Mathcad_для_экономистов_Голдобина_2

Операторы для работы с векторами и матрицами

Работая с массивами, необходимо помнить о правилах матричного исчисле- ния. Например, попытки сложить матрицы разной размерности, умножить век- тор-столбец на матрицу слева или инвертировать неквадратную матрицу бес-

смысленны с математической точки зрения и ведут к появлению ошибок при реализации в Mathcad.

Для работы с векторами и матрицами система Mathcad имеет ряд специаль- ных операторов и функций, представленных в таблицах 3.1 и 3.2, где A – массив (вектор или матрица), V – вектор, М – матрица, z – скалярная величина.

Таблица 3.1 − Векторные и матричные операции

51

Окончание таблицы 3.1

Примечание − Начиная с версии Mathcad 12, для подсчета модуля вектора исполь-

зуется значок (Absolute Value) с палитры Calculator.

Поясним смысл оператора «векторизация» A . Он подразумевает одновре- менное проведение математических операций или вычисление значений ска- лярной функции для всех элементов массива. Например, извлечение квадратно- го корня из элементов матрицы A осуществляется так:

Далее, например, выражение cos(A) недопустимо, поскольку аргументом функции cos(x) может быть только скалярная величина, переменная или вектор.

Однако со знаком векторизации функция cos( A) возвращает матрицу, каждый

элемент которой есть косинус соответствующего значения исходной матрицы A. Оператор «векторизация» меняет смысл некоторых векторных и матричных

операций. Например, AB представляет собой матрицу, каждый элемент кото- рой – произведение элементов матриц A и B с одинаковыми индексами:

52

Функции для работы с векторами и матрицами

Векторные функции

Прежде всего, рассмотрим функции, в качестве аргументов которых могут выступать лишь векторы. Таких функций в системе Mathcad немного:

∙last(v) – возвращает индекс последнего элемента вектора v;

∙length(v) – возвращает длину вектора v.

К следующему разделу можно отнести

∙ diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали ко- торой формируются из элементов вектора v.

Функции для создания массивов

Из уже существующих массивов можно создавать новые.

∙augment(A, B, C,…) – объединяет в один массивы A, B, C и т. д., имеющие одинаковое число строк (слияние идет бок о бок);

∙stack(A, B, C,…) – объединяет массивы A, B, C и т. д., имеющие одинаковое число столбцов (слияние массивов идет сверху вниз);

∙submatrix(A, ir, jr, ic, jc) – возвращает часть массива A, состоящую из эле- ментов, содержащихся в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc.

Для создания матриц специального вида предназначены следующие функ- ции:

∙geninv(A) – возвращает левую обратную матрицу для A;

∙identity(n) – создает единичную квадратную матрицу размером n×n;

∙rref(A) – ступенчатый вид массива A.

Для поиска собственных значений и собственных векторов матриц можно использовать функции:

∙eigenvals(M) – возвращает вектор собственных значений матрицы M;

∙eigenvec(M, z) – возвращает нормированный собственный вектор матрицы M, соответствующий ее собственному значению z;

∙eigenvecs(M) – возвращает матрицу, столбцами которой являются собст- венные векторы матрицы M, соответствующие ее собственным значениям.

53

Функции, возвращающие значения элементов и специальные характеристики массивов

∙max(A, B, C,…) – возвращает максимальный по значению элемент;

∙min(A, B, C,…) – возвращает минимальный по значению элемент. Аргументами данных функций могут быть не только массивы, но и пере-

менные, числовые значения, строки.

∙IsArray(x) – возвращает значение 1, если x – матрица или вектор, иначе возвращает 0;

∙lookup(z, A, B) – функция ищет значение z в массиве A и возвращает эле- менты массива B, стоящие на тех же местах, что и z в массиве A (A и B имеют одинаковую размерность);

∙match(z, A) – возвращает индекс (индексы) нахождения элемента z в мас- сиве A;

∙cols(A) – возвращает число столбцов массива A;

∙rows(A) – возвращает число строк массива A;

∙norme(M) – евклидова норма матрицы M;

∙rank(A) – возвращает ранг массива A;

∙tr(M) – возвращает след (сумму диагональных элементов) квадратной мат- рицы М;

∙mean(A) –среднее арифметическое значение элементов массива A;

∙gmean(A) – возвращает среднее геометрическое значение элементов масси- ва A. При этом элементы массива должны быть положительны;

∙median(A) – возвращает медиану элементов массива A;

∙mode(A) – возвращает наиболее часто встречающееся значение элементов массива A.

Функции сортировки массивов

Система Mathcad имеет несколько встроенных функций для сортировки эле-

ментов массивов, каждую из которых можно вставить нажатием кнопки панели инструментов с последующим выбором из категории Sorting.

∙sort(v) – сортировка элементов вектора в порядке возрастания;

∙reverse(v) – перестановка элементов вектора в обратном порядке;

∙csort(M, n) – перестановка строк матрицы M таким образом, чтобы отсор- тированным оказался n-й столбец;

∙rsort(M, m) – перестановка столбцов матрицы M таким образом, чтобы от- сортированной оказалась m-я строка.

