Теория вероятностей и математическая статистика

Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А.

Условной вероятностью РА(В) называют

вероятность события В, вычисленную при условии, что событие А уже наступило.

61

Теория вероятностей и математическая статистика

Часто для обозначения условной вероятности вместо РА(В) используется запись Р(B|A), то есть

РА(В) Р(B|A)

62

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

63

Теория вероятностей и математическая статистика

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность

РА(В) = 3/5.

64

Теория вероятностей и математическая статистика

Можно показать, что условная вероятность события В

при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна

65

Теория вероятностей и математическая статистика

3.3. Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятности Р(А) и РА(В) известны. Найдем вероятность совмещения

этих событий, т. е. вероятность того, что появятся и событие А и событие В?

Ответ на этот вопрос дает теорема умножения вероятностей.

66

Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)РА(В).

67

Теория вероятностей и математическая статистика

В частности, для трех событий

Р(АВС) = Р(А)РА(В)РАВ(С).

69

Теория вероятностей и математическая статистика

При этом порядок, в котором расположены события,

может быть выбран любым, т. е. безразлично, какое событие считать первым, вторым и т. д.

70