Вероятностные оценки ошибок
•При измерениях физических величин (в тех случаях, когда основную роль играют случайные ошибки) все оценки точности измерения можно сделать только с некоторой вероятностью.
•Случайные ошибки образуются в результате совокупности ряда мелких неучитываемых причин, каждая из которых вносит незначительный вклад в общую ошибку.
•Следует считать, что часть из этих ошибок положительна, часть — отрицательна.
•Общая ошибка, которая образуется в результате сложения таких элементарных ошибок, может иметь различные значения.
•Каждому отдельному значению общей ошибки соответствует разная вероятность.
Пример
•Нужно взвесить 100 образцов.
•Весы, позволяют определить вес с погрешностью 0.05 г (например, вследствие того, что самая мелкая гиря, употребляемая при взвешивании, — 0.1 г).
•Предельная нагрузка, допускаемая весами, не позволяет класть на чашку более одного взвешиваемого образца.
Какую ошибку мы можем допустить при определении суммарного веса всех 100 предметов?
•Вероятность при всех 100 измерениях сделать ошибку одного и того же знака будет (0.5)99, или примерно 2 10-31.
•Такая вероятность с любой практической точки зрения равна нулю.
Вывод: невозможно сделать ошибку в общем весе в 5 г (0.05 100), ибо вероятность такой ошибки незначимо мало превышает нуль. Иначе говоря, действительная ошибка при таком способе взвешивания будет всегда меньше 5 г.
Чему она равна? – ваше итоговое задание
Нормальный закон распределения ошибок
1.Ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений.
2.При большом числе наблюдений ошибки одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто.
3.Частота появления ошибок уменьшается с увеличением величины ошибки. Иначе говоря, большие ошибки наблюдаются реже, чем малые.
• Если ошибки распределены по нормальному закону, то наиболее вероятным значением измеряемой величины
служит среднее арифметическое наблюденных значений: x x1 x2 ... xn
n
•Если по нормальному закону распределены не результаты измерений, а их логарифмы, то за наиболее вероятное значение логарифма измеряемой величины нужно принять среднее арифметическое из
логарифмов всех наблюденных значений, а наиболее вероятное значение измеряемой величины х будет уже не среднее арифметическое, а среднее геометрическое из наблюденных значений:
x n
x1x2 ... xn
Способы оценки величины случайной ошибки
•Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или средней квадратичной ошибки (ее часто называют сокращенно — стандартом измерений).
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x xi )2 |
|
|
|
|||
s |
1 |
|
|
|
|
|
||
n 1 |
||||||||
n |
|
n |
|
|||||
•Относительная величина средней квадратичной ошибки, выра- женная в процентах, носит название коэффициента вариации:
•Средняя арифметическая
ошибка вычисляется по формуле
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
x xi |
|
|
||
r |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
n |
|
||||
n |
|
|
|
|
n |
||
w x 100%
•При достаточно большом числе наблюдений (практически n>30) между s и r существуют простые соотношения:
s 1.25r или r 0.8s
•Для малых n отношение s/r существенно отличается от предельного, причем
s r
Обозначения и термины
•х – истинное (действительное) значение измеряемой величины;
х – погрешность измерения этой величины;
х – среднее арифметическое значение результатов измерения;
- вероятность того, что результат измерений отличается от х на величину меньшую, чем х
•Доверительная вероятность (коэффициент надежности): P( x xi x x)
• Доверительный интервал:
P(x x xi x x)
Как связаны между собой значения доверительной вероятности и
доверительного интервала?
Чем больший доверительный интервал мы задаем, тем вероятнее, что результаты измерений не выйдут за его пределы
Важное заключение
Для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать два числа, а именно величину самой ошибки (или доверительного интервала) и величину доверительной вероятности.
Указание одной только величины ошибки без указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла, так как при этом мы не знаем, сколь надежны наши данные.
Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата.