Konspekt_po_algebre

§

ленной

Q(x)

(ÏÎ), если отличие x от нуля ведет к положительности значения этой ормы.

Q x , x

2. x2

x2

пример к

определению

10.5 для вещес венного пространства

âñåõQ(x1

, x2) = x2 пример к определению 10.6. Форма всегда неотрицательна, но не для

Определение 10.6. Квадратичнаяx 6= 0îðìà= Q(x) > 0.

Q(x) называется положительно полуопреде-

(ÏÏÎ), åñëè

( x) Q(x) ≥ 0. Примеры

размерности

=

( 1

2)

1 +

2

1

x 6=

положительна.

2

2

è Q(x1, x2) = x1x2

Q(x1, x2) = x1 − x2

Ä

ê à ç

ñ â . Äîñò

. Пусть имеетс

i−(Q) = 0.

Q(x)

и есть пр образование

очевидноНеобх,

2

2

Последняяр, сумма

y = Sx применениемдимость.Есликотороговдлянормальномвсехполучаетсy, значитвидеяестьчениеQäëÿ(õîòÿx) =всехбыполучимy x+äèí. ... минус,+ y .

наприм

1

r

ïðè àâ

ys,

s 6= j

−yj2

, òî

нулюТ

yj

î

а тнормальномуес т в . (rang(ДостаточностьQ) = dim(. xУсло)) ие(i−(Q) = 0).

Ä

ê à ç

теоремы,

оч видно,

эквивалентно

приводящее к

.

Следовательновидуквадратичнуюсуществуеторму:неособое

преобразование

,

i+(Q) = dim(x) =: n

y = Sx

í , ÷òî

Q(x) = y12 + ... + yn2 =:

Q

(y). ßñ-

òî åñòü

îíà íå ÏÎ. Ýòîy 6= 0необходимость= x 6= 0, 51а. квадратичная12.06.2012 орма при этом неположительна,

выражениеQ(y) = 0

−1

y = 0. Благодаря тому, что преобразование неособое, корректно

вияд казанаПустьНт

x = S y.

x 6= 0 y 6= 0

утверждение:= Q(y) > 0.нарушениеДостаточностьусло

åîремыбходимость.влечет. Докажемне ПОПоэтому. обратное к необходимости

зованием

i := i+(Q) < dim(x) =: n. Приведя кв дратичную орму неособым преобра-

÷àÿ

2

2

2

2

ãäå

δ

принимаетyзначения= Sx к нормальномулибо0,либо1виду,.Тогда,имеемназнаQ(x) = y1 + ... + yi −δyi+1

−... −δyn

имеем

y1 = ... = yi = 0,

yi+1 = ... = yn = 1

Очевидно,Q(x) ≤÷òî0.

Определениеявля доначальником10.7.

ериканскойминоро

матема икиìèí. Открылр, которозакон инерциимножество.

èí

дексов строк совпадает с множество

лбцов. В принятых здесь обозначе-

илиПО).вПустьлевоугломвымерхнеминороуглум.матрицы, то

Сильвестрай минориндексовпростонаходм,длязывается

Теоремаоннияхназываетсяэто 10M.JJ6(Aугловым(Критерий). Еслиглавным

ричная матрица,

Q(x) = xTAx (A симмет-

чтобы все угловыеAминорыT = A). Дляматрицытого, чтобы Q(x)

была ПО необходимо и достаточно,

миноромы.

располоквадратичнойДздимостьлевомс т . Вначале пояснениеA были. положительУгловым

T

T

2

i

женный

верхнемуглу матрицы.

называется минор,

Необх

. 1. Åñëè

трица

i = MII ,

I = 1, ..., i.

Ä ñ

ü í

диагональномунеособоеПО,преобразованието.

. Ñäåë

A

|A|

> 0

T y = x, приводящее матрицу

A10.5 âñå

îð û Q ê

T

âèäó

D = diag(d1, ..., dn). В силу теоремы

di > 0. Поэтому

|D|

T 6

> 0. Отсюда

2. Выделим некото0 < |Dîå| =семейство|T AT | = |перменныхT ||A|| | = |A||T |

= |A| > 0.