Функции для работы с файлами данных

Файл данных Mathcad – это текстовый файл, содержащий числовые данные. Встроенные функции для работы с файлами данных, перечисленные ниже, мож- но найти в категории File Access (Доступ к файлам).

54

∙ WRITEPRN(Имя_файла) – применяется для записи массива во внешний файл с указанным именем. Если файл с указанным именем уже существует, то старые данные теряются. Если указано неполное имя файла, например, WRITEPRN(data1), то новый файл создается в текущем каталоге (где находится рабочий файл Mathcad) и получает расширение .prn.

Структура файла будет подобна структуре массива. Ширина столбцов регу- лируется системной переменной PRNCOLWIDTH. Число значащих цифр, ис- пользуемых при записи файлов функцией WRITEPRN, устанавливается пере- менной PRNPRECISION. Значения этих встроенных переменных изменяются в окне, вызванном последовательностью команд главного меню Math / Options… / Built-In Variables (Математика / Параметры / Встроенные пере-

менные), в поле PRN File Settings.

Порядок применения функции WRITEPRN:

1)нажмите кнопку (Insert / Function) панели инструментов и выбери- те категорию File Access (Доступ к файлам) в появившемся окне вставки функ- ций;

2)выберите функцию WRITEPRN и нажмите OK;

3)в появившемся знакоместе наберите кавычки (Shift + “), внутри впишите имя создаваемого внешнего файла;

4)примените оператор присваивания (:=) и задайте имя числового массива, записываемого во внешний файл.

Запустите файловый менеджер Total Commander, убедитесь в существовании нового файла и просмотрите его в Блокноте (клавиша F4).

∙READPRN(Имя_файла) – считывает числовые данные из внешнего файла

вмассив, значения элементов которого однозначно связаны со значениями эле- ментов файла, имеющего четкую матричную структуру.

Порядок применения функции READPRN:

1) введите имя создаваемого массива и знак присваивания;

2)нажмите кнопку (Insert / Function) панели инструментов и выбери- те категорию File Access (Доступ к файлам) в появившемся окне;

3)выберите функцию READPRN и нажмите OK;

4)в появившемся знакоместе наберите кавычки (Shift + “), внутри впишите имя считываемого внешнего файла.

Созданный массив можно использовать в дальнейшей работе.

∙ APPENDPRN(Имя_файла) – дописывает данные в уже существующий файл данных снизу. Количество столбцов внешнего файла и дописываемого массива должно быть одинаковым.

Применяется аналогично функции WRITEPRN.

Благодаря введению данных файлового типа возможности системы Mathcad существенно расширяются. Она может использоваться в сложных программных комплексах.

55

Примеры применения матричной алгебры в экономике

Матричное исчисление находит широчайшее применение в экономических исследованиях прежде всего потому, что экономические данные представляют- ся в виде массивов. Например, для статистической обработки одномерной вы- борки экспериментальные данные представим в виде вектора:

Массивы применяются при корреляционно-регрессионном анализе данных, математическом моделировании, теории межотраслевого анализа экономиче- ских систем и т. д.

Например, при межотраслевом анализе структура системы в целом может быть представлена матрицей A технологических коэффициентов «затраты - выпуск» всех ее секторов. Предельно упрощая, введем в рассмотрение вектор U − общий выпуск продукции и K − конечный спрос в секторах. Уравнение меж-

отраслевого баланса в матричной форме имеет вид

U = AU + K ,

откуда путем матричных преобразований получаем решение

U = (E − A)−1 K .

Пусть составлена матрица технологических коэффициентов и вектор по- требности в конечном продукте:

56

Порядок выполнения лабораторной работы

1Загрузить Mathcad. Сохранить новый документ с именем ФИОСтудента3.

2Ввести в поле документа данные о студенте и выполняемой лабораторной работе.

3Определить системную переменную ORIGIN равной единице.

4Создать первым способом массивы: матрицы (имена A, B, D) размерно- стью 5×5 и векторы с1 и с2 размерностью 5×1 и 1×5 соответственно. Присвоить им произвольные значения. Вывести эти массивы в матричном и табличном виде, получить их таблицы вывода.

5Исследовать следующие свойства матриц на примере преобразования за- данных массивов:

5.1 Транспонированная матрица суммы двух матриц равна сумме транспо-

нированных матриц AT + B T = ( A + B )T .

5.2 Транспонированная матрица произведения двух матриц равна произве- дению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: AT × BT =

=(B × A)T .

5.3При умножении матрицы размером m × n на вектор последний должен являться столбцом из n элементов.

5.4При умножении вектора на матрицу размером m × n первый должен яв- ляться строкой из m элементов.

5.5При транспонировании квадратной матрицы определитель не меняется:

D = DT .

5.6 Произведение квадратной матрицы на соответствующую ей обратную дает единичную матрицу (элементы главной диагонали единичной матрицы

равны 1, а все остальные – 0): D × D−1 = E .

6Создать способом ввода отдельных элементов вектор g и матрицу H раз- мерностью 5×1 и 5×5 соответственно.

