Часткова похідна

Добавил:

Justeeeek100500 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

Вища геодезія

Файл:

лекції.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2022

Размер:

2.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

		dV			2
						t.
		dB				t.
		dB			V
Часткова похідна
			dB				2 t
					3			cos A.
					3			cos A.
	B			ds			N

З врахуванням отриманих виразів та формули (4.28) остаточно отримаємо

d 2 B	t
		(3 2 cos2	A sin2 A).
ds2
	MN

Аналогічним чином можна отримати і вирази для похідних вищих порядків.

вирази для похідних широти до п’ятого порядку включно

d 3B

cos Asin2

A(1 3t2

9 2t2 ) .

3 2t2 3 4

cos3 A(3 2

15 4t2 )

sin

A(1 3t

)

d B

ds4

MN 3

Asin2

A(4 13

17 4 )

2cos2

6sin2 Acos2 At2 (2 3 2 15 4 )

3cos4 A 4 23 2 19 4 5 2t2 (3 7 2 ) ,

5				cos Asin	4	A(1 30t	2	45t	4	)
d B		1		cos Asin		A(1 30t		45t		)
d B		1									.
	5		5								.
ds	5	R	5
ds		R		2cos3 Asin2 A(4 30t2 30t4 )

Приведемо без виводу

(4.34)

Вирази для похідних шостого і вище порядків мають досить складний вид і мало перспектив на їх застосування в практичних обчисленнях.

Приведемо ще вирази для аналогічних похідних довготи та азимута

d 2 L

t sin A cos A sin2

ds2

N 2 cos B

d 3L

sin Acos2

A(1 3t2 2 ) t2 sin3

A .

ds3

N 3 cos B

sin Acos

A(2 3t

)

ds 4

4 cos B

2 3t 2 )

sin3 Acos A(1

cos

Asin A(2 15t

15t

) cos

Asin

d L

(4.35)

ds5

A(t 2 3t 4 )

R5 cosB (1 20t 2 30t 4 ) sin5

d 2 A

sin A cos A(1 2t 2

2 ).

ds2

d 3 A

sin Acos2 A(5 6t2 2 4 4 ) sin3

A(1 2t2 2 ) .

ds3

N 3

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

sin Acos3

A(5 6 2

3 4 4 6 28t 2 8t 2 2

d A

4t 2 4 24t 2 6

24t 4 ) cos Asin3

A ,

20t

2 2

2 4

24t

)

(1 2

12t

d 5 A

cos4

Asin A(61 300t 2 ) 2 cos2 Asin3

(4.36)

ds5

24t 4 )

(29 140t 2 120t 4 ) sin5 A(1 20t 2

У виразах для похідних п’ятого порядку (4.34), (4.35), (4.36) знехтувано стисненням еліпсоїда ( =0) та прийнято, що M=N=R, де R - середній радіус еліпсоїда (земної кулі; можна прийняти R=a).

Практичні розрахунки показують, що з врахуванням похідних до третього порядку можна розв’язувати пряму геодезичну задачу на відстані до 40 км з точністю 0.0002” в широті та довготі і 0.001” в азимуті, а з врахуванням наведених похідних до п’ятого порядку і до 100 км з такою ж точністю.

Обчислення за цими формулами при “ручних” рахунках були надзвичайно громідзкими, тому застосовувались певні раціональні прийоми, що дозволяли перетворювати формули для їх широкого практичного застосування. Вкажемо лише на два з них, що мали широке практичне використання при опрацюванні геодезичних мереж 1-го класу: метод допоміжної точки Шрейбера та метод середніх аргументів Гаусса.

В зв’язку з широким впровадженням комп’ютерної техніки на даний час можна вважати, що найбільш оптимальним шляхом розв’язування головних геодезичних задач є використання числових методів інтегрування диференційних рівнянь (4.27) і (4.28). Одним із найефективніших чисельних методів для вказаної задачі є метод Рунге-Кутта четвертого порядку. Детальніше про цей шлях буде розглянуто в п.4.6.4.