A ее подматрицы AJJ. Очевидно, если

xi

= 0

i

Ji,

iòî

b

главный минор симметðично расположенной

относительно главной. Емудиагоналисоответствуетматрицыодин

(x )

J

=: x

доказанаглавныеДостаточность.минорыQ тожеПО.ПОПустьматрицыквадратичнаяположительныорма. .

b

10

b

b

0 < AJJ

M (A)

b

ßñíî, ÷òî

b

Q(x) = x Ax = x AJJx =: Q(x).

|

| ≡

И,Ввчастности,силуп.1 и угловые. НеобходимостьJJ . Т.е. все

нойжу ормырегулярныйпроисх.одитСледователно,пометоду( i)Δi >согласноаусса,0. Поскоторыйтеоремеолькунеa

=

1

6= 0

меняет.2 изменениеугловые, первыйматрицыминорышагквадратичпо.ПоэтомуЛагран-

(2)

(2)

=

(2)

2 > 0.

Отсюда

1a22

= a11a22

2 =

(2)

Применяемa > 0предыдущиее.Опятьрегулярныйрассуждения:случай.

22

2a33(3) =

= a33(3) > 0. È ò.ä.

Получаем

(i)

(i)

3

> 0

i =

, i = 2, n. Поэтому

> 0,

i− aii

aii

i = 1, n. По построению

n

(n)

X

(i)

(n) 2

и согласно

теореме 10.5 это

Qозначает(x) = QnÏÎ(x

) ≡

aii

(xi

)

,

квадратичной ормы

i=1

главныеЗ м минорыч 1. Проведя переиндексацию переменных, приходимQ.

к выводу, что все

(10 5), (10

x 6= 0 = Q(x) < 0

ìТеоремаинорыдостаточно,Д к 10збовидульше.9 чередуютс.(критерийКакьнулячтобыви. в. всетеоремеПриводимСильвестранечетные10.по6, угловыеимеемметодуОО).ЛагранжаминорыДляООбыликвадратичнойквадратичнуюменьше нуля,ормыормуа всенеобходичетныек кано--

ническому

rang Q = dim x

i+(Q) = 0.

ТезнакиЕслиремаминоров10орма.10.ППОЧтобыиликвадратичнаяяОПО,. то критеоðмаий усложняется,

.

i

(i),

, è âñå

1 = a11

= i−1aii

i = 2 n

ДостчтакîовымДбыаточностьквсезтеоремеглавные. ьассмотрим10минорыв.6,.еслиНеобходимостьееследующуютамматрицыв п.1 поменятьбыликвадратичную.ДокнеотазательствострогиебыицатеППО

Q(x)

неравенстваорму:ль необходимодимостиыми.на нестрогиесовпадает.

T

äîñòàточно,

T

a11 + ε

a12

...

a1n

матрице

a21

a22 + ε

...

a2n

x.

Применим к Fε(x) = x

(A + εI) x = x

...

Φε

a

...

a

+ ε

n1

nn

норы. Они суть определители| {z

критерийугловыхподматрицСильвестра.}

Для этого рассмотрим угловые ми-

Φε

(x)

ϕN:

a11 + ε

a12

...

a1k

MNN(Φ ) = ϕN

=

a21

a22 + ε ...

a2k

=

ε

| |

...

a

...

a

+ ε

n1

kk

k

k−1

k−2

k−3

N := {1 ..., k}.

многочлене от

2 +ε

3 +... + ε

NN

(A),

= ε +ýòîì aiiε

+ ε

k−1 +M

X

Xêîý

(определителициентыаковы:

X

X

первого

порядксуммапордматрицы

aii сумма всех гл вных миноров

ε

(òàê êàê ýòà

сумма чϕñòèN

главных мин

этихров

P подматриц), она неотрицательна

миноров ловияорого

ÿäê

ïîäìàтрицы

Φε);

2 сумма всех главных

Èç ó

вательно,онанетрицательна. И критериюакдалее.

ϕN

P

квадратичная εîðìà> 0 следует, что полин м MNN(Φε) > 0. Согласно

Сильвестра

Фиксируем какое-тоFε(x) ÏÎчевидно,. Ñëåä

( x 6= 0)Fε(Tx) > 0.

Следовательно,

матрица

x

6= 0

.

0 ≤

lim F (x)

=

x Ax

≥

0.

ε→+0

ε

АналогичноA ПОдоказывается.

53

12.06.2012

Ä î êÒðóà çдоемкà ò ëîñòüâкритерия. смотриСильвестратеоремы (10эквивалентна.9), (10.10).

трудоемкости метода аусса.

• 10.5.2.

Конусы ПО и ППО

атриц

ва означает, что отрезок, соединяющий

Определение 10.9. Выпуклость

ìножес

две точки множества, принадлежи

этому множеству.

