Mathcad_для_экономистов_Голдобина_2

éb1 ù êb ú

b = ê 2 ú − столбец свободных членов.

êê...úú ëbn û

Расширенная матрица системы содержит все коэффициенты системы, вклю-

Как известно, система линейных алгебраических уравнений имеет решение, если ее определитель отличен от 0: det(A) = A ¹ 0 . При этом ранг матрицы ко-

эффициентов при неизвестных системы равен рангу расширенной матрицы сис-

темы: rank(A) = rank(AR) .

Mathcad обладает широкими возможностями для решения систем линейных уравнений. В частности, решение можно осуществить с помощью блоков Given…find, Given…minerr. При этом начальное приближение неизвестным за- дается произвольно, а проверка не требуется. Вычислительные блоки в по- следних версиях Mathcad способны решать системы линейных уравнений, со- держащие до 400 неизвестных.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему линейных уравнений в матричном виде Ax = b. Умно- жим обе части данного матричного уравнения на обратную матрицу коэффици-

ентов при неизвестных системы A-1 слева: A−1 Ax = A−1b . Учитывая, что A−1 A = E , вектор-столбец решений системы можно искать в виде

x = A−1b .

Этот прием используется в Mathcad так:

1)задается матрица коэффициентов при неизвестных системы A;

2)задается столбец свободных членов b;

3)вводится формула для нахождения решения системы X := A−1b ;

4)выводится вектор решений системы X = .

Использование функции lsolve(A, b)

Пакет Mathcad имеет встроенную функцию lsolve(A, b),

возвращающую вектор-столбец решений системы линейных алгебраических уравнений. Аргументами функции lsolve являются матрица коэффициентов при

71

неизвестных системы и столбец свободных членов. Порядок решения аналоги- чен приведенному в предыдущем пункте.

Использование матричной функции rref(A)

Реализовать широко известный метод решения систем линейных алгебраи- ческих уравнений путем последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) позволяет встроенная функция rref(M), возвращающая ступенчатый вид матрицы M. Если в качестве аргумента взять расширенную матрицу AR систе- мы, то функции rref(AR) возвратит матрицу, на диагонали которой – единицы, а последний столбец представляет собой столбец решений системы.

Аналитическое решение уравнений и систем уравнений

Используя пакет Mathcad для символьного, или аналитического (т. е. пред- ставленного в виде формул или полученного путем аналитических преобразо- ваний) решения уравнений, систем уравнений и неравенств, следует помнить,

что не каждое выражение разрешимо относительно выбранной переменной в аналитическом виде.

Символьный процессор возвращает результат решения в виде выражения (численного или символьного), которое вполне можно использовать в дальней- ших вычислениях. Если решений имеется несколько, то возвращается содержа- щий их массив (например, вектор-столбец).

Использование стандартных функций

Для аналитического решения уравнений, систем уравнений и неравенств применимы те же функции и блоки, что и при численном решении. А именно, функция root(f(x1, x2, ...), xi, [a, b]) – для решения уравнений, правая часть кото- рых равна 0; вычислительные блоки Given…find и Given…minerr – для решения уравнений, неравенств и систем. При этом начальное приближение переменным не задается, а для вывода результата используется оператор символьного выво-

да (Evaluate Symbolically) «→» (комбинация клавиш Ctrl + .).

Пример 4.2. Решить уравнение x2 - 2 = 5bx +1 . ax

72

2-й способ. Записываем ключевое слово Given. Ниже набираем уравнение с использованием логического знака равенства, которое вводится сочетанием кла- виш Ctrl + =. Для получения результата вводим с клавиатуры или из списка Insert Function (Вставка функции) категории Solving (Решение) функцию find(x), набираем символьный знак вывода:

3-й способ. Уравнение решается аналогично предыдущему случаю, только вместо функции find(x) используется minerr(x).

ìax + 3y = 3;

Пример 4.3. Решить систему уравнений í ( )

î6x - b + p y = 1.

Решение.

1-й способ. Записываем слово Given. Ниже набираем все уравнения, входя- щие в систему, с использованием логического знака равенства. Записываем функцию find. Для вывода результата набираем символьный знак вывода →:

2-й способ решения аналогичен предыдущему, только вместо функции find используем minerr.

Применение команды Solve главного меню Symbolics и одноименной директивы палитры Symbolic

Для аналитического решения уравнений или неравенств в пакете Mathcad можно использовать последовательность команд главного меню. При этом ре- комендуется следующий порядок действий:

1 Вводится уравнение или неравенство с использованием логического знака

равенства или иных операций палитры математических инструментов Boolean

73

(Логические). Если уравнение приведено к виду f (x) = 0 , то можно задать его левую часть, и выражение будет приравнено к нулю автоматически.

2Искомая переменная выделяется синим управляющим курсором.

3Выполняется последовательность команд главного меню Symbolics / Variable / Solve (Символика / Переменная / Решение).

Пример 4.4. Решить уравнение x3 − 3x = 1 . Решение.

x3 − 3x 1

После упрощения результата (оператор «=») получим вектор решений, пред- ставленных в виде десятичных дробей.

Специальная директива solve (Решить) палитры математических инструмен- тов Symbolic (Символические или Ключевые слова) позволяет решать не только уравнения, но и системы уравнений и неравенств (рисунок 4.1).

Рисунок 4.1 − Директивы палитры Symbolic

Для того чтобы найти с его помощью корни уравнения, выполняется сле- дующая последовательность действий:

74

1 Вводится оператор solve (Решить) при помощи одноименной директивы палитры Symbolic:

solve , ®

2 В левом местозаполнителе задается уравнение с использованием логиче- ского равенства. Если уравнение приведено к стандартному виду f (x) = 0 , то

достаточно определить только его левую часть. Слева можно ввести имя встро- енной или ранее определенной функции пользователя. В этом случае будут найдены выражения, определяющие ее нули.

3 В правом местозаполнителе указывается переменная, относительно кото- рой должно быть решено уравнение.

Для того чтобы получить аналитическое решение системы уравнений с по- мощью директивы solve (Решить):

1)вводится директива solve (Решить) с палитры Symbolic;

2)создается вектор-столбец (например, сочетанием клавиш Ctrl + M), ко- личество строк в котором равно числу уравнений системы;

3)в каждое знакоместо вектора вводится одно уравнение системы с исполь- зованием логического равенства;

4)имена искомых переменных перечисляются через запятую в правом зна- коместе.

Примечание – Символьный процессор Mathcad способен аналогичным образом об- рабатывать самые простые неравенства, как правило, с числовыми коэффициентами.

75