1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_13_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет

наименьшую возможную дисперсию.

61

Теория вероятностей и математическая статистика

При рассмотрении выборок большого объема (n велико) к статистическим оценкам предъявляется требование

состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n ∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

62

Теория вероятностей и математическая статистика

14.3. Генеральная средняя

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака X.

Генеральной средней г называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

63

Теория вероятностей и математическая статистика

Если все значения x1, x2, …, xN признака генеральной совокупности объема N различны, то

г = (х1 + х2 + . . . + хN)/N.

Если же значения x1, x2, …, xk имеют соответственно частоты N1, N2, …, Nk , причем N1 + N2 + …+ Nk = N, то

г = (х1N1 + х2N2 + . . . + хkNk)/N,

т.е. генеральная средняя есть средняя взвешенная

значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

64

Теория вероятностей и математическая статистика

Можно показать, что если рассматривать обследуемый признак X генеральной совокупности как случайную величину, возможные значения которой х1, х2, … хn имеют одинаковые вероятности, равные 1/N, то

математическое ожидание признака будет равно генеральной средней этого признака:

М(X) = г.

Этот результат распространяется и на генеральную совокупность с непрерывным распределением признака.

Таким образом, генеральная средняя - это математическое ожидание признака:

г = М(X).

65

Теория вероятностей и математическая статистика

14.4. Выборочная средняя

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n.

Выборочной средней в называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

66

Теория вероятностей и математическая статистика

Если все значения x1, x2, …, xn признака выборки объема n различны, то

в = (х1 + х2 + . . . + хn)/n.

Если же значения признака x1, x2, …, xk имеют соответственно частоты n1, n2, … , nk, причем n1 + n2 +

...+ nk = n, то

в = (n1х1 + n2х2 + . . . + nkхk)/n,

т. е. выборочная средняя есть средняя взвешенная

значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

67

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание. Выборочная средняя, найденная по данным

одной выборки, есть, очевидно, определенное число.

Если же извлекать другие выборки того же объема из той же генеральной совокупности, то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке.

Таким образом, выборочную среднюю можно

рассматривать как случайную величину, а следовательно, можно говорить о распределениях (теоретическом и эмпирическом) выборочной средней и о числовых характеристиках этого распределения (его называют выборочным), в частности о математическом ожидании и дисперсии выборочного распределения.

68