зываОпрлюбыетсяделениеконусоловами,10.10если. МножествосуществуетC,некотороепринадл жащеенаправляющеевекторномумножествопространству,принад

лежащее векторному про транству, такое что

M

-

Иными

кону это множество лучей,C =пронзающих{x|x = ty yмножествоM t [0, +∞)}.

èñ. 1.

M .

∂K

K K â î.∂K1).

∂Ke

.

∂Ke

K

замыкание

конуса K.

K

¯ , где черта знак замыкания ¯

K = K

K

òîãî

(

состоит из самого множества и всех чточек сгущения.) Кро

= e \ =

e

=

(

)

Ä à ç à ò å ë ü ñ ò

Выпуклость¯

граница

. Она эквивалентна¯ авняетсятому,границе K .

è

A1 A2 положительно определены. Следовательно, txTA1x > 0

xTA2x > 0. È,

того, t и 1 − t54положительны12.06. .

Пусть столбец( A2

, A1

K) A(t) := tA1

+ (1

− t)A2 K t (0, 1).

x T Rn

è x 6=T0. Тогда

T

2012

t [0 1].

Д е й с т в и т екромель нx .A(t)x = tx A1x + (1 − t)x A x > 0

сгущения),

t [0, 1]

K:

A

K. Ò.å

A(t)

(1 − t) ≥ 0,

xTA(t x = txTA1x + (1 − t)xTA2x ≥ 0,

кольку t ≥ 0,

xTA1x ≥ 0,

xTA2)x ≥Замкнутость0.

e

{ s}1

T åíèå

.

точкВыраж

è âñÿK. последоватПусть сущåльностьствует последовательностьпринадлежит конусуматриц As

∞→

A (A

( x)( s) x Asx ≥ 0

,

означает, что если

(s)

элеме

e

(s)

e

As

→

A

поСледовательно,коэa

As

a

s−→

a

емПоэтому в силу очевидной непрерывности

ij

ициентам квадратичной ормы име-.

ij

→∞

ij

жительн определенности, то точно акж

открытоеазывается

, èç ÷åãî

e

замкнутостьT

.

A

ÏÏÎ,

.å.

A K,

÷òî

означает( x) 0 ≤ lim x Asx = xT lim Asx = xTAx

.

ýòî

e

Åñëè

K.

K K

e

K

K K

∞

As → A {As}1

K

A K

следует

¯

3) Ко.Впрочем,усполо

включенией следует из очевидного

e

и замкнутости

e

ê

ерывныеK

Ae

огминорыдасогласносуществунеп

жительноположитечислоопределена.Сьны.ательно,.НоТ

нечное

кминорыло

итерию Сильвестраункциимножествоэлементоввсеееугловые.Пустьматрицыкритериюглавныепоих-

п ложительн сть уг îâых главных миноров εматрицы> 0, àêîå, ÷òî èç

kHkE ≤ ε

âû

àåò

Сильвестра,

A + H.

Значит, по

äîвательно

îíóñ

положит ль

определена, то есть шар

ε

лежит в K

.

Ñëå-

ê A + H

SA

K открыто

множество.

Напоминание:

k · k

E

шуровская норма:

4) Докажем, ÷.òî

kHkE := q

i,j

hij2

. Î òîì, ÷òî

Берем

P

A

e

¯

e

δI положительно определена,

следуетСледовательно,что

произв льную

¯

определенаговорилось, уж

.

Покажем

обратное.

матрицу

K K

Ïî

K = K

A + Iδ

K.

жимA + Iδ положительноe

матрица. Из того, что

A

K. ассмотрим

A + Iδ,

äå

δ > 0, I единичная

матриц

,

положительно полу

.

определена,

значит,

опреде енных

δs = 1/s

s = 1, 2, 3, ...

Пост оим последовательность положительно

K 5)K¯

любаяA + матрицаI/s. Ее пределА из матрица A. (A + I/s −→ A).

÷òî

ñ

e

K¯

= K.

e

Äëÿ∂Kлюбого= ∂K¯ .открытого множества

K принадлежит замыканию конуса K, . .

¯

e

соответственно

братным включением дает

граница замыкания открытого множесFваверно ∂F = F \ F .

Однако, в общем

лучае

(

F принадлежит границе самого множества

внутре них), точекноони не обязаны совпадать

азность

¯

состоит

если не пуста, из

¯

∂F

∂F \ ∂F

∂F

¯

граница

только

F¯

e

¯

¯

полоска.

образом,

Контрпример¯.

¯

¯

Замыкание

K = K

.