1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_13_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

14.2. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки

Для того, чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям.

Рассмотрим эти требования.

51

Теория вероятностей и математическая статистика

Пусть * — статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема n найдена оценка 1. Повторим опыт, т. е. извлечем из генеральной совокупности другую

выборку того же объема и по ее данным найдем оценку2. Повторяя опыт многократно, получим числа 1, 2,

… , которые, вообще говоря, различны между собой.

В этом случае, оценку * можно рассматривать как

52

Теория вероятностей и математическая статистика

Представим себе, что оценка * дает приближенное значение с избытком; тогда каждое найденное по

данным выборок число (i = 1, 2, . . . , k) больше истинного значения . Ясно, что в этом случае и

математическое ожидание (среднее значение) случайной величины * больше, чем , т. е. М( *) > . (Очевидно, что если * дает оценку с недостатком, то М ( *) < .

53

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к

систематическим* (одного знака) ошибкам (см.

следующий слайд).

54

Теория вероятностей и математическая статистика

*В теории ошибок измерений систематическими

ошибками называют неслучайные ошибки, искажающие результаты измерений в одну определенную сторону.

Например, измерение длины растянутой рулеткой систематически дает заниженные результаты.

55

Теория вероятностей и математическая статистика

По этой причине естественно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки * было равно

оцениваемому параметру.

Соблюдение этого требования не устранит ошибок (одни значения * больше, а другие меньше ), однако ошибки разных знаков будут встречаться одинаково часто.

Поэтому соблюдение требования М( *) =

гарантирует от получения систематических ошибок.

56

Теория вероятностей и математическая статистика

Несмещенной называют статистическую оценку *,

математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т. е.

М( *) = .

57

Теория вероятностей и математическая статистика

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

58

Теория вероятностей и математическая статистика

Несмещенная оценка не всегда дает хорошее приближение оцениваемого параметра.

Возможные значения * могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т е. дисперсия D( *)

может быть значительной.

В этом случае (дисперсия D( *) значительна)

найденная по данным одной выборки оценка может оказаться весьма удаленной от среднего значения*, а значит, и от самого оцениваемого параметра .

59

Теория вероятностей и математическая статистика

Если потребовать, чтобы дисперсия * была малой,

то возможность допустить большую ошибку будет исключена.

По этой причине к статистической оценке предъявляется требование эффективности.

60