Mathcad_для_экономистов_Голдобина_2

∙ Symbolically [Shift+F9] (Символически) − обработка математических вы- ражений, содержащих встроенные в систему функции, выполнение всевозмож-

ных численных вычислений и представление выражения в наиболее простом виде.

∙Floating Point... (С плавающей точкой) – выполнить преобразование с ре- зультатом в форме числа с плавающей точкой (запятой). При выборе данной команды появляется окно, в котором можно задать количество цифр результата от 1 до 4000;

∙Complex (В комплексном виде) − выполнить преобразование с представ- лением результата в комплексном виде;

Simplify (Упростить) − упростить выделенное выражение с выполнением та- ких операций, как сокращение дробей, приведение подобных слагаемых, приве- дение к общему знаменателю, использование основных алгебраических и три- гонометрических тождеств;

Expand (Разложить по степеням, развернуть) − раскрыть скобки, предста- вить выражение в развернутом виде;

Factor (Разложить на множители) − разложить число или выражение на про- стые множители;

Collect (Разложить по подвыражениям) − собрать слагаемые, подобные вы- деленному выражению или переменной (приведение подобных слагаемых);

Polynomial Coefficients (Полиномиальные коэффициенты) − найти вектор коэффициентов полинома от заданной переменной. Перед выполнением опера- ции следует выделить переменную синим управляющим курсором.

Операции с выделенными переменными

К числу операций с выделенными переменными следует отнести содержа- щиеся в пункте подменю Variable (Переменная):

∙Solve − решить уравнение или неравенство относительно выделенной пе- ременной;

∙Substitute − заменить выделенную переменную содержимым буфера об- мена;

∙Differentiate − дифференцировать выражение по выделенной переменной (остальные переменные рассматриваются как константы);

∙Integrate − интегрировать выражение, содержащее выделенную перемен- ную, по этой переменной;

∙Expand to Series... (Разложить в ряд) − найти несколько (по умолчанию задано n = 6) членов разложения выражения в ряд Тейлора относительно выде-

ленной переменной;

∙ Convert to Partial Fraction (Разложить на элементарные дроби) − разло- жить на элементарные дроби выражение, которое рассматривается как рацио- нальная дробь относительно выделенной переменной.

91

Операции с выделенными матрицами

Операции с выделенными матрицами представлены в подменю Matrix (Мат- ричные операции):

∙Transpose (Транспонировать) − получить транспонированную матрицу;

∙Invert (Обратить) − создать обратную матрицу;

∙Determinant (Определитель) − вычислить детерминант (определитель) матрицы.

Операции данной группы выполняются над матрицами, а не над их иден- тификаторами!

Операции преобразования

В главном меню Symbolics (Символика) содержится раздел операций преоб- разования Transform со следующими возможностями:

∙Fourier Transform (Преобразование Фурье) − выполнить прямое преобра- зование Фурье относительно выделенной переменной;

∙Inverse Fourier Transform (Обратное преобразование Фурье) − выполнить обратное преобразование Фурье относительно выделенной переменной;

∙Laplace Transform (Преобразование Лапласа) − выполнить прямое преоб- разование Лапласа относительно выделенной переменной (результат − функция от переменной s);

∙Inverse Laplace Transform (Обратное преобразование Лапласа) − выпол-

нить обратное преобразование Лапласа относительно выделенной переменной (результат − функция от переменной t);

∙Z Transform (Z-преобразование) − выполнить прямое Z-преобразование относительно выделенной переменной (результат − функция от переменной z);

∙Inverse Z Transform (Обратное Z-преобразование) − выполнить обратное Z-преобразование относительно выделенной переменной (результат − функция от переменной n).

Обзор директив палитры Symbolic

Палитра математических инструментов Symbolic (Символические или Клю- чевые слова) (рисунок 5.2), в основном дублирует по смыслу команды главного меню Symbolic (Символика). Существенно отличается только способ примене- ния директив: ключевые слова отображаются на экране, а операнды вводятся в

соответствующие местозаполнители:

sin(x)2 + cos (x)2 simplify → 1 .

92

Вычисление производных, интегралов, сумм, произведений и пределов

Ряд возможностей для проведения символьных преобразований предостав- ляют операторы палитры Calculus (Исчисление) – операторы знаков математи- ческого анализа, некоторые из которых дают возможность выполнения числен- ных расчетов (рисунок 5.3).

Рисунок 5.3 − Палитра операторов высшей математики

Технология работы с операторами палитры Calculus проста:

∙вставляется шаблон требуемого оператора с палитры или комбинацией клавиш быстрого доступа (таблица 5.1);

∙шаблон заполняется согласно общепринятым математическим правилам;

∙выражение вычисляется в символьном (оператор «→») или численном (оператор «=») виде.

Таблица 5.1 − Операторы палитры Calculus

94

Окончание таблицы 5.1

Производные, суммы, произведения и интегралы находят широкое примене- ние при решении экономических задач.

