Konspekt_po_algebre

bi

умножилось последовательно на α1, ..., αr. Тогда

òàê êàê â P

′

елителей нуля. И

ãäå

α = αr ...α1

6= 0,

íåòbi = (αr (αr−1

(...(αibi)...) = (αr ...α1)bi = αbi,

Èòàê, íà âõîä в метод аусса подаетсяαbi 6= 0системавсилу уравнений:(8.12).

где система векторов

.b.1′ .

= A′ .a.1. ,

(8.13)

bk′

an

′

′

-

диагоналямдиагоналямируюобобщеннуюобобщеннойлитрапеци.Т. . не

нужноциевиднойевиднуюПослебудетобработкиормуормыделить.Т.необязательно.строкиматрицынам(b , ...íå,íàbнадометодом)элементысвобополучатьискднаиз.ответа,ссаединицы,получимтопоанекотнад

1

k

32

P .12.06.2012

На главной

ìîæ

лежать разве что самая первая

обобщенной

главной.

п к не встретилось, то единственная диагональ трдиагональпециевидной ормы

тр пециевидной рмы (если

начале нет полки). Прочие ее ди гонали лежат выше

Итак, результатn + 1метода-я строка ссанубудетлевая.иметь вид

˜b.1

=

T

a.1

.

Здесь через

˜

bn

0

˜bn+1

˜

an

bk

b

[n × n], через 0

дое По построению, перестановки[(k n) строкn].

матрица разм рностьюT обозначена трапециевидная матрица разме но тью

−

×

êàæ-

методе усса не происчастности,хдили. Поэтому

b

˜ есть линейная комбинация предыдущих

′

′

. Â

˜

æå è,

применяя теорему 8.6 (

b1, . . . , bi−1

bn+1

bi

¯

a¯ = ai), имеем

0 · a¯ = 0

n+1

n

n

′

¯

¯

(8.14)

независимости. . получаем линейную к мбинацию˜векторов

biβi = bn+1

= 0 ·

ai = 0 = 0,

i=1

i=1

i=1

X

X

X

, равную

′

′

′

необходимо, чтобы все

Противоречие, а с лу линейной

b1

, b2, ..., bn+1

0

βi = 0, íî βn+1 = 1 6= 0.

. Источник:

kТеорема> n. Значит8.12.kÅñëè≤ n. две свободные конечные системы А и В эквивалентны

òî

(A ↔ B),

состоятТ(ЭтеоремаµÄ(теоремавекторноеA) à=èç8µ.à13(nòBåý.)лементследствиеЕсли.пространствоь существует. .Пустьтеоремыестьконечный8.11два.) базисаазисАсичисломB:

элементов n, то и все базисы

äàþò

V). Поскольку

A → V и B → V (A и B порож-

эквивалент(A линейíымиаякомбинациясистемами(A V =.BОни,BBсвободны,→линейнаяA) поэтомукомбинация(B Vтеорема= A),A8эти.→12 Bвлечетдва) базиса являются

33

12.06.2012

µ(A) = µ(B).

выражается

A = (ai)i I , и пусть оно линейно

( →

A)

через семейство

B

,

ãäå

B = (bi)i J

A

ñ.тванекоторыхоболочкаA. семействаэлементов

Линейнаяоятьрасемействаиз

îñò.

семейства, а базис свободноиз некоторых. Тогда

Определениеэлемговорят,БазантовдолжначтовсегоB8пр.12сбаза

комбинаций.

X

(L(B)) множество всех линейных

(xi)i I K}.

ОпределениемодусемействаДляБазавксемействаонечныхAкторов.всегдаможно.семействA являетсяL(äàòüB)векторов=определениебазисом{x x = базалинейнойxбазы,всегдаibi

эквивалентноеоболочки,существует,являющимсядляопределениюсемействподсем8эл.11åйством.(8.15)ментов

(ai)i I

8.13. Линейно независимое подсемейство векторов

(ai)i J семейства

независимостиоличествооноколичествомаксимально,векторов,определениеассмотрим.векторовт.пространствоене. егонеэквивалентнопополняемобазы.бес

рноеслианалогичноекэто

ечномерно

унитмодулейлинейнойонечное

Определениеопределениюэ ментамиЕслиУпражнениеназываетсябазасемейства8пространства.118...14Показать,.базойангссохранениеэт(rang)имеетчтого длясемейства,семействабеск

конечномерно, если конечное, то

.

