Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Пряма геодезична задача

Нехай задані географічні координати 1, 1 деякої точки Q1 (рис. 4.4б), а також полярні координати і1 другої точки Q2. Вимагається за цими даними знайти географічні координати 2, 2 точки Q2 і азимут 2 з

другої точки на першу. Таким чином, пряма геодезична задача полягає в перетворенні полярних координат в географічні (сферичні).

Обернена геодезична задача.

Нехай задані географічні координати 1, 1 і 2, 2 двох точок Q1 і Q2 (рис. 4.4б). Необхідно знайти найкоротшу відстань (довжину дуги великого кола) між даними точками та азимути 1 і 2 з однієї точки на другу. Отже, обернена геодезична задача зводиться до перетворення географічних (сферичних) координат в полярні.

Розв’язування прямої і оберненої геодезичних задач на сфері, як легко можна побачити, представляє собою розв'язування полярного сферичного трикутника Q1PQ2 (рис.3.4б). В даному випадку розв'язування цього трикутника зводиться до визначення за двома сторонами і кутом між ними третьої сторони та прилеглих до неї кутів. Для розв'язування можна використати замкнуті формули сферичної тригонометрії:

2 1 .

Шляхом ділення рівнянь (4.19) на (4.18) дістанемо формулу для оберненого азимута

2 2 ' 1800 .

Формули для розв’язування оберненої геодезичної задачі:

Для обчислення прямого азимута треба розділити рівняння (4.12) на (4.14)

Для обчислення оберненого азимута необхідно розділити рівняння (4.13) на (4.15)

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

sin cos 1

tg 2 ' . (4.25)

cos 1 sin 2 cos sin 1 cos 2

2 2 ' 1800 .

Формулу для sin отримаємо, якщо помножимо рівняння (4.12) на sin1, а рівняння (4.14) - на cos1 і

додамо їх

sin cos 2 sin sin 1 (cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 cos )cos 1

(4.26)

y sin 1 x cos 1.

Обчислення арксинуса можна замінити обчисленням арктангенса, використавши формулу зв’язку,

аналогічну (4.21).

Із трикутника Q1PQ2 (див. рис. 4.4.б) можна отримати і інші варіанти формул для розв’язування прямої та оберненої геодезичних задач на поверхні сфери.

б) на поверхні еліпсоїда

В практиці розв'язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда між точками 1 і 2

використовуються різноманітні лінії, що дають однозначне положення точки 2 по відношенню до точки 1. За такі лінії можна прийняти прямий нормальний переріз, геодезичну лінію, центральний переріз, хорду тощо.

Використання кожної з вказаних ліній вносить свої особливості в методи розв’язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда. Ми будемо розглядати тільки ті методи, які базуються на використанні геодезичної лінії і найбільш часто зустрічаються в практиці.

Раніше нами були отримані диференційні рівняння, що характеризують зміну широти і довготи при переміщені вздовж будь-якої кривої на поверхні еліпсоїда

ds N cosB

Ці три рівняння представляють собою систему звичайних диференційних рівнянь першого порядку, що пов’язують чотири змінних - B, L, A, s, з яких довжина геодезичної лінії s прийнята як незалежна змінна.

Проінтегрувавши їх по незалежній змінній s між точками Q1 і Q2,, отримаємо

Інтеграли (4.29) не виражаються в елементарних функціях, тому для їх наближеного розв'язування застосовують розклади в ряди або підінтегральних функцій або самих інтегралів з наступним почленним інтегруванням кожного ряду. При цьому для практичного застосування можливими є два варіанти їх розв'язування.

Оскільки розв'язування головних геодезичних задач на сфері виконується строго за формулами сферичної тригонометрії (див. п. 4.4.2.а), а форма земного еліпсоїда незначно відрізняється від сфери,

доцільним є наступний порядок розв'язування:

обчислення за заданими елементами на еліпсоїді відповідних елементів на сфері, тобто здійснити перехід з еліпсоїда на сферу;

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

розв'язування головних геодезичних задач на сфері;

обчислення за елементами на сфері відповідних елементів на еліпсоїді, тобто провести зворотній перехід зі сфери на еліпсоїд.

Перехід з еліпсоїда на сферу, котре ще називають геодезичним зображенням, базується на зображенні геодезичної лінії еліпсоїда на сфері у вигляді дуги великого кола, причому кожній точці геодезичної лінії відповідала б єдина точка дуги великого кола як її зображення. Така відповідність вважається встановленою,

якщо знайдені математичні залежності між елементами B, L, A, s в кожній точці геодезичної лінії на еліпсоїді та елементами , , , у відповідній точці дуги великого кола на сфері.

В загальному вигляді ці залежності можна записати системою наступних диференційних рівнянь:

аргумент радіусів кривини M і N еліпсоїда.

Проінтегрувавши диференційні рівняння (4.30) при певних умовах, можна отримати необхідні формули для взаємного переходу з еліпсоїда на сферу. Одним із найбільш відомих способів розв’язування головної геодезичної задачі вказаним вище шляхом є спосіб Бесселя.

Саме такий варіант є практичним втіленням так званого прямого шляху розв’язування головних геодезичних задач. Прямий шлях полягає в безпосередньому розв’язуванні сфероїдного трикутника Q1PQ2 (див.

рис.4.1) за відомими двома сторонами і кутом між ними, а саме:

в прямій геодезичній задачі відомі сторони Q1P = 900-B1; Q1Q2=s і кут A1, із розв'язування трикутника визначаються інші його елементи - різниця довгот l , котра служить для визначення геодезичної довготи L2, сторона Q2P = 900 - B2 і кут A2’ (A2 = 3600 - A2’);

в оберненій геодезичній задачі відомі сторони Q1P, Q2P та різниця довгот l ; із розв'язування трикутника визначається строна s , кут A1 і кут A2’, за яким обчислюють азимут A2 = 3600 - A2’.

Розв’язування таких значних за розмірами трикутників пов’язано з досить великими труднощами, адже при цьому немає кінцевих замкнутих формул, оскільки сторони сфероїдних трикутників, що представляють собою дуги меридіанів і паралелей та геодезичні лінії на поверхні еліпсоїда, виражаються еліптичними інтегралами.

Ось чому на практиці, при розв’язуванні сфероїдних трикутників, їх спочатку проектують на допоміжну сферу,

на котрій виконують розв'язування, після чого здійснюють обернений перехід на еліпсоїд.

У всіх способах прямого шляху розв’язування головних геодезичних задач сферична поверхня використовується як проміжна інстанція, причому вона може бути використана і при виводі формул, і в процесі практичних обчислень. Способи, що базуються на прямому шляху, придатні для розв’язування прямих та обернених геодезичних задач на поверхні земного еліпсоїда при будь-яких віддалях між двома точками і з будь-

якою практично необхідною точністю.

Побічний шлях полягає у визначенні приростів (різниць) широт, довгот і азимутів у функції заданих величин, після чого за знайденими приростами визначаються остаточні величини.

Так, наприклад, при розв’язуванні прямої геодезичної задачі попередньо визначаються різниці: