4.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение элементарных функций.

Пусть есть некоторый многочлен степени : (1). Последовательно продифф-ем:

…………………………………………………………..

Пусть во всех этих формулах , тогда

(1’). Можно было бы взять многочлен (1) не по степеням , а по степеням , где - фиксированное (частное) значение .

(2) Данная ф-ла является частным случаем ф-лы (1’ ) и наз. Ф-лой Тейлора.

Возьмём произвольную ф-ию , которая определена на . Пусть ф-ия в некотрой окрестности точки имеет конечные производные до -го порядка включительно. Составим формально многочлен: , .

Представляя многочлен в виде (2), получим: , , …, . Т.о. мы получили, что построенный формальный многочлен и его производные в точке совпадают со значениями ф-ии и её производными. Если -есть многочлен степени , то . Если же не есть многочлен или является многочленом степени выше , то подобное рав-во не имеет смысла. В этом случае многочлен лишь приближённо представляет ф-ию в точке . Разность . Тогда очевидно будет погрешностью допускаемой при замене на . Т.о. (3). Это тоже ф-ла Тейлора. Слагаемое обычно наз. Либо дополнительным, либо остаточным членом. Дополнительным к ф-ле (2) и остаточным к до .

.

Б.2 в. 5 Ряд Лорана. Классификация изолированных особых точек. Вычеты.

Рассмотрим ряд вида (1) где фиксированная точка комплексной плоскости, некот комплексное число, а суммирование ряда ведется как по полож так и по отриц значениям индекса n. Ряд (1) носит название ряда Лорана.

Теорема: ф-ия аналитическая в круговом кольце однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана.

Если диф-ма во всех точках некот области G а ее производная непрерывна в этой области то ф-ия наз аналитической в области G.

Точка наз изолированной особой точкой ф-ии если однозначная и аналитичная в круговом кольце а точка является особой точкой ф-ии .

Пусть ф-ия задана в области G, ограниченном контуром Г. Точка наз-ся правильной точкой ф-ии если существует сходящийся степенной ряд , кот в общей части области G и своего круга сходимости сходится к ф-ии , . Точки не являющиеся правильными точками ф-ии наз-ся особыми точками.

В основу квалификации изолированных особых точек однозн ф-ии положен способ ее разложения в окрестности таких точек.

1 тип. Разложение (1) не содержит отриц степеней . В этом случае точка a наз-ся устранимой особой точкой ф-ии т.е. ряд (1) обращается в обыкновенный степенной ряд и следовательно сходится всюду в окрестности точки a, включая точку a. Сумма этого ряда будет представлять собой ф-ию голоморфную в окрестности точки a. Данная ф-ия совпадает с суммой ряда если . Поэтому мы сделаем голоморфной в точке a, если положим . Таким образом особая точка этого типа исчезает, если мы надлежащим образом определим нашу ф-ию в этой точке. Сл, если точка a устранимая особая точка то т.е. в малой окрестности устранимой точки ф-ия ограничена.

2 тип. Разложение (1) содержит конечное число отриц степеней . В этом случае точка a наз-ся полюсом ф-ии . Если обозначить через m наиб из отриц степеней, входящих в разложение (1) то получим . Если m=1 то полюс наз простым, при m>1 полюс наз кратным, а m наз порядком полюса. В окрестности полюса ф-ия не ограничена.

3 тип. Разложение (1) содержит бесконечное множество отрицательных степеней . В этом случае точка a наз существенно особой точкой ф-ии .

Теорема (Сохотского): какую бы малую окрестность существенно особой точки мы ни взяли, ф-ия в ней не ограничена и принимает значения как угодно мало отличающиеся любого наперед заданного числа.

Мероморфной ф-ей называют всякую однозначную ф-ию, не имеющую в конечной части плоскости других особых точек кроме полюсов.

Ф-ия голоморфна если ее можно разложить в ряд Тейлора по степеням .