в) в просторі

Для розв’язування головних геодезичних задач в просторі використовують системи просторових декартових (X, Y, Z), геодезичних (B, L, H) та топоцентричних горизонтальних - декартових (x’, y’,z’) та полярних (A, z,D) координат і зв’язки між ними (див. розділи 1 і 2).

Пряма геодезична задача формулюється наступним чином. Задані геодезичні координати B1,L1,H1

початкової точки Q1 і топоцентричні полярні координати z12, A12, D точки Q2 відносно початкової точки Q1.

Необхідно визначити геодезичні координати B2,L2,H2 точки Q2.

Поставлену задачу розв’язують в такій послідовності:

а) за формулами зв’язку (2.32) обчислюють просторові декартові координати X1,Y1,Z1 точки Q1;

б) обчислюють елементи матриці перетворення координат A1 за формулою (2.37).

в) використовуючи формули (2.34), обчислюють топоцентричні декартові координати x2’,y2’,z2’;

г) за формулою (2.36) обчислюють декартові координати X2,Y2,Z2 точки Q2;

д) для переходу до геодезичних координат B2,L2,H2 точки Q2 використовують формули зв’язку (2.33).

Обернена геодезична задача . Задані геодезичні координати B,L,H двох точок Q1 та Q2. Необхідно знайти топоцентричні полярні координати z12, A12, D точки Q2 відносно початкової точки Q1.

Для розв’язування поставленої задачі можна застосувати таку схему:

а) від геодезичних координат B,L,H точок Q1 та Q2 за формулами (2.32) переходять до декартових

Xi,Yi,Zi (де і=1,2);

б) обчислюють елементи транспонованої матриці перетворення координат A2' за формулою

	sin B2 cos L2	- sin B2 sin L2	cos B2
A2 '	sin L2	cos L2	0	.
	cos B2 cosL2	cos B2 sin L2	sin B2

в) за формулою (2.38) обчислюють топоцентричні декартові координати xi’,yi’,zi’ (і=1,2) точки Q1

відносно точки Q2 і навпаки.

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

г) топоцентричні полярні координати z12, A12, D точки Q2 відносно початкової точки Q1 і z21, A21, D точки

Q1 відносно точки Q2 обчислюють за формулами (2.35).

Приведені вище схеми можна використовувати також і для розв’язування головної геодезичної задачі між точками на поверхні еліпсоїда. Для цього в цих формулах достатньо прийняти H1=H2=0. Розв’язком при цьому, наприклад, в оберненій геодезичній задачі будуть азимути прямого і оберненого нормальних перерізів та довжина хорди цих перерізів.

4.5. Диференційні формули

Диференційні формули встановлюють залежність між малими (диференційними) змінами координат початкової і кінцевої точок відповідної лінії (дуги великого кола на сфері, геодезичної лінії на еліпсоїді, хорди в просторі), її довжини та азимутів.

Застосування диференційних формул пов’язано, в основному, з розв’язуванням задач з переобчислення геодезичних координат на поверхні земного еліпсоїда чи геоцентричних прямокутних в просторі у випадках зміни вихідних координат, а також аналогічних задач у випадку зміни (уточнення) розмірів відлікового еліпсоїда. Особливо це може стосуватися задач, що виникають при поєднанні пунктів, координати яких віднесені до референцних та загальноземного еліпсоїдів та визначені різними методами (класичними і супутниковими, наприклад).

Диференційні формули дозволяють значно скоротити обчислювальну роботу, яка вимагається при подібному переобчислені вже врівноважених координат всіх опорних геодезичних пунктів. Це виявляється можливим тому, що повторне обчислення координат замінюється обчисленням незначних поправок до вже відомих координат пунктів. Такими формулами для обчислення поправок в координати та азимути напрямів і є

диференційні формули.

Крім вищеназваних, диференційні формули можна використовувати і в інших задачах. Так в п. 4.6. буде наведена схема розв’язування оберненої геодезичної задачі, одним із важливих етапів якої є застосування диференційних формул для довжини геодезичної лінії та азимута цієї лінії.

4.5.1. Диференційні формули для геодезичної лінії

Сім змінних B1, L1, B2, L2, s, A1, A2 геодезичної лінії зв’язані між собою складною залежністю, котра визначається формулами розв’язування головних геодезичних задач. З цих семи змінних чотири є незалежними; від них залежать решта три.