ìî óëÿ.

оператор

Прим р коммут ти но о

ования заданный на множвещественныхC множестве бесконечное число раз äè -

a0, ..., an

Di

∞

äè åðåнцирования,

еренцируемых на интервале

(a,b)

(a, b)

ункций

D := anDn + ... + a1 + a0D0

ãäå

вещественные числа,

операторы

(8.16)

ормулой

задаваемый

(i)

(8.17)

( x (a, b)) 34Dif (x) =12.f06.2012(x), i = 0, n.

ди еренцирования D0, D1, . . .

ó

ановлен закон внешней композиции (8.17),

с единицей .

∞

∞

сложения, как для многочленовD пох ения. на(Вместомногочленыi

. Можно определить для них операцию

па. Добавим операцию умнож операторовакжx

êàêD16)+(8i äëÿ. Ïîмногочленовсл жению образуется. Очевидно,абелевачто длягруп-

из (8.17) име т место

Di

Di Dj = Di +j

для многочленов моМеждуввести операцию, что можноумножениятрактоватьдлякакоператоровумножениевида. Так(8.16)ж (ролькак и

x i

играет Di ). Тогда мно

ество

(a,b)

(8.

.17) образует коммутативное кольцо

который естественным

{ i}0

K

D0

образомD

распространяетсC ÿ íà âñå

a)Очевидно, что

K .

D(f1 +f 2 ) = Df1 + Df2 ,

D K,

∞

связанное с кольцом операторов

á

f1, f2 C(∞a,b)

;

à),â

(D1 + D2 )f = D1 f + D2 f ,

D1, D2 K,

f C(∞a,b);

D1 (D2 f â= (D1 D2 )f

ди еренцирования будет

Единицей кольце операторов.

ã)

D0 =: 1. Очевидно, что

унитарного1á),· fâ),=ìîfг).дуляполный.Такимнабор

образом,аксиоммнозакжествовнешней композиции для коммутативного

ативнбазы семействаунитарныйC , элементовмодуль. из одного модуля.

Òдиогдаеоремаеренцир8.14.вания,ПустьобразуютA, B имеющиеоммут

(a,b)

Очевидно,Д к Aç →ò åBë ü ñ= â î.rangПустьB ≤ rang A.

÷òî

′

B′ = (bi)i I′

база семейства

B = (bi)i ′I , äå

I′ I.

J

′

ТогдаJ.

A → B

.

Пусть база емейства

A = (ai)i J

равна

A = (ai)i J ′ , ãäå

bi i I′, линейно выражается через aj , j J′:

X

X

X

X X

( i I

′

)bi

= j J λjiaj

= j J λji k J ′ αkj ak = k J ′ j J λjiαkj ak

B свободное семейство и из т оремы 8.11:

(8.18)

′

′

|

{z

}

βki

Теор ма 8.15. Пусть A, B конечные семействаµ(I )векторов≤линейногоµ(J ).

квадражаå ся через

A → B (B линейно вы-

àòную матрицуA) Sпри.Инымиэто словами:коэициенты этого

выражения образуют

матрица)

S

{1, ..., n},

I := J :=

b1

s11

. . . s1n

a

Тогда

A := (ai

i J ,

B := (bi)i I ,

. . .

=

. .

. . .

. . . . .1. .

(8.19)

ремеединичнаяД8о.14|êS|ìûç6= 0имеемл=ü ñ

bn

sn1

. . . snn an

вrangо. (ТеоремаB = rang A8..15 частный случай теоремы 8.14.) Согласно тео

rang. УмножаемB rang Aсле.Садругой(8.16)настороны

|

S

= 0 =

( S−1)S−1S = I (I

нации с векторами,

≤

−1

| 6

-

в столбцах,12.06и.2012коэ(т. . ициентсоставляемамивзятымилинейныеизкомбистрок

расположенными35

ОпределениеассматриваютсяB8→. êàêA. .ПустьПрименяемэле ентыэлементытеорелевогоматрицыувекторного8.14: rangпринадлежатAпространс≤ rang Bкольцу. ва надK.кольцомИеестолбцыK

S−1

15

(8.20)

ПолучаемS−1

. . . ! = S−1

S . . .