Вычет в конечной точке. Пусть аналит в кольце . Тогда точка a явл для ф-ии изолированной особой точкой а ф-ия представима в кольце сходящимся рядом Лорана . Вычетом ф-ии в точке a наз коэффициент ряда Лорана для в окрестности точки а. Обозначается где

Вычет в полюсе . Если а простой вычет то ряд Лорана в окрестности точки а имеет след вид:

. В частности где - голоморфные в точке а, причем

. Если a кратный полюс то .

Вычет бесконечно удаленной точки. Пусть голоморфна в области следовательно точка является изолированной особой точкой а ф-ия представима в этой области сходящимся рядом Лорана . Вычетом ф-ии в точке называется число где коэффициент ряда Лорана при

для ф-ии в окрестности бесконечно удаленной точки, т.е. т.е. ;

Теорема (основная теорема вычетов): пусть ф-ия голоморфна в каждой точке

Кроме конечного числа особых точек . Обозначим произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, содержащий внутри себя точки и целиком лежащий в области (D). При этих условиях равен сумме вычетов ф-ии относительно точек

№6. Опр1 Отображение g метрич-го простр-ва (X,ρ) наз-ся сжимающим,

если сущ-ет такое число 0<α<1,что ρ(g(x),g(y))≤ αρ(x,y).

Теорема1(принцип сжимающих отображений)

Всякое сжимающее отобр-е полного метрич-го простр-ва (X,ρ)в это же простр-во имеет и при том только одну неподв-ую точку хХ,т.е.такую точку хХ,что g(x)=x.

Опр2 2 отобр-ия g и g₁ метрич-го простр-ва(X,ρ) в это же простр-во коммутируют,если()

Теорема2 (обобщение принципа сжатых отобр-ий)

Пусть g и g₁ отобр-ие полного метрич-го простр-ва (X,ρ)в это же простр-во,

тогда если отобр-е g₁ сжимающ и отобр g и g₁ коммутируют,то ур-ие g(x)=x имеет решение хХ.

Док-во По теор1и при том только одна точка хХ. g₁(x)=x.Применим к обеим частям рав-ва отобр g,воспольз тем,что отобр-ия коммут-т,получим g(g₁(x))= g(x),где у=g(x).Учитывая,что отобр-е g₁ сжимающее и неподвижная точка у этого отображения одна,получим,что х=у=g(x),следовательно и у отобр-я g сущ-ет неподвижная точка,а именно найденная выше точка х=g(x).

Пример Рассмотрим задачу Коши. Треб-ся найти такую дифф-ую фун-ю y(t),кот-я удовл-ла бы уравнению y′=f(t,y) и при t=t₀ имела заданное значениe y(t₀)=y₀,где y₀ некоторое число. При этом надо док-ть,что при опред-ых условиях такое решение y(t)одно.

Док-во Предпол-м,что фун-ия f(t,y) непрерывна на множ-ве a≤t≤b, -<y< и удовл-ет условию Липшица по у: (<K где K=сonst.Пусть t₀-внутр.точка

Реш-е зад. Коши эквив. реш. инт. ур-я Т.о.задано отобр.

фун-ии множ-ва {y} по правилу Введем в рассмотр простр-во С[a,b],тогда отобр-е g определено на этом пр-ве и отбр-ет его в себя,а задача о нах-ии реш-я интнгр-го yр-я свод-ся к нах-ию неподв-ой точки отобр-я g,т.е. нах-ю такой фун-ии у/ g(у)=у.Для того,чтобы такая точка и была единств-й достат-но,чтобы отобр-е g было сжимающ-м.Поскольку из условия Липшица следует,что ,то Здесь ρ-метрика в С[a,b],следоват отобр-е сжимающее,если [a,b] достаточно мал, K(a-b)=θ<1.При этих усл-ях получаем теор сущ-ия и единств-ти реш-я задачи Коши на [a,b] сод-т точку t₀.