Пример 5.1. Годовая процентная ставка начисления сложных процентов за кредит установлена на уровне 6 % плюс надбавка величиной 0,6 % от суммы ссуды в первые два года и 0,8 % − в следующие два года. Определите величину множителя наращения к концу срока кредита.

Решение.

Величина множителя наращения при использовании схемы сложных про-

центов с переменной процентной ставкой вычисляется по формуле

Процентную ставку начисления сложных процентов и периоды времени представим в виде векторов:

k = 1

Пример 5.2. Определить суммарный выпуск продукции (Q), суммарные за- траты (C) и суммарную прибыль (PR) за несколько лет (T) по функции выпуска tn, зависящей от времени.

Решение.

Определим суммарный выпуск продукции:

Затраты линейно зависят от выпуска продукции. Суммарные затраты за не- сколько лет:

95

Пусть функция спроса равна P. Тогда суммарная прибыль при исходных

функциях выпуска и затрат

Задание операторов пользователя

В Mathcad существует возможность задавать не только функции, но и опе-

раторы пользователя.

Для ввода символа нового оператора можно обратиться в центр ресурсов

Mathcad из главного меню Help / Resource Center / QuickSheets and Reference Table / Extra Math Symbols (Помощь / Центр Ресурсов / Краткое руководство и справочный стол / Дополнительные математические символы), выбрать и ско- пировать в буфер обмена символ. Оператор пользователя задается как обыкно- венная функция:

x ∙ y x2 + y2 .

Далее его можно использовать как функцию и как оператор:

Применять новый оператор можно с помощью шаблона палитры математи- ческих знаков Evaluation, например, используя кнопку (Инфиксный опера-

тор). В результате нажатия появляется шаблон , в средний местозаполни- тель которого вводится символ оператора, а по краям − операнды. Можно зада- вать операторы для работы с одним или несколькими операндами. Например,

элементарный шаблон пересчета валют создается и используется следующим образом:

96

Порядок выполнения лабораторной работы

1Загрузить Mathcad. Сохранить документ с именем ФИОСтудента5.

2Ввести в поле документа данные о студенте и выполняемой работе.

3Установить удобный способ представления результатов символьных пре- образований и отображение комментариев, выбрав из главного меню Symbolics (Символика) команду Evaluation Style...

4Выполнить задание 1.

Задание 1. Используя команду Symbolics / Evaluate / Floating Point... (Сим-

волика / Вычислить / С плавающей точкой…), представить числа в указанном виде (таблица 5.2).

Таблица 5.2 − Символьные вычисления с плавающей точкой

5 Выполнить задание 2.

Задание 2. Используя команду Symbolics / Evaluate / Complex (Символи-

ка / Вычислить / В комплексном виде), представить числа в комплексной форме (таблица 5.3). Для второго и третьего выражения выполнить

Symbolics / Evaluate / Symbolically (Символика / Вычислить / Символически).

97

1)разложить на множители, используя команду Symbolics / Factor (Симво- лика / Разложить на множители);

2)заменить переменную x на выражение y + z в g(x), используя операцию

Symbolics / Variable / Substitute (Символика / Переменная / Заменить);

3)полученное в 2) выражение разложить по степеням (раскрыть скобки), используя операцию Symbolics / Expand (Символика / Развернуть);

4)используя команду Symbolics / Collect (Символика / Собрать), свернуть выражение, полученное в 3), по переменной z (привести подобные слагаемые);

5)решить полиномиальное уравнение g(x) = 0. Для этого необходимо за- дать полином g(x), установить курсор на переменную x и использовать команду Symbolics / Variable / Solve (Символика / Переменная / Решить).

98

Таблица 5.4 − Полином

Пример выполнения задания 3 x4 − 2x3 − 6x2 + 7x + 6

1) Зададим полином, выделим его синим управляющим курсором целиком и выберем из главного меню последовательно Symbolics / Factor (Символи- ка / Разложить на множители):

2) Напечатаем выражение замены y + z, выделим его синим управляющим курсором целиком и скопируем в буфер обмена комбинацией клавиш Ctrl + C. В полиноме g(x) установим управляющий курсор на переменную x и выполним последовательность команд Symbolics / Variable / Substitute (Символи- ка / Переменная / Заменить). В результате получим:

(y + z)4 − 2 (y + z)3 − 6 (y + z)2 + 7 y + 7 z + 6 .

3) Выделим полученное в 2) выражение синим управляющим курсором це- ликом и выполним Symbolics / Expand (Символика / Развернуть):

.

4) Установим управляющий курсор на переменную z и выполним приведе- ние подобных Symbolics / Collect (Символика / Собрать):

z4 + (−2 + 4y)z3 + (−6y − 6 + 6y2)z2 + (−6y2 − 12y + 4y3 + 7)z + y4 + 6 + 7y − 2y3 − 6y2 .

5) В полиноме g(x) установим управляющий курсор на переменную x и вы- полним последовательность команд Symbolics / Variable / Solve (Символи- ка / Переменная / Решить). Полученный результат упростим:

99