Зміну трьох залежних змінних представимо у вигляді повних диференціалів

dB1

dB2

dL1

L2 dL2 ,

A1	dL2 ,	(4.37)

L2

L2 dL2 .

Ці рівняння показують, як змінюється довжина геодезичної лінії та її азимути у випадку, якщо кінці цієї лінії отримують деякі малі зміщення, котрі виражені диференціалами координат. Рівняння (4.37) приймаються за вихідні співвідношення, з яких потім знаходять інші залежності між цими диференціалами.

Часткові похідні можна знайти, застосовуючи при цьому два підходи. Перший - менш строгийполягає в тому, що при виводі формул користуються геометричним представленням часткових диференціалів, що складають праві частини рівнянь (4.37), а другий - строгий - в тому, що часткові похідні знаходять диференціюванням за відповідними змінними рівнянь, що використовують для розв’язування головних геодезичних задач. В класичнихкурсах вищої геодезії ці підходи розглядаються детальніше. Ми обмежимося лише готовими формулами, які будемо класифікувати за впливами:

зміни широти B2 на величини s, A1, A2 при постійній величині довготи L2 та незмінному положенні початкової точки Q1

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач
ds M 2 cos A2 dB2 ,
mdA1 M 2	sin A2 dB2 ,			(4.38)
		s
mdA2 M 2	cos		sin A2 dB2 .

		R1

Тут m - приведена довжина геодезичної лінії. Для більшості випадків її можна обчислити за формулою:

s m R sin .

зміни довготи L2 на величини s, A1, A2 при постійній величині широти B2 та незмінному положенні початкової точки Q1

ds N2 cos B2 sin A2 dL2 ,

mdA1	N2 cos B2 cos A2 dL2 ,	(4.39)
mdA2	N1 cos B1 cos A2 dL2 .

Аналогічні вирази будуть і в тому випадку, коли кінцева точка Q2 залишається в незмінному положенні,

а зміщення отримала початкова точка Q1 . Різниця буде лише в тому, що у формулах (4.38) та (4.39)

поміняються місцями індекси 1 і 2. Повні диференційні формули запишуться в цьому випадку в наступному виді

ds M1 cosA1dB1

M2 cosA2dB2 N2 cosB2 sinA2(dL2

dL1),

cos

sinAdB

sinA dB

cosB cosA (dL dL),

(4.40)

cos

sinA dB

sinAdB

cosB cosA(dL dL).

зміни широти B1 на величини B2, L2, A2 при постійній величині довготи L1 , азимута A1

та довжини

геодезичної лінії s

cos A cos A

sin A sin A cos

dB ,

dL2

dL1

kdB1 ,

cosB2

msin B

k sin A

1 cos

cos

dB ,

(4.41)

cosB

k cos A1 sin A2

sin A1 cos A2 cos

зміни довжини геодезичної лінії s на величини B2, L2, A2

при постійній величині широти B1,

довготи L1 , азимута A1

dB2

cos A2

ds,

M 2

dL2

dL1

sin A2

ds,

(4.42)

2 cosB2

dA2

sin A2

sin B2 ds.

N 2 cosB2

зміни азимута A1 на величини B2, L2, A2 при постійній величині широти B1, довготи L1 та довжини геодезичної лінії s

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вища геодезія

#
28.06.2022240.33 Кб1mtg_theme 7.pdf
#
28.06.2022164.8 Кб1mtg_theme 8.pdf
#
28.06.2022206.31 Кб3mtg_theme 9.pdf
#
28.06.202223.3 Mб9Закатов Вища геодезія 1.pdf
#
28.06.20221.51 Mб5Лаби методичка.pdf
#
28.06.20222.93 Mб7лекції.pdf
#
28.06.20229.28 Mб15Савчук підручник.pdf
#
28.06.2022110.46 Кб6Тестові питання ОВГ_1-1.pdf
#
28.06.202289.77 Кб4Тестові питання ОВГ_2.pdf
#
28.06.2022158.89 Кб3Тестові питання ОВГ_3-2.pdf