№7. Пусть X, Y мн-ва произв-й природы.DX

Опр.1 Если каждому эл-ту xD ставится определ.эл-т у из Y, то гов-т, что задан оператор y=F(x),при этом мн-во D наз. обл. опред-я оператора F и обозн.D(F).Мн-во R=R(F)=наз. обл. знач-й оператора F

Схематич. действие операт. F м. изобр. образом:Xчто кратко зап-т так:F:XY.Если y=F(x), xD(F),у R(F),то гов-т, что у явл-ся образом эл-та х,а х прообразом эл-та у.

Опр2 Два оператора F:XY и Ф:XY наз-ся равными,если совп-т их области определ-я D(F)= D(Ф)иF(x)=Ф(х).

Опр3 Опер-р y=F(x) наз-ся взаимооднозн,если каждому образу у R(F) соотв-ет единственный прообраз х=F^-1(y).

Если F взаимноодн-но,то ф-ла х=F^-1(y), у R(F) опред-т опер-р F^-1:YX,кот наз обратным к F.Область опред-я D(F^-1)= R(F),а R(F^-1)= D(F).

Пусть X, Y нормир-ые простр-ва. Пусть дан опер-р F:XYтакой,что его область опр D(F)S(x₀) точки х₀,за искл-м самой этой точки.

Опр4 Эл-т у₀У наз-ся пределом опер-ра F в точке х₀,если можно ук-ть δ_ε>0/и из выполн-я нер-ва ||x-x₀||< δ_ε след-ет выполнимость нер-ва ||F(x)-y₀||<ε,y₀=

Опр5 Пусть дан опер. F:XY,опер.Fназ.непрер.в (.)x₀,если F(x) F(x₀),

x x₀

Опр6 Пусть F(x) оператор с обл опр-я D(F) и значений R(F),где D(F)X, R(F) Y и пусть X и Y норми-ые пр-ва.Опер-р F наз-т огранич-м,если он переводит всякое огранич-е множ-во из D(F) в огранич-е множ-во Y.

Опр7 Опер-р A:XY c D(A) наз-ся линейным,если:а) D(A)линейное многообразие;б)D(A) А(λ₁х₁+λ₂х₂)= λ₁А х₁+λ₂ А х₂, λ₁ ,λ₂-любые скаляры.

Опр8 Опер-р А наз-ся непрер в точке х₀ Х,если АхАх₀при x x₀.

Теорема Пусть линейн опер-р А задан всюду в банаховом пр-ве Х со значениями в банах-м пр-ве У и непрер в точке 0Х,тогда опер А непрер-н в любой точке x₀ Х.

Док-во Док-во след-т из рав-ва и следоват-но при x x₀

Ах-Ах₀.Т.о.теорема док-на.

Опр9 Линейн опер-р А явл-ся непрер,если он непрер-н в точке х=0.

Опр10 Линейн опер А с D(A)=Х и R(A)X ограничен,если он огр-н на единичном шаре,т.е. если огр-но мн-во норм {||Ax||,||x||≤1}.Отсюда следует,что если опер А огр,то с=const>0 х удовл нер-во ||x||≤1 ||Ax||≤c.

Теорема Опер А огр-н тогда и только тогда,когда спр-ва оценка ||Ax||≤c||x||, где хХ,с=const определ из нер ||x||≤1 ||Ax||≤c.

Док-во При х=0 нерво||Ax||≤c||x|| очевидно.

Пусть х≠0. Положим х′=.||x′||=1,поэтому из нер-ва ||Ax||≤c||x||что тогда По св-ву линейности ,поэтому .Т.о.

Теорема Пусть - огр мн-во,тогда {||Ax||,x≤М}-огр-но.

Теорема Пусть A:XY,А-лин-й опер-р, X,Y Банаховы пр-ва, D(A)=Х. Для того,чтобы опер-р был непр-н необх-мо и дост-но,чтобы он был огран-ым.