1 Вычислить пределы
А)
Решение
Б)
Решение
В)
Решение
Б.3 В.2
Определить наибольшее и наименьшее
значения ф-ии
в области
.
Область задания ф-ии представляет собой
треугольник ограниченный координатными
осями и прямой
.
Найдем стационарные точки внутри области здания функции:
x
= -1 y
= - 1
Получили точку (-1;-1). Других стационарных точек нет. (-1;-1) принадлежит данной области, найдем значение функции в этой точке
Z(- 1, - 1)= -1.
Исследуем ф-ию на границе области. Поскольку граница состоит из трех участков, описанных тремя разными уравнениями исследуем ф-ию на каждом участке отдельно.
а) ОА, А(-3,0) . уравнение
связи y=0.
С учетом уравнения связи ф-ия представляется
в виде
, тогда
Стационарная точка: (-1/2,0). Значение функции в ней z(-1/2,0)=-1/4 -1/2=-1/4.
б) ОВ, В(0,-3)
Уравнение связи: х=0
С учетом его ф-ия
имеет вид
, тогда
y=-1/2
Стационарная точка (0,-1/2), значение ф-ии в ней z(0,-1/2)=1/4-1/2=-1/4
в) исследуем функцию
вдоль участка прямой
.
Подставляя
в выражение для ф-ии, получим
Тогда
следовательно
х=-3/2, y=-3/2.
Стационарная точка (-3/2,-3/2). Значение функции в ней z(-3/2,-3/2)=-3/4.
Вычислим значения функции в точках О, А, В.
z(0,0)=0; z(-3,0)=9, z(0,-3)=9.
Сравнивая значения заключаем: 9- наибольшее значение функции, достигаемое в точках (-3,0) и (0,-3); -1 – наименьшее значение функции, достигаемое внутри области в точке (-1,-1).
Б.3 В.3
Найдем точки пересечения параболы и прямой:
А(-2,4), В(2,4)
Найдем стационарные точки внутри области задания ф-ии
получили две точки
(0,0) и (-1,-1). Точка (-1,-1) не принадлежит
рассматриваемой области. Найдем значение
ф-ии в точке (0,0):
.
Исследуем ф-ию на границе области.
Исследуем вдоль
участка
.
Подставляя
в выражение для функции получим:
, тогда
точку (0,0) уже рассматривали.
Исследуем вдоль участка y=4
стационарные точки
(-2,4) и (2/3,4). Значения ф-ии в этих точках:
.
Исследуем в точках
В(2,4).
Сравнивая значения заключаем: 32 – наибольшее значение ф-ии достигаемое в точках (-2,4) и (2,4); 0 – наименьшее значение ф-ии, достигаемое в точке (0,0).
Б.3 В.4 Найти наибольшее и наименьшее значение ф-ии в данной области
Область задания
ф-ии представляет собой треугольник
ограниченный прямыми:
Найдем стационарные точки внутри области задания ф-ии
x=1/2
y=
- 3
получили точку (1/2, -3) которая не принадлежит рассматриваемой области, поэтому ее не рассматриваем.
Исследуем ф-ию на границе области. Поскольку граница состоит из трех участков, описанных тремя разными уравнениями то исследуем ф-ию на каждом участке отдельно.
1) ОВ, В(0,4). Уравнение связи x=0. ф-ия с учетом уравнения связи имеет вид:
точка (0,-3) не принадлежит рассматриваемой области.
2) y=4. Функция принимает вид
Стационарная точка
(1/2,4). Значение ф-ии в ней
3) ОА, А(4,0) уравнение связи y=x. Ф-ия принимает вид:
точка (-17/8,-17/8) не принадлежит рассматриваемой области.
4) Рассмотрим точки О(0,0), А(4,0), В(0,4)
,
Сравнивая значения заключаем: 116 – наибольшее значение, достигаемое в точке (0,4), -4 – наименьшее значение достигаемое в точке (0,0).
5 найти дифференциал второго порядка ф-ии z=y ln x
Решение
6 найти производную сложной ф-ии u=ln(x^2+y^2) x=st y=s/t
Решение
u=f(x,y) x=x(s,t) y=y(s,t)
Полный дифференциал представится в виде
7 найти d^3z если z=e^x cos y
Решение
