1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_13_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

В силу закона больших чисел можно утверждать, что

выборка будет репрезентативной, если каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

21

Теория вероятностей и математическая статистика

13.4. Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х1 наблюдалось n1 раз, х2 - n2 раз, хk - nk раз и ni = n — объем выборки.

Наблюдаемые значения хi называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке,— вариационным рядом.

Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки ni/n = Wi —

относительными частотами.

22

Теория вероятностей и математическая статистика

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

23

Теория вероятностей и математическая статистика

Втеории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Вматематической статистике под статистическим распределением понимают соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

24

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Задано распределение частот выборки объема n = 20.

Написать распределение относительных частот.

Решение. Найдем относительные частоты, для этого

разделим частоты на объем выборки:

W1 = 3/20 = 0,15. W2 = 10/20 = 0,5. W3 = 7/20 = 0,35.

Напишем распределение относительных частот:

Контроль: 0,15 + 0,5 + 0,35 = 1.

25

Теория вероятностей и математическая статистика

13.5 Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения:

nх — число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х;

n — общее число наблюдений (объем выборки).

Тогда относительная частота события X < х равна nx/n.

26

Теория вероятностей и математическая статистика

Если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота т. е. относительная частота nx/n есть функция от х.

Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, ее называют эмпирической.

27

Теория вероятностей и математическая статистика

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < х.

Итак, по определению,

F*(x) = nx/n.

где nх — число вариант, меньших х; n — объем выборки.

28

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, для того чтобы найти, например, F*(х2), надо число вариант, меньших х2, разделить на объем выборки:

F*(x2) = /.

29

Теория вероятностей и математическая статистика

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F(х) генеральной

совокупности называют теоретической функцией распределения.

Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция

F(х) определяет вероятность события X < х, а

эмпирическая функция F*(x) определяет относительную частоту этого же события.

30