Теория вероятностей и математическая статистика
При этом порядок, в котором расположены события,
может быть выбран любым, т. е. безразлично, какое событие считать первым, вторым и т. д.
71
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. В урне 2 белых и 1 черный шар. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Рассматриваются события: А - появление белого шара, В – появление черного шара.
72
Теория вероятностей и математическая статистика
•
Пример. В урне 2 белых и 1 черный шар. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Рассматриваются события: А - появление белого шара, В – появление черного шара.
Решение. Искомые вероятности равны:
73
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность Р(АВС) того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С).
74
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность Р(АВС) того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С).
75
Теория вероятностей и математическая статистика
Решение. Вероятность появления белого шара а первом испытании
P(A) = 5/12.
Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность
PA(B) = 4/11.
76
Теория вероятностей и математическая статистика
Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность
PAB(C) = 3/10.
Искомая вероятность
P(AВC) = P(A)PA(B)PAB(С) = (5/12) (4/11) (3/10) = 1/22.
77
Теория вероятностей и математическая статистика
3.4. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.
Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:
РА(В) = Р(В). (*)
78
Теория вероятностей и математическая статистика
Итак, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; это означает, что
свойство независимости событий взаимно.
Для независимых событий теорема умножения Р(АВ) = Р(А)РА(В) имеет вид
Р (АВ) = Р(А)Р(В), (*)
т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
79
Теория вероятностей и математическая статистика
Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.
80