7Создать с помощью ранжированной переменной вектор k и матрицу L размерностью 5×1 и 5×5 соответственно путем непосредственного ввода значе- ний (пример 3.1).

8Создать с помощью ранжированной переменной (пример 3.2) вектор x и матрицу Y. Формулы для вычисления значений элементов см. в таблице 3.3, где i, j – ранжированные переменные. Вывести эти массивы.

9Создать матрицу Y1 размерностью 5×5, состоящую из случайных чисел, равномерно распределенных на интервале от минус 2 до 2.

10Создать матрицу Y2 с помощью функции matrix (пример 3.4). Формулу

f (i, j) для вычисления значений элементов см. в таблице 3.3.

57

Таблица 3.3 − Формулы для создания массивов с помощью

ранжированной переменной и функции matrix

11Записать в файл task1.prn вектор. Записать в файл task2.prn матрицу. Про- смотреть полученные файлы в Блокноте.

12Дописать в файл task2.prn произвольную матрицу. Просмотреть получен- ный файл в Блокноте.

58

13Ввести значения в матрицу (имя произвольное) из структурированного файла данных task2.prn, используя функцию чтения данных.

14Создать в Блокноте файл данных с именем task3.prn, размещенных струк- турировано в виде таблицы. Элементы можно отделять с помощью клавиши Tab. Ввести значения в матрицу (имя произвольное) из структурированного файла данных task3.prn, используя функцию чтения данных.

15Получить матрицу M по формуле M = AT B−1 .

16Подсчитать минимальный, максимальный элемент, сумму и произведение элементов матрицы M.

17Получить вектор-столбец v1 по значениям (mod(n, 5)+1)-го столбца и век- тор-столбец v2 по значениям (5 − mod(n, 5))-й строки матрицы M, где n − номер варианта. Подсчитать минимальный, максимальный элемент, сумму, длину, скалярное и векторное произведения элементов векторов v1 и v2.

18Получить массив из элементов матрицы M, стоящих на пересечениях 2-й, 3-й строк и 3-го, 4-го столбцов. Получить массив, объединив матрицы A, B, M по строкам. Получить массив, объединив матрицы A, M по столбцам.

19Далее продолжать работу по вариантам (таблица 3.4), используя функцию if, известные векторные и матричные операции и функции.

Таблица 3.4 − Применение векторных и матричных операций и функций

59

Продолжение таблицы 3.4

Элементы матрицы M, которые по модулю больше 10, заменить числом 10. Подсчитать произведение диагональных элементов матрицы M. Определить

4максимальные элементы в четных столбцах матрицы M и во второй строке. Отсортировать вторую строку M по убыванию. Подсчитать тангенс каждого элемента матрицы M. Получить матрицу M1 из первого и третьего столбцов матрицы M

Подсчитать среднее геометрическое положительных элементов матрицы M. Определить максимальные элементы в нечетных строках матрицы M. Третий столбец матрицы M отсортировать по возрастанию и создать на его основе

5диагональную матрицу M1. Нулевые элементы M1 заменить значением оп- ределителя M1. Найти синус каждого элемента полученного массива. Заме-

нить положительные элементы второго столбца полученного массива его определителем

Подсчитать сумму элементов матрицы M, стоящих ниже главной диагонали. Создать из элементов главной диагонали матрицы M вектор z и отсортиро-

6вать его по убыванию. Элементы третьего и четвертого столбцов матрицы M заменить модулем вектора z. Получить матрицу M1, объединив матрицу M и вектор, составленный из косинусов элементов вектора z

Заменить элементы второго столбца матрицы M их модулями. Удвоить мат- рицу M, добавив к ней справа такую же матрицу. Создать матрицу M1 раз-

7мерностью 5×5 из элементов удвоенной матрицы M, стоящих в строках с 1-й по 5-ю и в столбцах с 3-го по 7-й. Вычислить среднее арифметическое эле- ментов матрицы M1. Подсчитать максимальный элемент главной диагонали матрицы M1

Округлить дробные элементы матрицы M. Подсчитать максимальные эле- менты в каждом нечетном столбце матрицы M. Четвертую строку матрицы M

8отсортировать по возрастанию. Создать подматрицу M1 матрицы M, состоя- щую из ее нечетных столбцов. Получить матрицу извлечением кубического корня из элементов матрицы M1. Найти ранг матрицы M1 и заменить полу-

ченным значением элементы главной диагонали

Создать подматрицу M1 матрицы M, состоящую из элементов, стоящих в нечетных строках и столбцах M. Подсчитать сумму элементов полученного

9массива M1. Инвертировать его. Найти минимальный элемент полученной обратной матрицы и заменить им элементы главной диагонали матрицы M. Подсчитать котангенс каждого элемента матрицы M. Заменить отрицатель- ные элементы второй строки M единицей

Элементы матрицы M, которые по модулю меньше 3, заменить числом 3. Транспонировать полученный массив, в котором определить минимальный

10элемент в четвертой строке. Определить среднее геометрическое элементов полученного массива. Подсчитать косинус каждого элемента массива M и поместить в матрицу M1. Найти произведение элементов M1, стоящих ниже

главной диагонали

60