- •РОЗДІЛ 2
- •ГЕОМЕТРІЯ ЗЕМНОГО ЕЛІПСОЇДА
- •Рис. 2.1. Основні параметри еліпса.
- •Таблиця 2.1. Параметри еліпсоїдів
- •Рис. 2.2. Геометричний зміст координатних ліній на поверхні еліпсоїда
- •Рис. 2.3. Геометричне трактування широт: геодезичної, приведеної та геоцентричної.
- •Рис. 2.9. Диференціали дуг меридіана та паралелі.
- •На основі (2.60) отримаємо
- •РОЗДІЛ 4
- •РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ ЗАДАЧ
- •Рис. 4.1. Великий геодезичний трикутник на поверхні еліпсоїда
- •Сферичний надлишок
- •Таблиця 4.1Допустимі вхідні дані для обчислення сферичного надлишку
- •Згідно теореми Лежандра, значення кутів плоского (лежандрового) трикутника буде
- •Позначивши
- •Пряма геодезична задача
- •Обернена геодезична задача.
- •Шляхом ділення рівнянь (4.19) на (4.18) дістанемо формулу для оберненого азимута
- •Для обчислення оберненого азимута необхідно розділити рівняння (4.13) на (4.15)
- •Часткові похідні для другої похідної будуть наступними
- •Часткова похідна
- •З врахуванням отриманих виразів та формули (4.28) остаточно отримаємо
- •Часткові похідні в цих залежностях можна знайти із рівнянь (2.32)
- •Для цього попередньо визначимо похідні двох функцій
- •Враховуючи, що
- •Після цього можна легко знайти часткові похідні, наприклад
- •Після підстановки похідних в попередні залежності, отримаємо
- •Рис.4.6. Геометричне трактування зміни геодезичних координат.
- •Вивід диференційних рівнянь Бесселя
- •Вираз (4.81) з врахуванням (4.77) буде дорівнювати
- •Інтегрування диференційних рівнянь Бесселя
- •З врахуванням (3.89) і (3.99) рівність (3.98) представимо в вигляді
- •Розв'язування прямої геодезичної задачі методом Рунге-Кутта 4-го порядку
- •Згідно формули (5.2) для масштабу m отримаємо
- •Із наведених співвідношень отримаємо диференційні рівняння
- •Остаточні значення коефіцієнтів рядів (5.20) мають наступний вигляд
- •Підставивши значення похідних у (5.22), отримаємо
- •Оскільки
- •Таблиця 5.1
- •Таблиця 5.2
- •Таблиця 5.3
- •Таблиця 5.4
- •Таблиця 5.5
- •Таблиця 5.6
- •Таблиця 5.7
- •Спосіб прямої інтерполяції
- •Спосіб інтерполювання з використанням гравіметричних даних
- •Висота виміряна
Тема 4. Розв'язування геодезичних задач
dB dp " 0.0006",
M
dp
dL " 0.0006 sec B. N cos B
Щоб не допускати накопичення похибок обчислень при послідовному розв'язуванні прямої геодезичної
задачі від пункта до пункта, обчислення широт і довгот виконують з точністю до 0.0001".
Слід відмітити, що вказана точність характерна для високоточних геодезичних мереж, що створювались
методом тріангуляції. В зв'язку з широким впровадженням сучасних супутникових методів визначення
положення пунктів, а також їх використання на відстані до тисяч і більше кілометрів, вимоги щодо точності
обчислень можуть бути різними. Відзначимо також і те, що при сучасній обчислювальній техніці мова не йде
про технічне досягнення потрібної точності, а про вибір методів та алгоритмів розв'язування геодезичних задач
взалежності від заданої точності.
4.4.Основні шляхи розв'язування геодезичних задач 4.4.1. Розв’язування сфероїдних трикутників
Класичний метод побудови геодезичної мережі на земній поверхні – метод тріангуляції – складається із геометричних фігур, основними з яких є трикутники, а їхніми вершинами – геодезичні пункти. Виміряні на цих пунктах кутові та лінійні величини виправляються різного роду поправками, що враховують інструментальні похибки, вплив атмосфери тощо, а також приводяться (проектуються) на поверхню вибраного для опрацювання геодезичних вимірювань земного еліпсоїда.
В результаті введення поправок у виміряні значення кутів та ліній, останні поступають на стадію математичного опрацювання з метою врівноваження і подальшого обчислення координат всіх геодезичних пунктів.
