1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_13_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события X<х, т. е. F*(x) стремится по вероятности к вероятности F(х) этого события.

31

Теория вероятностей и математическая статистика

Другими словами, при больших n числа F*(х) и F(х) мало отличаются одно от другого. Отсюда следует

целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

32

Теория вероятностей и математическая статистика

Итак, эмпирическая функция распределения выборки

служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

33

Теория вероятностей и математическая статистика

Решение. Найдем объем выборки: 12+18+30=60. Наименьшая варианта равна 2, следовательно, F*(x) = 0 при х 2. Значение Х < 6, а именно, x1 = 2, наблюдалось

12 раз, следовательно, F*(x) = 12/60 = 0,2 при 2 < x 6.

Значения Х < 10, а именно, x1 = 2 и x2 = 6, наблюдались

12+18=30 раз, следовательно, F*(x) = 30/60 = 0,5 при 6 < x 10. Так как х = 10 – наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при x > 10. Искомая эмпирическая функция и ее график показаны на следующем слайде.

34

Теория вероятностей и математическая статистика

35

Теория вероятностей и математическая статистика

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон

и гистограмму.

36

Теория вероятностей и математическая статистика

13.5.1. Полигоны частот и относительных частот

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки (х1; n1), (х2; n2), …, (хk; nk).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты* xi, а на оси ординат — соответствующие им частоты** ni,. Точки (хi; ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

*Наблюдаемые значения хi называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке,— вариационным рядом.

**Числа наблюдений ni называют частотами.

37

Теория вероятностей и математическая статистика

Полигоном относительных частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки (х1; W1), (х2; W2), ... (хk;Wk), где Wi – относительная частота*.

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат — соответствующие им относительные частоты Wi.

Точки (xi; Wi) соединяют отрезками прямых и получают

полигон относительных частот.

*Числа наблюдений ni называют частотами, а их отношения к объему выборки ni/n = Wi — относительными частотами.

38

Теория вероятностей и математическая статистика

На рисунке изображен полигон относительных частот следующего распределения:

39

Теория вероятностей и математическая статистика

13.5.2. Гистограмма

В случае непрерывного признака строят

гистограмму.

Для построения гистограммы интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала ni сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

40