!! = S− S

. . . ! = I

. . . ! =

. . . ! .

b

a1

a1

a1

a1

n .

an

an

an

an

bn

андартным умножениИнымистолбца на число

(ñî

ñò лбцов ее образующих.

словами: пусть). Тогда

ангом маòрицы называется ранг

A = (a1, ..., an), ãäå ai столбцы, тогда

еоремаДAматрицык 8з.16е.aравенлЕслиь с тнаибовэлементы. Пустьльшемуматрицыимеетспорядкуматрицапринадлежатминор. отличногокольцуотбезнуляделителей. нуля,

rang = rang (

i)1

рангТ

a11

. . . a1n

= (a1

. . . an).

A = . . .

. . . . . .

Обозначим порядок наибольшего минора не рнаибольшеговннулю буквой П, а rang

(8.21)

Покажем, что

ak1

. . . akn

(ai)1n

= r.

Сначала Π = r.

{1, ..., n}):

ваниеПредположим, что столбцы с индексамиMèçLS 6=S 0линейно.

зависимы. Это влечет существо-

обобщеннойизстолбцовтрапециевиднойбазыметодомΠ r. (a ) ормеаусса. без

(a ) . Будем приво ить мат-

нотороны,илусвойстпредположенияуэтопрслM

αi

P

αiM

зависимости,индексомj i S миноретакго, что

αj aj = −

i S\{j} αiai

αj

6= 0. Если у ножить столбец с

åäновомоваелиòåëобLSмиотсутствииьноянанреравен, тодинвеличинаделит0столб.ПротиворечлейцновогоестьнуляèнейнаяминораввызванрассматриваемомкбудетмбинацияпредположениемLS,прочих,кольцечтоне.линейнравноСсогласдруг0îéâ-

Обратно:

≥

Π ≤ r.

n

параграрицу состоящуюа) к

Возьмем базу

i i S

семейства

деленияi 1 (êàê èç ïðåäыдущего

1883÷ëåíИзвестныйпро-гк.,орреспондентессорборолсянемецкийуниверситетовидеямиПетербургскойматематикВейерштрассав ПалермоKroneÀÍ ker1881Кантора;(182372 ã., -ïðîâ1891),Неаполеессоритальянский÷ëåíБерл1886Берлинск.,CapelliакадемикогоîéуниверситетÀÍ(18551901861- 1à0),ã.ñ

исследовали существование решения системы линейных алгебраических

.

Теорема 9.1 (Кронекера-Капелли). Пусть имеется система линейныхуравненийавнений:

Ччтобы систематрл нейных уравненийAx = b.

(9.1)

íî,

расширеннойангèцы при неизвестных(9.1)совпадалимеларешесаíие,гомнеобходиморасширенной досмаòаточрицы:-

существу′олбцов

матрицы

′

′′ áàçå

A = (ai)i I′ . Ïîê

что если количество столбцов-векторов в A è â A

. Пус ь b линейно не выражаетс(A|ÿb)черездно

æå,

решение системы (9.1) существу-

àçå ìà ðèöû

A′. В силу допущения столбцовравенстСледовательно,рангов,в

áольше, чем в (A′ ′ |b) столькстолбцовстолбцов сколько′

â áàçå A′, íî

(A′ |b) íà 1

ет наборA . Значиткоэициентов матрице (A |b) больше, чем ее ранг.

(β, (xi)i I ) 6= 0, такой, что

X

Коэ ициент

0 = βb +

xiai.

(9.2)

i I′

i)i I 6= 0

b через столбцы б зы

(

−1 и вырази

β не может равняться нулю,жностьаккак тогда

x

и, стало быть,

(ai)i I не свободна. Следовательно, есть возмо

умножить (9.2) на β

Положив

A′.

xi = 0 для всех i не вошедших

I′, получаем набор элементов x таких, ч о

Ax =Необходимостьb.

