Дмитриевна СААКЯН Ольга Валентиновна МИХАЙЛОВ Константин Андреевич
Ответственный за выпуск Н.В. Ковбасюк
ИД № 06457 от 19.12.01 г. Издательство ЮРГУЭС. Подписано в печать 6.06.11 г.
Формат бумаги 60х90/16. Усл. п.л. 3,25. Тираж 130 экз. Заказ № 308.
ПЛД № 65-175 от 05.11.99 г.
Типография Издательства ЮРГУЭС. 346500, г. Шахты, Ростовская обл., ул. Шевченко, 147
50