Врівноваженню підлягає геодезична мережа, що складається із трикутників на еліпсоїді, які називають ще сфероїдними трикутниками. Для отримання елементів сфероїдного трикутника, переважно довжин його сторін, необхідно його розв’язати, тобто за відомими його елементами знайти невідомі (невимірювані) елементи. При класичному методі побудови геодезичних мереж задача полягає в послідовному обчисленні довжин сторін трикутників тріангуляції, причому відомими є одна сторона та кути кожного трикутника.
На сучасному етапі кардинально змінилася техніка вимірювань. За допомогою GPS-технологій геодезична мережа будується як просторова побудова у вигляді своєрідного багатогранника, гранями якого є плоскі трикутники з виміряними прямолінійними відстаннями між їх вершинами. Врівноваження такої просторової побудови є складним, тому більш традиційний шлях перед врівноваженням полягає в тому, що виміряні відстані редукуються на поверхню вибраного еліпсоїда. При цьому можна знайти всі кути новоутворених сфероїдних трикутників і врівноважувати мережу як лінійно-кутову.
Отже, для встановлення геометричних зв’язків між трикутниками необхідно попередньо знайти величини всіх його елементів – кутів та сторін, тобто розв’язати. Враховуючи, що сторони в першокласних геодезичних мережах рідко перевищують 30 км, то трикутники тріангуляції вважаються малими сфероїдними трикутниками. Саме такі трикутники ми і будемо в подальшому розглядати.
Можливість розв’язування малих сфероїдних трикутників як сферичних була розглянута в
попередньому розділі (див. п.2.7.3). |
|
|||
Сферичний надлишок |
|
|||
Із |
сферичної тригонометрії відомо, що сферичний надлишок A B C 1800 |
сферичного |
||
трикутника |
ABC (рис.4.2) дорівнює площі цього трикутника, якщо радіус сфери, на якій він розташований, |
|||
R 1. При R 1 сферичний надлишок визначається формулою |
|
|||
|
|
P ABC |
. |
(4.1) |
|
|
|||
|
|
R2 |
|
Для практичних обчислень сферичного трикутника будь-якого розміру сферична тригонометрія надає формули різного виду. Серед них:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 4. Розв'язування геодезичних задач |
|
|
|||||||||
|
|
|
sin |
a |
|
sin |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin |
|
2R |
2R |
sin C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
sin |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sin |
|
2R |
2R |
sin B, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
b |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
sin |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sin |
|
2R |
2R |
sin A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.4.2. Сферичний трикутник |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В малих сфероїдних трикутниках |
s R |
і |
P R , |
тому тригонометричні функції малих аргументів |
||||||||||||||||||||
можна розкласти в ряди із збереженням тільки перших членів розкладів: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
a |
a2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
..., |
sin |
|
|
|
..., |
..., |
cos |
|
1 |
|
.... |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
8 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
В результаті отримаємо наступні формули:
|
ab |
|
a |
2 |
b |
2 |
3c |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
2R |
sin C 1 |
|
|
24 |
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ac |
|
a |
2 |
c |
2 |
3b |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2R |
sin B 1 |
|
|
24 |
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
bc |
|
b |
2 |
c |
2 |
3a |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2R |
sin A 1 |
|
|
24 |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Для типових довжин сторін тріангуляції формули (4.2) можна використовувати без членів в дужках
|
ab |
sin C |
ac |
sin B |
bc |
sin A. |
|
2R 2 |
2R2 |
2R 2 |
|||||
|
|
|
|
У випадку вимірювання всіх кутів ці формули можна перетворити так, щоб сферичний надлишок функцією лише однієї сторони
|
a 2 |
|
|
sin B sin C |
|
b2 |
|
|
sin Asin C |
|
c2 |
|
|
sin Asin B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
2R |
|
|
sin A |
2R |
|
|
sin B |
2R |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
sin C |
(4.2)
(4.3)
був
(4.4)
В першокласних геодезичних мережах сферичний надлишок обчислюється з точністю до 0.001". Для обчислення сферичного надлишку в кожному трикутнику, крім кутів, повинні бути відомі також
довжини сторін. Вияснимо, з якою точністю повинні бути відомі довжини сторін і кути, щоб обчислений за ними сферичний надлишок мав похибку не більше 0.001".
Для рівностороннього трикутника на основі формул (4.4) можемо записати
|
s2 |
|
sin . |
|
2R |
2 |
|||
|
|