. Пусть решение существует

Тогда

(существует x, удовлетворяющий (9.1)).

T.8.14

выражаетсяСдругойA → (черезAbстороны,) расширенную:= очевидно,rang (Ab÷òî) ≤матрицаrang A. при неизвестных значит и ее база линейно

íî,

T.8.14

(A|b) → A =

rang (A) ≤ rang (AB). Следователь-

льных,

.

(9.4)

называетсяНаша задача найти столбцыоднороднымAxуравнением= 0

Здесь

Ax = b, x P n

b

P m, A P m×n.

(9.3)

любомцо целыхPслучае, вчисел,общесопутствующимполе,лучае,таконåкотороекак ационкольцо. Имвещсоответственм жет бытьых кольцоили комплексныхмногочленов,чиселкольВ-

x b столбцы, высоты n è m,

; A матрица (m Чn

тоЕслиэпитетоb 6= 0, тооднородноуравнение (9. Äëÿ.3) снабжаетсяуравнения

эпитетом еодíîродное , если b = 0 .

Ax = b уравне

èå

жем,Линейноечто•9.1множество.2. пространствоЛинейныерешениймногообрявляетссистемыазияx, удовлетворяющиечастнымслучаем системелинейного(9.3)многообразия.

. Ïîêà-

Это просто. ( x, y W ) x + y W

W ; иными словами,

( x W )( t P ) tx W .

x W

Итак, множдпространстворешенAé(txñè) =òåìût(Axоднородных) = 0 = уравнений,t, x w. åñëè

ажпоение.

P поле, образует

линейноеУпр

À ÷òî

ñëè.

Определение 9.2.

всего лишь кольцо?это мн жество вида:

ËèíåйноеPмногообразие

ãäå

M = a + W = {x|x = a + y, y W },

Д к а зуравненият ь

. Пусть

(9.3) образу

ëè

ное многообразие.

ий сопутствующего чтод-

решение

нородного

W линейное множество реше

множ во всех ее решений

Пусть система (9.3) имеет

r . Покажем,

Ax = 0.

x

Ïóñòü

M имеет вид

M ′ := xr + W , . . M = M ′.

x M ′. Тогда ( x′

W ) x = xr + x′. È

ОбратноAx. Пусть= A(xr + x′) = Axr + Ax′

= b + 0 = b = x M

= M ′ M.

x M . Положим

y = x − xr . Тогда x = xr + y. По построению

AyОтсюда= Ax −Axr = (Ax −b) −(Axr −b) = 0 −0 = 0 = y W

= x M ′ = M M ′.

В случае несовм′.

н сти системы

M = M

пусто. Пустое множåñòâî тож является39

12.06r .не2012многообразиемсуществует),ее. множество решений

(9.3)линейным(т. . x

a[m [n+1 ,

íå áûë ðàññмотрен случай, когда k-й столбец имел

3k

Âведем,

переменную.

смещения

jk = 0 j = k, m

ложим

d. Вначале d = 0 Когда появитсясоответакой случай, по-

Эле, и ентрейдемописаниеамматрицык следующемуосновногосистемыходастолбцуидеальн.

го метода ау .

ПоясненияДадимd = Ñd-+подобное.

(a[kормация3k0:d=0,ifсимволами1:[k+d((существует=0;об !=(i+1)!=0). - gotoi>k)уравненииStep3ka[i[k+dсистемы2; != 0)расположswap(a[kена ,a[iв a[i .);Не равно изображает. А всÿ

Stepдвумяинfnt

b

i

else

// Меняем

-ую i-ю строки местами.

if (d+k==m) goto Step4; // выход по

исчерпанию столбцов

else { d=d+1;

Step3k 2:3

}

else goto Step3k_1;

a[k =a[k /a[k [k+d ;

if (k == m) goto Step4; //выход по исчерпанию строк.

else for(i=0;i<m;i++) if(i!=k) a[i = a[i - a[k *a[i [k+d ;

Ste 4:

ComposeSolution(a); // Запуск процедуры составления решения .

Âîçâраща мся к математическому языку. В процедуре ComposeSolution вначале вы-

я няется

ствует

решение. Если вош и нее по исчерпанию строк, то решение